Hvordan ser en scalene rektangulær ut? Akutt trekant

Triangel . Akutt, stump og rettvinklet trekant.

Ben og hypotenusa. Likebenet og likesidet trekant.

Summen av vinkler i en trekant.

Ytre vinkel til en trekant. Tegn på likhet av trekanter.

Bemerkelsesverdige linjer og punkter i en trekant: høyder, medianer,

halveringslinjer, median e perpendikulære, ortosenter,

tyngdepunkt, sentrum av en omskrevet sirkel, sentrum av en innskrevet sirkel.

Pythagoras teorem. Aspektforhold i en vilkårlig trekant.

Triangel er en polygon med tre sider (eller tre vinkler). Sidene i en trekant er ofte indikert med små bokstaver som tilsvarer de store bokstavene som representerer de motsatte hjørnene.

Hvis alle tre vinklene er spisse (fig. 20), så er dette spiss trekant . Hvis en av vinklene er rett(C, fig. 21), det er høyre trekant; sidera, bdanne en rett vinkel kalles bena; sidecmotsatt den rette vinkelen kalles hypotenusen. Hvis en av stumpe vinkler (B, fig. 22), det er stump trekant.


Trekant ABC (fig. 23) - likebent, Hvis to sidene er like (en= c); disse like sidene kalles lateralt, kalles tredjeparten basis triangel. Triangel ABC (fig. 24) – likesidet, Hvis Alle sidene er like (en = b = c). I generell sak (en ≠ b ≠ c) vi har scalene triangel .

Grunnleggende egenskaper ved trekanter. I en hvilken som helst trekant:

1. Motsatt den større siden ligger den større vinkelen, og omvendt.

2. Imot like sider vinklene er like og omvendt.

Spesielt alle vinkler inn likesidet trekanten er like.

3. Summen av vinklene til en trekant er 180 º .

Fra de to siste egenskapene følger det at hver vinkel i en likesidet

trekanten er 60 º.

4. Fortsetter en av sidene i trekanten (AC, fig. 25), vi får utvendig

vinkel BCD . Den ytre vinkelen til en trekant er lik summen av de indre vinklene,

ikke ved siden av den : BCD = A + B.

5. Noen siden av en trekant er mindre enn summen av de to andre sidene og større

deres forskjeller (en < b + c, en > b – c;b < en + c, b > en – c;c < en + b,c > en – b).

Tegn på likhet av trekanter.

Trekanter er kongruente hvis de er respektive like:

en ) to sider og vinkelen mellom dem;

b ) to hjørner og siden ved siden av dem;

c) tre sider.

Tegn på likhet av rette trekanter.

To rektangulær trekanter er like hvis en av følgende betingelser er oppfylt:

1) bena deres er like;

2) benet og hypotenusen til en trekant er lik benet og hypotenusen til den andre;

3) hypotenusen og den spisse vinkelen til en trekant er lik hypotenusen og den spisse vinkelen til den andre;

4) benet og den tilstøtende spisse vinkelen til en trekant er lik benet og den tilstøtende spisse vinkelen til den andre;

5) benet og den motsatte spisse vinkelen til en trekant er lik benet og den motsatte spisse vinkelen til den andre.

Fantastiske linjer og punkter i trekanten.

Høyde trekant ervinkelrett,senkes fra et hvilket som helst toppunkt til motsatt side ( eller fortsettelsen). Denne siden kallesbase av trekanten . De tre høydene i en trekant krysser alltid hverandrepå et tidspunkt, kalt ortosenter triangel. Ortosenter av en spiss trekant (punkt O , Fig. 26) er plassert inne i trekanten, ogortosenter av en stump trekant (punkt O , fig. 27) – utenfor; Ortosenteret til en rettvinklet trekant faller sammen med toppunktet rett vinkel.

Median - Dette linjestykke , som forbinder et hvilket som helst toppunkt i en trekant til midten av motsatt side. Tre medianer av en trekant (AD, BE, CF, fig.28) kryss på ett punkt O , alltid liggende inne i trekanten og være hans tyngdepunkt. Dette punktet deler hver median i forholdet 2:1, regnet fra toppunktet.

Bisector - Dette halveringssegment vinkel fra toppunkt til punkt kryss med motsatt side. Tre halveringslinjer i en trekant (AD, BE, CF, fig.29) kryss på ett punkt Å, alltid liggende inne i trekanten Og å være midten av den innskrevne sirkelen(se avsnittet "Innskrevetog omskrevne polygoner").

Halveringslinjen deler den motsatte siden i deler proporsjonale med de tilstøtende sidene ; for eksempel i fig. 29 AE: CE = AB: BC.

Median vinkelrett er en vinkelrett trukket fra midten segmentpunkter (sider). Tre vinkelrette halveringslinjer av trekant ABC(KO, MO, NO, Fig. 30 ) skjærer i ett punkt O, som er senter omskrevne sirkel (peker K, M, N – midtpunktene til sidene i trekanten ABC).

I en spiss trekant ligger dette punktet inne i trekanten; i stump - utenfor; i en rektangulær - i midten av hypotenusen. Ortosenter, tyngdepunkt, circumcenter og innskrevet sirkel bare sammenfaller i en likesidet trekant.

Pythagoras teorem. I en rettvinklet trekant, kvadratet av lengdeHypotenusen er lik summen av kvadratene av lengdene på bena.

Beviset for Pythagoras teorem følger tydelig av fig. 31. Tenk på en rettvinklet trekant ABC med ben a, b og hypotenusen c.

La oss bygge en firkant AKMB ved hjelp av hypotenusen AB som en side. Deretterfortsett sidene av den rette trekanten ABC for å få en firkant CDEF , hvis side er lika+b.Nå er det klart at området på torget CDEF er lik ( a+b) 2 . På den annen side, dette areal er lik summen områder fire rette trekanter og kvadratet AKMB, altså

c 2 + 4 (ab / 2) = c 2 + 2 ab,

herfra,

c 2 + 2 ab= (a+b) 2 ,

og til slutt har vi:

c 2 =en 2 +b 2 .

Aspektforhold i en vilkårlig trekant.

I det generelle tilfellet (for en vilkårlig trekant) har vi:

c 2 =en 2 +b 2 – 2ab· cos C,

hvor C – vinkel mellom sideneen Og b .

I dag skal vi til geometriens land, hvor vi skal bli kjent med forskjellige typer trekanter.

Vurder de geometriske formene og finn den "ekstra" blant dem (fig. 1).

Ris. 1. Illustrasjon for eksempel

Vi ser at figurene nr. 1, 2, 3, 5 er firkanter. Hver av dem har sitt eget navn (fig. 2).

Ris. 2. Firkanter

Dette betyr at den "ekstra" figuren er en trekant (fig. 3).

Ris. 3. Illustrasjon for eksempel

En trekant er en figur som består av tre punkter som ikke ligger på samme linje og tre segmenter som forbinder disse punktene i par.

Punktene kalles toppunktene i trekanten, segmenter - hans fester. Sidene av trekanten dannes Det er tre vinkler ved toppunktene til en trekant.

Hovedtrekkene til en trekant er tre sider og tre hjørner. I henhold til størrelsen på vinkelen er trekanter akutt, rektangulær og stump.

En trekant kalles spissvinklet hvis alle tre vinklene er spisse, det vil si mindre enn 90° (fig. 4).

Ris. 4. Akutt trekant

En trekant kalles rektangulær hvis en av vinklene er 90° (fig. 5).

Ris. 5. Rett trekant

En trekant kalles stump hvis en av vinklene er stumpe, det vil si mer enn 90° (fig. 6).

Ris. 6. Stump trekant

Basert på antall like sider er trekanter likesidede, likebenede, skalaene.

En likebenet trekant er en der to sider er like (fig. 7).

Ris. 7. Likebenet trekant

Disse sidene kalles lateralt, tredje side - basis. I en likebenet trekant er grunnvinklene like.

Det er likebente trekanter akutt og stump(Fig. 8) .

Ris. 8. Akutte og stumpe likebenede trekanter

En likesidet trekant er en der alle tre sidene er like (fig. 9).

Ris. 9. Likesidet trekant

I en likesidet trekant alle vinkler er like. Likesidede trekanter Alltid spissvinklet.

En scalene er en trekant der alle tre sidene har forskjellig lengde (fig. 10).

Ris. 10. Skala trekant

Fullfør oppgaven. Fordel disse trekantene i tre grupper (fig. 11).

Ris. 11. Illustrasjon til oppgaven

Først, la oss fordele etter størrelsen på vinklene.

Akutte trekanter: nr. 1, nr. 3.

Rettvinklede trekanter: nr. 2, nr. 6.

Stumpe trekanter: nr. 4, nr. 5.

Vi vil fordele de samme trekantene i grupper etter antall like sider.

Skala trekanter: nr. 4, nr. 6.

Likebenede trekanter: nr. 2, nr. 3, nr. 5.

Likesidet trekant: nr. 1.

Se på bildene.

Tenk på hvilket stykke ledning hver trekant ble laget av (fig. 12).

Ris. 12. Illustrasjon til oppgaven

Du kan tenke slik.

Den første tråden er delt inn i tre like deler, slik at du kan lage en likesidet trekant av den. Han er vist tredje på bildet.

Den andre tråden er delt inn i tre forskjellige deler, slik at den kan brukes til å lage en skala trekant. Det vises først på bildet.

Den tredje tråden er delt i tre deler, der to deler har samme lengde, noe som betyr at det kan lages en likebenet trekant av den. På bildet er han vist nummer to.

I dag i klassen lærte vi om forskjellige typer trekanter.

Bibliografi

1. M.I. Moreau, M.A. Bantova og andre: Lærebok. 3. klasse: i 2 deler, del 1. - M.: “Enlightenment”, 2012.
2. M.I. Moreau, M.A. Bantova og andre: Lærebok. 3. klasse: i 2 deler, del 2. - M.: “Enlightenment”, 2012.
3. M.I. Moro. Mattetimer: Retningslinjer for læreren. 3. klasse. - M.: Utdanning, 2012.
4. Reguleringsdokument. Overvåking og evaluering av læringsutbytte. - M.: "Enlightenment", 2011.
5. "School of Russia": Programmer for grunnskole. - M.: "Enlightenment", 2011.
6. S.I. Volkova. Matematikk: Prøvearbeid. 3. klasse. - M.: Utdanning, 2012.
7. V.N. Rudnitskaya. Tester. - M.: "Eksamen", 2012.

1. Nsportal.ru ().
2. Prosv.ru ().
3. Do.gendocs.ru ().

Hjemmelekser

1. Fullfør setningene.

a) En trekant er en figur som består av ... som ikke ligger på samme linje, og ... som forbinder disse punktene i par.

b) Punktene kalles … , segmenter - hans … . Sidene av trekanten dannes ved hjørnene av trekanten ….

c) Etter størrelsen på vinkelen er trekanter ... , ... , ... .

d) Basert på antall like sider er trekanter ... , ... , ... .

2. Tegn

a) rettvinklet trekant;

b) spiss trekant;

c) stump trekant;

d) likesidet trekant;

e) scalene trekant;

e) likebenet trekant.

3. Lag en oppgave om emnet for leksjonen til vennene dine.

En viss trekant der alle sidene ikke er like lange kalles vanligvis allsidig.

En trekant med to like sider betegnes som likebent. Identiske sider kalles vanligvis lateralt, tredjepart - basis. Følgende definisjon vil være like sann trekantbaser er siden av en likebenet trekant som ikke er lik de to andre sidene.

I likebent trekant vinklene ved bunnen er like. Høyde, median, halveringslinje av en likebenet trekant, trukket til basen, er på linje.

Triangel, med alle like sider, er betegnet som likesidet eller riktig. I en likesidet trekant er alle vinkler 60°, og sentrene til de innskrevne og omskrevne sirklene er på linje.

Typer trekanter avhengig av vinkelparametere.

En trekant der kun vinkler mindre enn 90 0 (akutt) kalles spissvinklet.

En trekant som inneholder en vinkel på 90 0 kalles rektangulær. Sidene av en trekant som danner en rett vinkel er vanligvis utpekt bena, og siden motsatt den rette vinkelen er hypotenusen.

En trekant er en figur som består av tre punkter forbundet med hverandre. Avhengig av vinklene kan en trekant være:

• Rektangulær, hvis en av vinklene er 90 grader;
• Stumpet, hvis en av vinklene er stumpe, dvs. mer enn 90 grader;
• Akuttvinklet, hvis alle vinklene i trekanten er spisse.

For å løse problemer med akutte trekanter må du ofte bruke sinus- eller cosinussetningen.

Også i Antikkens Hellas matematikere studerte trekanter. Det var grekerne som utviklet grunnlaget for moderne geometri, som inkluderer mange teoremer om trekanter. For eksempel kommer forfatteren av Pythagoras teorem fra antikkens Hellas.

Kjennetegn

I en spiss trekant er hver vinkel mindre enn 90 grader. Men summen av vinklene i en trekant er alltid lik 180. I enhver figur er toppunktene angitt med store bokstaver.

Et av elementene i en trekant, sammen med sidene og vinklene, er utvendig hjørne. En ytre vinkel er en vinkel ved siden av innvendig hjørne triangel.

Enhver trekant har 6 ytre vinkler, 2 for hver indre. Enhver ytre vinkel til en spiss trekant vil alltid være en stump vinkel.

Linjer i en spiss trekant

En spiss trekant har en rekke egenskaper.

Medianen vil være lik halve lengden av siden av den geometriske figuren den er senket på. Dessuten kan dette segmentet tegnes fra et hvilket som helst toppunkt.

Ris. 1. Medianer i en spiss trekant

Det er kjent at hvis du tegner tre høyder i en spiss trekant, vil de krysse hverandre i ett punkt, som kalles ortosenteret. Disse segmentene senkes i rette vinkler til motsatte sider. Høydene i en spiss trekant deler denne figuren inn i like trekanter.

Ris. 2. Høyder i en spiss trekant

Halveringer i en spiss trekant halverer ikke bare vinklene. Disse segmentene skjærer hverandre i et punkt som er sentrum av den innskrevne sirkelen.

Også halveringslinjen deler siden av en spiss trekant i to deler, som er proporsjonale med de tilsvarende sidene. Denne uttalelsen må huskes for å løse noen problemer.

Ris. 3. Halvledere i en spiss trekant

Egenskaper

Hvis vi summerer de numeriske verdiene til to sider av en spiss trekant, vil vi definitivt få et tall som vil være større enn det tredje segmentet av denne geometriske figuren.

Midtlinjen i en spiss trekant er parallell med en av sidene på denne figuren og er lik halvparten av dens halvdel.

Hva har vi lært?

I en spiss trekant er hver vinkel mindre enn 90 grader. Den totale summen av vinklene her er også 180 grader. Vi må ikke glemme de karakteristiske linjene i trekanten. For med deres hjelp er det enkelt å beregne sidene til en gitt trekantet figur eller midten av en viss sirkel. Og hvis vinkler er angitt i forholdene for geometriproblemer, kan du bruke trigonometriske funksjoner.

Test om emnet

Artikkelvurdering

Gjennomsnittlig rangering: 4.5. Totalt mottatte vurderinger: 114.

Når man studerer matematikk, begynner elevene å bli kjent med ulike typer geometriske former. I dag skal vi snakke om forskjellige typer trekanter.

Definisjon

Geometriske figurer som består av tre punkter som ikke er på samme linje kalles trekanter.

Segmentene som forbinder punktene kalles sider, og punktene kalles toppunkter. Topppunkter er angitt med store bokstaver, for eksempel: A, B, C.

Sidene er betegnet med navnene på de to punktene de består av - AB, BC, AC. Kryssende danner sidene vinkler. Undersiden regnes som basen til figuren.

Ris. 1. Trekant ABC.

Typer trekanter

Trekanter er klassifisert etter vinkler og sider. Hver type trekant har sine egne egenskaper.

Det er tre typer trekanter i hjørnene:

• spissvinklet;
• rektangulær;
• stumpvinklet.

Alle vinkler spissvinklet trekanter er akutte, det vil si at gradmålet for hver ikke er mer enn 90 0.

Rektangulær en trekant inneholder en rett vinkel. De to andre vinklene vil alltid være spisse, siden ellers vil summen av vinklene til trekanten overstige 180 grader, og dette er umulig. Siden som er motsatt den rette vinkelen kalles hypotenusen, og de to andre kalles bena. Hypotenusen er alltid større enn benet.

Stumpet trekanten inneholder stump vinkel. Det vil si en vinkel større enn 90 grader. De to andre vinklene i en slik trekant vil være spisse.

Ris. 2. Typer trekanter i hjørnene.

En pytagoreisk trekant er et rektangel hvis sider er 3, 4, 5.

Dessuten er den større siden hypotenusen.

Slike trekanter brukes ofte til å lage enkle oppgaver i geometri. Husk derfor: hvis to sider av en trekant er lik 3, vil den tredje definitivt være 5. Dette vil forenkle beregningene.

Typer trekanter på sidene:

• likesidet;
• likebent;
• allsidig.

Likesidet En trekant er en trekant der alle sider er like. Alle vinkler i en slik trekant er lik 60 0, det vil si at den alltid er spiss.

Likebent trekant - en trekant med bare to sider like. Disse sidene kalles laterale, og den tredje kalles basen. I tillegg er vinklene ved bunnen av en likebenet trekant like og alltid spisse.

Allsidig eller en vilkårlig trekant er en trekant der alle lengder og alle vinkler ikke er like hverandre.

Hvis problemet ikke inneholder noen avklaringer om figuren, er det generelt akseptert at vi snakker om en vilkårlig trekant.

Ris. 3. Typer trekanter på sidene.

Summen av alle vinkler i en trekant, uansett type, er 1800.

Motsatt den større vinkelen er den større siden. Og også lengden på en side er alltid mindre enn summen av de to andre sidene. Disse egenskapene bekreftes av trekantulikhetsteoremet.

Det er et konsept om den gylne trekanten. Dette er en likebenet trekant, der to sider er proporsjonale med basen og lik et visst antall. I en slik figur er vinklene proporsjonale med forholdet 2:2:1.

Oppgave:

Finnes det en trekant hvis sider er 6 cm, 3 cm, 4 cm?

Løsning:

For å løse denne oppgaven må du bruke ulikheten a

Hva har vi lært?

Fra av dette materialet Fra matematikkkurset i 5. klasse lærte vi at trekanter klassifiseres etter sidene og størrelsen på vinklene. Trekanter har visse egenskaper som kan brukes til å løse problemer.