Test nr. 1

Vektorer. Elementer av høyere algebra

1-20. Lengdene til vektorene og og er kjent; – vinkelen mellom disse vektorene.

Regn ut: 1) og, 2).3) Finn arealet av trekanten bygget på vektorene og.

Lag en tegning.

Løsning. Ved å bruke definisjonen av punktprodukt av vektorer:

Og egenskapene til skalarproduktet: ,

1) finn skalarkvadraten til vektoren:

det vil si da.

Argumenterer på samme måte, får vi

det vil si da.

Per definisjon av et vektorprodukt: ,

tatt i betraktning det

Arealet av en trekant konstruert fra vektorer og er lik

21-40. Kjente koordinater for tre toppunkter A, B, D parallellogram ABCD. Ved å bruke vektoralgebra trenger du:

EN(3;0;-7), B(2;4;6), D(-7;-5;1)

Løsning.

Det er kjent at diagonalene til et parallellogram er delt i to i skjæringspunktet. Derfor koordinatene til punktet E- skjæring av diagonaler - finn som koordinater for midten av segmentet BD. Betegner dem med x E ,y E , z E det skjønner vi

Vi får.

Å kjenne koordinatene til et punkt E- midtpunktet av diagonalen BD og koordinatene til en av endene EN(3;0;-7), Ved hjelp av formler bestemmer vi de nødvendige koordinatene til toppunktet MED parallellogram:

Altså toppen.

2) For å finne projeksjonen av en vektor på en vektor, finner vi koordinatene til disse vektorene: ,

på samme måte . Projeksjonen av en vektor på en vektor er funnet ved å bruke formelen:

3) Vinkelen mellom diagonalene til et parallellogram finnes som vinkelen mellom vektorene

Og etter egenskapen til skalarproduktet:

Deretter

4) Finn arealet av parallellogrammet som modulen til vektorproduktet:

5) Vi finner volumet til pyramiden som en sjettedel av modulen til det blandede produktet av vektorer, hvor O(0;0;0), så

Deretter ønsket volum (kubikkenheter)

41-60. Oppgitte matriser:

V C -1 +3A T

Betegnelser:

Først finner vi den inverse matrisen til matrise C.

For å gjøre dette finner vi dens determinant:

Determinanten er forskjellig fra null, derfor er matrisen ikke-singular, og for den kan du finne den inverse matrisen C -1

La oss finne de algebraiske komplementene ved å bruke formelen , hvor er minor av elementet:

Deretter , .

61–80. Løs systemet lineære ligninger:

Cramers metode; 2. Matrisemetode.

Løsning.

a) Cramers metode

La oss finne determinanten for systemet

Siden har systemet en unik løsning.

La oss finne determinantene og erstatte den første, andre og tredje kolonnen i koeffisientmatrisen med henholdsvis en kolonne med frie ledd.

I følge Cramers formler:

b)matrisemetode (ved bruk av en invers matrise).

Vi skriver dette systemet i matriseform og løser det ved å bruke den inverse matrisen.

La EN– matrise av koeffisienter for ukjente; X– matrise-kolonne av ukjente x, y, z Og N– matrise-kolonne med gratis medlemmer:

Venstre side av system (1) kan skrives som et produkt av matriser, og høyre side som en matrise N. Derfor har vi matriseligningen

Siden determinanten av matrisen EN er forskjellig fra null (punkt "a"), deretter matrisen EN har en invers matrise. La oss multiplisere begge sider av likhet (2) til venstre med matrisen, vi får

Siden hvor E er identitetsmatrisen, og , da

La oss ha en ikke-singular matrise A:

Så finner vi den inverse matrisen ved å bruke formelen:

Hvor EN ij- algebraisk komplement av et element en ij i matrisens determinant EN, som er produktet av (-1) i+j og minor (determinant) n-1 ordre oppnådd ved sletting i-th linjer og jth kolonne i determinanten til matrise A:

Herfra får vi den inverse matrisen:

Kolonne X: X=A -1 H

81–100. Løs et system med lineære ligninger ved å bruke Gauss-metoden

Løsning. La oss skrive systemet i form av en utvidet matrise:

Vi utfører elementære transformasjoner med strenger.

Fra den andre linjen trekker vi den første linjen multiplisert med 2. Fra linje 3 trekker vi den første linjen multiplisert med 4. Fra linje 4 trekker vi den første linjen, vi får matrisen:

Deretter får vi null i den første kolonnen av påfølgende rader for å gjøre dette, trekk den tredje raden fra den andre raden. Fra den tredje raden trekker du den andre raden, multiplisert med 2. Fra den fjerde raden trekker du den andre raden, multiplisert med 3. Som et resultat får vi en matrise av formen:

Fra den fjerde linjen trekker vi den tredje.

La oss bytte ut den nest siste og siste linjen:

Den siste matrisen er ekvivalent med ligningssystemet:

Fra siste ligning i systemet finner vi .

Substituere inn i nest siste ligning, får vi .

Fra den andre ligningen til systemet følger det at

Fra den første ligningen finner vi x:

Svar:

Test nr. 2

Analytisk geometri

1-20. Gitt koordinatene til toppunktene i trekanten ABC. Finne:

1) sidelengde ENI;

2) ligninger av sidene AB Og Sol og deres vinkelkoeffisienter;

3) vinkel I i radianer nøyaktig til to sifre;

4) høydeligning CD og dens lengde;

5) medianligning AE

høyde CD;

TIL parallelt med siden AB,

7) lage en tegning.

A(3;6), B(15;-3), C(13;11)

Løsning.

Ved å bruke (1), finner vi lengden på siden AB:

2) ligninger av sidene AB Og Sol og deres vinkelkoeffisienter:

Ligning av en linje, som går gjennom punktene og , har formen

Bytter ut koordinatene til punktene i (2) EN Og I, får vi ligningen til siden AB:

(AB).

(B.C.).

3) vinkel I i radianer med en nøyaktighet på to sifre.

Det er kjent at tangensen til vinkelen mellom to rette linjer, hvis vinkelkoeffisienter er henholdsvis like og beregnes med formelen

Nødvendig vinkel I dannet av rette linjer AB Og Sol, hvis vinkelkoeffisienter finnes: ; . Ved å søke (3), får vi

; , eller

4) høydeligning CD og dens lengde.

Avstand fra punkt C til rett linje AB:

5) medianligning AE og koordinatene til punktet K i skjæringspunktet mellom denne medianen med

høyde CD.

midt på solsiden:

Så ligningen AE:

Vi løser ligningssystemet:

6) ligning av en linje som går gjennom et punkt TIL parallelt med siden AB:

Siden den ønskede linjen er parallell med siden AB, da vil dens vinkelkoeffisient være lik vinkelkoeffisienten til den rette linjen AB. Bytter ut koordinatene til det funnet punktet med (4) TIL og skråningen, får vi

; (KF).

Arealet til parallellogrammet er 12 kvadratmeter. enheter, de to toppunktene er punkter A(-1;3) Og B(-2;4). Finn de to andre toppunktene i dette parallellogrammet hvis det er kjent at skjæringspunktet mellom diagonalene ligger på x-aksen. Lag en tegning.

Løsning. La skjæringspunktet mellom diagonalene ha koordinater.

Da er det åpenbart at

derfor er koordinatene til vektorene .

Vi finner arealet til et parallellogram ved å bruke formelen

Da er koordinatene til de to andre toppunktene .

I oppgave 51-60 er koordinatene til punktene gitt A og B. Påkrevd:

Skriv kanonisk ligning hyperbel som passerer gjennom disse punktene A og B, hvis fociene til hyperbelen er plassert på x-aksen;

Finn halvaksene, fociene, eksentrisiteten og likningene til asymptotene til denne hyperbelen;

Finn alle skjæringspunktene til en hyperbel med en sirkel sentrert ved opprinnelse, hvis denne sirkelen går gjennom fociene til hyperbelen;

Konstruer en hyperbel, dens asymptoter og sirkel.

A(6;-2), B(-8;12).

Løsning. Ligningen til den ønskede hyperbelen i kanonisk form er skrevet

Hvor en- reell halvakse av hyperbelen, b- imaginær halvakse. Erstatter koordinatene til punktene EN Og I I denne ligningen finner vi disse halvaksene:

– hyperbelligning: .

Halvakser a=4,

brennvidde Fokuserer (-8,0) og (8,0)

Eksentrisitet

Asyptoter:

Hvis en sirkel går gjennom origo, er ligningen dens

Ved å erstatte en av brennpunktene finner vi sirkellikningen

Finn skjæringspunktene til hyperbelen og sirkelen:

Vi bygger en tegning:

I oppgavene 61-80, konstruer en graf av en funksjon i det polare koordinatsystemet punkt for punkt, og gir -verdier gjennom intervallet  /8 (0   2). Finn likningen til linjen i et rektangulært kartesisk koordinatsystem (den positive halvaksen til abscissen faller sammen med polaraksen, og polen med origo).

Løsning. La oss bygge en linje for punkter, etter først å ha fylt ut verditabellen og φ.

Antall	φ ,	φ, grader			Antall	φ , glad	grader
								3∙(x 2 +2∙1x + 1) -3∙1 = 3(x+1) 2 - 3 vi konkluderer med at denne ligningen definerer en ellipse: Poeng gitt EN, I , C, D . Trenger å finne: 1. Planligning (Q), passerer gjennom punkter A, B, C D i flyet (Q); 2. Linjeligning (JEG), passerer gjennom punkter I og D; 3. Vinkel mellom plan (Q) og rett (JEG); 4. Planligning (R), passerer gjennom et punkt EN vinkelrett på en rett linje (JEG); 5. Vinkel mellom planene (R) Og (Q) ; 6. Ligning av en linje (T), passerer gjennom et punkt EN i retning av radiusvektoren; 7. Vinkel mellom rette linjer (JEG) Og (T). A(9;-8;1), B(-9;4;5), C(9;-5;5),D(6;4;0) 1. Planligning (Q), passerer gjennom punkter A, B, C og sjekk om poenget ligger D i planet bestemmes av formelen Finn: 1) . 2) Torget parallellogram, bygget på Og. 3) Volum av parallellepipedet, bygget på vektorer, Og. Test Jobb om dette emnet" Elementer teori om lineære rom... Metodiske anbefalinger for gjennomføring av prøver for lavere deltidsstudier i kvalifikasjon 080100. 62 i retning Retningslinjer Parallellepipedum og volum av pyramiden, bygget på vektorer, Og. Løsning: 2-=2(1;1;1)-(2;1;4)= (2;2;2)-(2;1;4)=(0;1;-2)... . . . 4. OPPGAVER FOR KONTROLL VIRKER Seksjon I. Lineær algebra. 1 – 10. Gitt...

I denne artikkelen skal vi se nærmere på konseptet med kryssproduktet av to vektorer. Vi vil gi nødvendige definisjoner, vil vi skrive en formel for å finne koordinatene til et vektorprodukt, liste opp og begrunne dets egenskaper. Etter dette vil vi dvele ved den geometriske betydningen av vektorproduktet til to vektorer og vurdere løsninger på forskjellige typiske eksempler.

Sidenavigering.

Definisjon av kryssprodukt.

Før vi definerer et vektorprodukt, la oss forstå orienteringen til en ordnet trippel av vektorer i tredimensjonalt rom.

La oss plotte vektorene fra ett punkt. Avhengig av retningen til vektoren, kan de tre være høyre eller venstre. La oss se fra slutten av vektoren på hvordan den korteste svingen fra vektoren til . Hvis den korteste rotasjonen skjer mot klokken, kalles trippelen av vektorer Ikke sant, ellers - venstre.

La oss nå ta to ikke-kollineære vektorer og . La oss plotte vektorene og fra punkt A. La oss konstruere en vektor vinkelrett på både og og . Når vi konstruerer en vektor, kan vi selvsagt gjøre to ting, og gi den enten én retning eller motsatt (se illustrasjon).

Avhengig av retningen til vektoren, kan den ordnede tripletten av vektorer være høyrehendt eller venstrehendt.

Dette bringer oss nær definisjonen av et vektorprodukt. Det er gitt for to vektorer definert i et rektangulært koordinatsystem av tredimensjonalt rom.

Definisjon.

Kryssproduktet av to vektorer og , spesifisert i et rektangulært koordinatsystem av tredimensjonalt rom, kalles en vektor slik at

Kryssproduktet av vektorer og er betegnet som .

Koordinater til vektorproduktet.

Nå vil vi gi den andre definisjonen av et vektorprodukt, som lar deg finne koordinatene fra koordinatene til gitte vektorer og.

Definisjon.

I et rektangulært koordinatsystem av tredimensjonalt rom vektorprodukt av to vektorer Og er en vektor , hvor er koordinatvektorene.

Denne definisjonen gir oss kryssproduktet i koordinatform.

Det er praktisk å representere vektorproduktet som determinanten for en tredjeordens kvadratmatrise, hvor den første raden er vektorene, den andre raden inneholder koordinatene til vektoren, og den tredje inneholder koordinatene til vektoren i en gitt rektangulært koordinatsystem:

Hvis vi utvider denne determinanten til elementene i den første raden, får vi likheten fra definisjonen av vektorproduktet i koordinater (om nødvendig, se artikkelen):

Det skal bemerkes at koordinatformen til vektorproduktet er helt i samsvar med definisjonen gitt i første ledd i denne artikkelen. Dessuten er disse to definisjonene av et kryssprodukt ekvivalente. Du kan se beviset på dette faktum i boken som er oppført på slutten av artikkelen.

Egenskaper til et vektorprodukt.

Siden vektorproduktet i koordinater kan representeres som en determinant av matrisen, kan følgende enkelt begrunnes ut fra egenskapene til kryssproduktet:

Som et eksempel, la oss bevise den antikommutative egenskapen til et vektorprodukt.

A-priory Og . Vi vet at verdien av determinanten til en matrise reverseres hvis to rader byttes, derfor, , som beviser den antikommutative egenskapen til et vektorprodukt.

Vektorprodukt - eksempler og løsninger.

Det er hovedsakelig tre typer problemer.

I oppgaver av den første typen er lengdene til to vektorer og vinkelen mellom dem gitt, og du må finne lengden på vektorproduktet. I dette tilfellet brukes formelen .

Eksempel.

Finn lengden på vektorproduktet til vektorene og , hvis kjent .

Løsning.

Vi vet fra definisjonen at lengden av vektorproduktet til vektorer og er lik produktet av lengdene til vektorer og ved sinusen til vinkelen mellom dem, derfor, .

Svar:

.

Problemer av den andre typen er relatert til koordinatene til vektorer, der vektorproduktet, dets lengde eller noe annet søkes gjennom koordinatene til gitte vektorer Og .

Det er mye potensiale her ulike alternativer. For eksempel kan ikke koordinatene til vektorene og spesifiseres, men deres utvidelser til koordinatvektorer av formen og , eller vektorer og kan spesifiseres av koordinatene til start- og sluttpunktene deres.

La oss se på typiske eksempler.

Eksempel.

To vektorer er gitt i et rektangulært koordinatsystem . Finn deres kryssprodukt.

Løsning.

I følge den andre definisjonen skrives vektorproduktet av to vektorer i koordinater som:

Vi ville ha kommet til samme resultat hvis vektorproduktet hadde blitt skrevet ut ifra determinanten

Svar:

.

Eksempel.

Finn lengden på vektorproduktet til vektorene og , hvor er enhetsvektorene til det rektangulære kartesiske koordinatsystemet.

Løsning.

Først finner vi koordinatene til vektorproduktet i et gitt rektangulært koordinatsystem.

Siden vektorer og har henholdsvis koordinater og (om nødvendig, se artikkelkoordinatene til en vektor i et rektangulært koordinatsystem), så har vi ved den andre definisjonen av et vektorprodukt

Det vil si vektorproduktet har koordinater i et gitt koordinatsystem.

Vi finner lengden på et vektorprodukt som kvadratroten av summen av kvadratene av dets koordinater (vi fikk denne formelen for lengden på en vektor i avsnittet om å finne lengden på en vektor):

Svar:

.

Eksempel.

I et rektangulært kartesisk koordinatsystem er koordinatene til tre punkter gitt. Finn en vektor som er vinkelrett og samtidig.

Løsning.

Vektorer og har henholdsvis koordinater og (se artikkelen finne koordinatene til en vektor gjennom koordinatene til punktene). Hvis vi finner vektorproduktet til vektorene og , så er det per definisjon en vektor vinkelrett på både til og til , det vil si at det er en løsning på problemet vårt. La oss finne ham

Svar:

- en av de perpendikulære vektorene.

I problemer av den tredje typen testes ferdigheten til å bruke egenskapene til vektorproduktet til vektorer. Etter å ha brukt egenskapene, brukes de tilsvarende formlene.

Eksempel.

Vektorene og er vinkelrette og deres lengder er henholdsvis 3 og 4. Finn lengden på kryssproduktet .

Løsning.

Ved den distributive egenskapen til et vektorprodukt kan vi skrive

På grunn av kombinasjonsegenskapen tar vi de numeriske koeffisientene ut av tegnet til vektorproduktene i det siste uttrykket:

Vektoren produkter og er lik null, siden Og , Deretter .

Siden vektorproduktet er antikommutativt, så .

Så ved å bruke egenskapene til vektorproduktet kom vi frem til likheten .

Ved betingelse er vektorene og vinkelrett, det vil si at vinkelen mellom dem er lik . Det vil si at vi har alle data for å finne ønsket lengde

Svar:

.

Geometrisk betydning av et vektorprodukt.

Per definisjon er lengden på vektorproduktet til vektorer . Og fra geometrikurset videregående skole Vi vet at arealet av en trekant er lik halvparten av produktet av lengdene til de to sidene av trekanten og sinusen til vinkelen mellom dem. Følgelig er lengden på vektorproduktet lik to ganger arealet av en trekant hvis sider er vektorene og , hvis de er plottet fra ett punkt. Med andre ord, lengden på vektorproduktet til vektorene og er lik arealet til et parallellogram med sider og og vinkelen mellom dem lik . Dette er geometrisk betydning vektor produkt.

I denne leksjonen skal vi se på ytterligere to operasjoner med vektorer: vektorprodukt av vektorer Og blandet produkt av vektorer (umiddelbar lenke for de som trenger det). Det er greit, noen ganger skjer det at for fullstendig lykke, i tillegg til skalært produkt av vektorer , mer og mer kreves. Dette er vektoravhengighet. Det kan virke som om vi kommer ut i villmarka analytisk geometri. Dette er feil. I denne delen av høyere matematikk er det generelt lite ved, bortsett fra kanskje nok for Pinocchio. Faktisk er materialet veldig vanlig og enkelt - neppe mer komplisert enn det samme skalært produkt , blir det enda færre typiske oppgaver. Hovedsaken i analytisk geometri, som mange vil være overbevist om eller allerede har blitt overbevist om, er Å IKKE GJØRE FEIL I BEREGNINGER. Gjenta som en trolldom, så blir du glad =)

Hvis vektorer glitrer et sted langt unna, som lyn i horisonten, spiller det ingen rolle, start med leksjonen Vektorer for dummies å gjenopprette eller anskaffe grunnleggende kunnskap om vektorer. Mer forberedte lesere kan sette seg selektivt inn i informasjonen Jeg forsøkte å samle den mest komplette samlingen av eksempler som ofte finnes i praktisk jobb

Hva vil gjøre deg glad med en gang? Da jeg var liten kunne jeg sjonglere med to eller til og med tre baller. Det fungerte bra. Nå slipper du å sjonglere i det hele tatt, siden vi vil vurdere bare romlige vektorer, og flate vektorer med to koordinater vil bli utelatt. Hvorfor? Dette er hvordan disse handlingene ble født - vektoren og det blandede produktet av vektorer er definert og fungerer i tredimensjonalt rom. Det er allerede enklere!

Denne operasjonen, akkurat som skalarproduktet, involverer to vektorer. La disse være uforgjengelige brev.

Selve handlingen betegnet med på følgende måte:. Det er andre alternativer, men jeg er vant til å betegne vektorproduktet til vektorer på denne måten, i hakeparentes med et kryss.

Og med en gang spørsmål: hvis i skalært produkt av vektorer to vektorer er involvert, og her multipliseres også to vektorer, da hva er forskjellen? Den åpenbare forskjellen er først og fremst i RESULTATET:

Resultatet av skalarproduktet av vektorer er NUMBER:

Resultatet av kryssproduktet av vektorer er VEKTOR: , det vil si at vi multipliserer vektorene og får en vektor igjen. Lukket klubb. Egentlig er det her navnet på operasjonen kommer fra. I ulik undervisningslitteratur kan betegnelser også variere. Jeg vil bruke bokstaven.

Definisjon av kryssprodukt

Først blir det en definisjon med et bilde, deretter kommentarer.

Definisjon: Vektorprodukt ikke-kollineær vektorer, tatt i denne rekkefølgen, kalt VECTOR, lengde som er numerisk lik arealet av parallellogrammet, bygget på disse vektorene; vektor ortogonalt på vektorer, og er rettet slik at grunnlaget har en rett orientering:

La oss bryte ned definisjonen bit for bit, det er mye interessant her!

Så følgende viktige punkter kan fremheves:

1) De opprinnelige vektorene, angitt med røde piler, per definisjon ikke collineær. Det vil være hensiktsmessig å vurdere tilfellet med kollineære vektorer litt senere.

2) Vektorer tas i en strengt definert rekkefølge: – "a" multipliseres med "være", og ikke "være" med "a". Resultatet av vektormultiplikasjon er VEKTOR, som er indikert i blått. Hvis vektorene multipliseres med omvendt rekkefølge, da får vi en vektor lik lengde og motsatt i retning (bringebærfarge). Det vil si at likheten er sann .

3) La oss nå bli kjent med den geometriske betydningen av vektorproduktet. Dette er veldig viktig poeng! LENGDEN til den blå vektoren (og derfor den crimson vektoren) er numerisk lik OMRÅDET til parallellogrammet bygget på vektorene. På figuren er dette parallellogrammet farget svart.

Merk : tegningen er skjematisk, og naturlig nok er den nominelle lengden på vektorproduktet ikke lik arealet til parallellogrammet.

La oss huske en av de geometriske formler: Arealet til et parallellogram er lik produktet av tilstøtende sider og sinusen til vinkelen mellom dem. Derfor, basert på ovenstående, er formelen for å beregne LENGDEN til et vektorprodukt gyldig:

Jeg understreker at formelen handler om LENGDEN av vektoren, og ikke om selve vektoren. Hva er den praktiske meningen? Og meningen er at i problemer med analytisk geometri, er området til et parallellogram ofte funnet gjennom konseptet med et vektorprodukt:

La oss få den andre viktige formelen. Diagonalen til et parallellogram (rød stiplet linje) deler det i to lik trekant. Derfor kan området til en trekant bygget på vektorer (rød skyggelegging) bli funnet ved å bruke formelen:

4) Et like viktig faktum er at vektoren er ortogonal på vektorene, altså . Selvfølgelig er den motsatt rettede vektoren (bringebærpil) også ortogonal til de opprinnelige vektorene.

5) Vektoren er rettet slik at basis Det har Ikke sant orientering. I leksjonen om overgang til et nytt grunnlag Jeg snakket i tilstrekkelig detalj om planorientering, og nå skal vi finne ut hva romorientering er. Jeg vil forklare på fingrene dine høyre hånd . Kombiner mentalt pekefinger med vektor og langfinger med vektor. Ringfinger og lillefinger trykk den inn i håndflaten. Som et resultat tommel – vektorproduktet vil slå opp. Dette er et høyreorientert grunnlag (det er denne på figuren). Endre nå vektorene ( pekefinger og langfinger) noen steder, som et resultat vil tommelen snu seg, og vektorproduktet vil allerede se ned. Dette er også et høyreorientert grunnlag. Du har kanskje et spørsmål: hvilket grunnlag har forlatt orientering? "Tilordne" til de samme fingrene venstre hand vektorer, og få venstre basis og venstre orientering av rommet (i dette tilfellet vil tommelen være plassert i retning av den nedre vektoren). Figurativt sett "vrir" disse basene eller orienterer rommet i forskjellige retninger. Og dette konseptet bør ikke betraktes som noe fjernt eller abstrakt - for eksempel endres plassorienteringen av det mest vanlige speilet, og hvis du "trekker det reflekterte objektet ut av glasset", så vil det generell sak kan ikke kombineres med "originalen". Hold forresten tre fingre opp mot speilet og analyser refleksjonen ;-)

...hvor bra det er at du nå vet om høyre- og venstreorientert baserer seg, fordi uttalelsene til noen forelesere om en endring i orientering er skumle =)

Kryssprodukt av kollineære vektorer

Definisjonen har blitt diskutert i detalj, det gjenstår å finne ut hva som skjer når vektorene er kollineære. Hvis vektorene er kollineære, kan de plasseres på en rett linje og parallellogrammet vårt "brettes" også til en rett linje. Området for slike, som matematikere sier, degenerert parallellogram er lik null. Det samme følger av formelen - sinus til null eller 180 grader lik null, og derfor er arealet null

Altså, hvis, da Og . Vær oppmerksom på at selve vektorproduktet er lik nullvektoren, men i praksis blir dette ofte neglisjert og de skrives at det også er lik null.

Spesielt tilfelle– vektorprodukt av en vektor med seg selv:

Ved hjelp av vektorproduktet kan du sjekke kolineariteten til tredimensjonale vektorer, og vi vil også analysere blant annet dette problemet.

For løsninger praktiske eksempler kan være nødvendig trigonometrisk tabell for å finne verdiene til sinus fra den.

Vel, la oss tenne bålet:

Eksempel 1

a) Finn lengden på vektorproduktet til vektorer if

b) Finn arealet til et parallellogram bygget på vektorer hvis

Løsning: Nei, dette er ikke en skrivefeil, jeg har bevisst gjort de første dataene i klausulene like. Fordi utformingen av løsningene blir annerledes!

a) I henhold til tilstanden må du finne lengde vektor (kryssprodukt). I henhold til den tilsvarende formelen:

Svar:

Siden spørsmålet handlet om lengde, angir vi dimensjonen i svaret - enheter.

b) I henhold til tilstanden, må du finne torget parallellogram bygget på vektorer. Arealet til dette parallellogrammet er numerisk lik lengden på vektorproduktet:

Svar:

Vær oppmerksom på at svaret ikke snakker om vektorproduktet vi ble spurt om området av figuren, følgelig er dimensjonen kvadratiske enheter.

Vi ser alltid på HVA vi må finne i henhold til tilstanden, og ut fra dette formulerer vi klar svar. Det kan virke bokstavelig, men det er nok av bokstavelige lærere blant dem, og oppgaven har gode muligheter for å bli returnert for revisjon. Selv om dette ikke er en spesielt langsiktig uenighet - hvis svaret er feil, så får man inntrykk av at personen ikke forstår enkle ting og/eller ikke forsto essensen av oppgaven. Dette punktet må alltid holdes under kontroll når man løser ethvert problem i høyere matematikk, og også i andre fag.

Hvor ble det av den store bokstaven "en"? I prinsippet kunne det i tillegg vært knyttet til løsningen, men for å forkorte oppføringen gjorde jeg ikke dette. Jeg håper alle forstår det og er en betegnelse på det samme.

Et populært eksempel på en DIY-løsning:

Eksempel 2

Finn arealet til en trekant bygget på vektorer hvis

Formelen for å finne arealet av en trekant gjennom vektorproduktet er gitt i kommentarene til definisjonen. Løsningen og svaret er på slutten av leksjonen.

I praksis er oppgaven veldig vanlig; trekanter kan generelt plage deg.

For å løse andre problemer trenger vi:

Egenskaper til vektorproduktet til vektorer

Vi har allerede vurdert noen egenskaper til vektorproduktet, men jeg vil inkludere dem i denne listen.

For vilkårlige vektorer og vilkårlige tall, følgende egenskaper:

1) I andre informasjonskilder er denne posten vanligvis ikke fremhevet i egenskapene, men den er veldig viktig i praksis. Så la det være.

2) – eiendommen er også omtalt ovenfor, noen ganger kalles det antikommutativitet. Med andre ord, rekkefølgen på vektorene har betydning.

3) – assosiativ eller assosiativ vektor produktlover. Konstanter kan enkelt flyttes utenfor vektorproduktet. Virkelig, hva skal de gjøre der?

4) – distribusjon eller distributive vektor produktlover. Det er heller ingen problemer med å åpne brakettene.

For å demonstrere, la oss se på et kort eksempel:

Eksempel 3

Finn hvis

Løsning: Tilstanden krever igjen å finne lengden på vektorproduktet. La oss male miniatyren vår:

(1) I henhold til assosiative lover tar vi konstantene utenfor rammen av vektorproduktet.

(2) Vi flytter konstanten utenfor modulen, og modulen "spiser" minustegnet. Lengden kan ikke være negativ.

(3) Resten er klart.

Svar:

Det er på tide å legge mer ved til bålet:

Eksempel 4

Beregn arealet av en trekant bygget på vektorer hvis

Løsning: Finn arealet av trekanten ved å bruke formelen . Haken er at vektorene "tse" og "de" i seg selv presenteres som summer av vektorer. Algoritmen her er standard og minner litt om eksempel nr. 3 og 4 i leksjonen Punktprodukt av vektorer . For klarhetens skyld vil vi dele løsningen inn i tre stadier:

1) På det første trinnet uttrykker vi vektorproduktet gjennom vektorproduktet, faktisk, la oss uttrykke en vektor i form av en vektor. Ingen ord ennå om lengder!

(1) Bytt ut uttrykkene til vektorene.

(2) Ved å bruke distributive lover åpner vi parentesene i henhold til regelen for multiplikasjon av polynomer.

(3) Ved å bruke assosiative lover flytter vi alle konstanter utover vektorproduktene. Med litt erfaring kan trinn 2 og 3 utføres samtidig.

(4) De første og siste leddene er lik null (nullvektor) på grunn av den fine egenskapen. I det andre begrepet bruker vi egenskapen til antikommutativitet til et vektorprodukt:

(5) Vi presenterer lignende termer.

Som et resultat viste det seg at vektoren ble uttrykt gjennom en vektor, som er det som kreves for å oppnås:

2) I det andre trinnet finner vi lengden på vektorproduktet vi trenger. Denne handlingen ligner på eksempel 3:

3) Finn arealet til den nødvendige trekanten:

Trinn 2-3 av løsningen kunne vært skrevet på én linje.

Svar:

Problemet som vurderes er ganske vanlig i tester, her er et eksempel på en uavhengig løsning:

Eksempel 5

Finn hvis

En kort løsning og svar på slutten av timen. La oss se hvor oppmerksom du var da du studerte de forrige eksemplene ;-)

Kryssprodukt av vektorer i koordinater

, spesifisert på ortonormal basis, uttrykt med formelen:

Formelen er veldig enkel: i den øverste linjen til determinanten skriver vi koordinatvektorene, i den andre og tredje linjen "setter" vi koordinatene til vektorene, og vi setter V i streng rekkefølge – først koordinatene til «ve»-vektoren, deretter koordinatene til «dobbel-ve»-vektoren. Hvis vektorene må multipliseres i en annen rekkefølge, bør radene byttes:

Eksempel 10

Sjekk om følgende romvektorer er kollineære:
EN)
b)

Løsning: Kontrollen er basert på et av utsagnene i denne leksjonen: hvis vektorene er kollineære, er deres vektorprodukt lik null (null vektor): .

a) Finn vektorproduktet:

Dermed er ikke vektorene kollineære.

b) Finn vektorproduktet:

Svar: a) ikke collineær, b)

Her er kanskje all grunnleggende informasjon om vektorproduktet til vektorer.

Denne delen vil ikke være veldig stor, siden det er få problemer der det blandede produktet av vektorer brukes. Faktisk vil alt avhenge av definisjonen, geometrisk betydning og et par arbeidsformler.

Et blandet produkt av vektorer er produktet av tre vektorer:

Så de stilte seg opp som et tog og kan ikke vente på å bli identifisert.

Først, igjen, en definisjon og et bilde:

Definisjon: Blandet arbeid ikke-coplanar vektorer, tatt i denne rekkefølgen, kalt parallellepipedum volum, bygget på disse vektorene, utstyrt med et "+"-tegn hvis basisen er høyre, og et "–"-tegn hvis basisen er venstre.

La oss tegne. Linjer som er usynlige for oss er tegnet med stiplede linjer:

La oss dykke ned i definisjonen:

2) Vektorer tas i en bestemt rekkefølge, det vil si at omorganiseringen av vektorer i produktet, som du kanskje gjetter, ikke skjer uten konsekvenser.

3) Før jeg kommenterer den geometriske betydningen, vil jeg legge merke til et åpenbart faktum: det blandede produktet av vektorer er et TALL: . I pedagogisk litteratur kan designet være litt annerledes Jeg er vant til å betegne et blandet produkt med , og resultatet av beregninger med bokstaven "pe".

A-priory det blandede produktet er volumet til parallellepipedet, bygget på vektorer (figuren er tegnet med røde vektorer og svarte linjer). Det vil si at tallet er lik volumet til et gitt parallellepiped.

Merk : Tegningen er skjematisk.

4) La oss ikke bekymre oss igjen om konseptet med orientering av grunnlaget og rommet. Meningen med den siste delen er at et minustegn kan legges til volumet. Med enkle ord, kan det blandede produktet være negativt: .

Direkte fra definisjonen følger formelen for å beregne volumet til et parallellepiped bygget på vektorer.