a) Finn likningene til sidene i trekanten ABC.
b) Finn ligningen til en av medianene til trekanten ABC.
c) Finn ligningen til en av høydene til trekanten ABC.
d) Finn ligningen til en av halveringslinjene til trekanten ABC.
e) Finn arealet av trekanten ABC.
Løsning Vi gjør det ved hjelp av en kalkulator.
Koordinatene til trekanten er gitt: A(2,1), B(1,-2), C(-1,0).
1) Vektorkoordinater
Vi finner koordinatene til vektorene ved å bruke formelen:
X = x j - x i; Y = y j - y i
For eksempel for vektor AB
X = 1-2 = -1; Y = -2-1 = -3
AB(-1;-3)
AC(-3;-1)
BC(-2;2)
2) Vektormoduler
3) Vinkel mellom rette linjer
Vinkelen mellom vektorene a 1 (X 1 ;Y 1), a 2 (X 2 ;Y 2) kan finnes ved å bruke formelen: 
hvor a 1 a 2 = X 1 X 2 + Y 1 Y 2
Finn vinkelen mellom sidene AB og AC 
γ = arccos(0,6) = 53,13 0
4) Vektorprojeksjon
Vektorprojeksjon b til vektor en kan bli funnet ved hjelp av formelen:
La oss finne projeksjonen av vektor AB på vektor AC 
5) Arealet av trekanten
Løsning
Ved å bruke formelen får vi:
6) Inndeling av et segment i denne relasjonen
Radiusvektoren r til punkt A, som deler segmentet AB i forholdet AA:AB = m 1:m 2, bestemmes av formelen: 
Koordinatene til punkt A er funnet ved å bruke formlene: 
Ligning av medianen til en trekant
La oss betegne midten av siden BC med bokstaven M. Da finner vi koordinatene til punktet M ved å bruke formlene for å dele et segment i to. 
M(0;-1)
Vi finner ligningen til medianen AM ved å bruke formelen for ligningen til en rett linje som går gjennom to gitte punkter. Medianen AM går gjennom punktene A(2;1) og M(0;-1), derfor:
eller
eller
y = x -1 eller y -x +1 = 0
7) Ligning av en linje
Ligning av linje AB
eller
eller
y = 3x -5 eller y -3x +5 = 0
Ligning av linje AC
eller
eller
y = 1 / 3 x + 1 / 3 eller 3y -x - 1 = 0
Ligning av linje BC 
eller
eller
y = -x -1 eller y + x +1 = 0
8) Lengden på høyden til trekanten trukket fra toppunktet A
Avstanden d fra punktet M 1 (x 1 ;y 1) til den rette linjen Ax + By + C = 0 er lik den absolutte verdien av mengden: 
Finn avstanden mellom punkt A(2;1) og linjen BC (y + x +1 = 0) 
9) Høydeligning gjennom toppunkt C
Den rette linjen som går gjennom punktet M 0 (x 0 ;y 0) og vinkelrett på den rette linjen Ax + By + C = 0 har en retningsvektor (A;B) og er derfor representert ved ligningene: 
Denne ligningen kan finnes på en annen måte. For å gjøre dette, la oss finne stigningen k 1 til rett linje AB.
AB-ligning: y = 3x -5, dvs. k 1 = 3
La oss finne vinkelkoeffisienten k til perpendikulæren fra betingelsen for perpendikularitet til to rette linjer: k 1 *k = -1.
Ved å erstatte helningen til denne linjen i stedet for k 1 får vi:
3k = -1, hvorav k = -1/3
Siden perpendikulæren går gjennom punktet C(-1,0) og har k = -1 / 3, vil vi se etter ligningen på formen: y-y 0 = k(x-x 0).
Ved å erstatte x 0 = -1, k = -1 / 3, y 0 = 0 får vi:
y-0 = -1 / 3 (x-(-1))
eller
y = -1/3 x - 1/3
Trekanthalveringslikning
La oss finne halveringspunktet for vinkel A. La oss angi skjæringspunktet for halveringslinjen med siden BC som M.
La oss bruke formelen: 
AB-ligning: y -3x +5 = 0, AC-ligning: 3y -x - 1 = 0 
^A ≈ 53 0
Halveringslinjen deler vinkelen i to, derfor er vinkelen NAK ≈ 26,5 0
Helningen til AB er lik 3 (siden y -3x +5 = 0). Helningsvinkelen er 72
^NKA≈ 180 0 - 72 0 = 108 0
^ANK ≈ 180 0 - (108 0 + 26,5 0) ≈ 45,5 0
tg(45,5 0) = 1
Halvlederen går gjennom punktet A(2,1), ved hjelp av formelen har vi:
y - y 0 = k(x - x 0)
y - 1 = 1(x - 2)
eller
y=x-1
nedlasting
Eksempel. Koordinatene til toppunktene til trekanten ABC er gitt: A(–3; –1), B(4; 6), C(8; –2).
Påkrevd: 1) beregne lengden på siden av flyet; 2) lag en ligning for siden BC; 3) finne innvendig hjørne trekant ved toppunkt B; 4) komponer en ligning for høyden AK trukket fra toppunktet A; 5) finn koordinatene til tyngdepunktet til en homogen trekant (skjæringspunktene til dens medianer); 6) lage en tegning i et koordinatsystem.
Trening. Koordinatene til toppunktene til trekanten ABC er gitt: A(7;4), B(-9;-8), C(-2;16). Påkrevd:
- skriv en ligning for medianen trukket fra toppunkt B og beregn lengden.
- skriv en ligning for høyden trukket fra toppunkt A og beregn lengden.
- finn cosinus til indre vinkel B i trekanten ABC.
Last ned løsning
Eksempel nr. 3. Gitt toppunktene A(1;1), B(7;4), C(4;5) i en trekant. Finn: 1) lengden på siden AB; 2) indre vinkel A i radianer med en nøyaktighet på 0,001. Lag en tegning.
nedlasting
Eksempel nr. 4. Gitt toppunktene A(1;1), B(7;4), C(4;5) i en trekant. Finn: 1) ligningen for høyden trukket gjennom toppunktet C; 2) ligningen av medianen trukket gjennom toppunktet C; 3) skjæringspunktet mellom trekantens høyder; 4) lengden på høyden senket fra toppunktet C. Lag en tegning.
nedlasting
Eksempel nr. 5. Gitt toppunktene til trekanten ABC: A(-5;0), B(7;-9), C(11;13). Bestem: 1) lengden på siden AB; 2) ligning av sidene AB og AC og deres vinkelkoeffisienter; 3) området av trekanten.
Vi finner koordinatene til vektorene ved hjelp av formelen: X = x j - x i ; Y = y j - y i
Her X,Y koordinater vektor; x i, y i - koordinatene til punktet A i; x j, y j - koordinatene til punkt A j
For eksempel for vektor AB
X = x 2 - x 1; Y = y 2 - y 1
X = 7-(-5) = 12; Y = -9-0 = -9
AB(12;-9), AC(16;13), BC(4;22).
Lengden på sidene i trekanten
Lengden på vektoren a(X;Y) uttrykkes gjennom dens koordinater med formelen:
Arealet av en trekant
La punktene A 1 (x 1 ; y 1), A 2 (x 2 ; y 2), A 3 (x 3 ; y 3) være hjørnene i trekanten, så uttrykkes arealet med formelen:
På høyre side er det en andreordens determinant. Arealet av en trekant er alltid positivt.
Løsning. Ved å ta A som første toppunkt finner vi:
Ved å bruke formelen får vi:
Ligning av en linje
En rett linje som går gjennom punktene A 1 (x 1 ; y 1) og A 2 (x 2 ; y 2) er representert ved ligningene:
Ligning av linje AB
Kanonisk ligning av linjen:
eller
eller
y = -3 / 4 x -15 / 4 eller 4y + 3x +15 = 0
Helningen til den rette linjen AB er lik k = -3 / 4
Ligning av linje AC
eller
eller
y = 13 / 16 x + 65 / 16 eller 16y -13x - 65 = 0
Helningen til den rette linjen AB er lik k = 13 / 16
Trening. Koordinatene til toppunktene til ABCD-pyramiden er gitt. Påkrevd:
- Skriv vektorene i ort-systemet og finn modulene til disse vektorene.
- Finn vinkelen mellom vektorene.
- Finn projeksjonen av en vektor på en vektor.
- Finn området for ansikt ABC.
- Finn volumet til pyramiden ABCD.
Eksempel nr. 1
A 1 (1,8,2), A 2 (5,2,6), A 3 (0,-1,-2), A 4 (-2,3,-1): Eksempel nr. 2
A 1 (5,2,1), A 2 (-3,9,3), A 3 (-1,3,5), A 4 (-1,-5,2): Eksempel nr. 3
A 1 (-1,0,2), A 2 (-2,0,6), A 3 (-3,1,2), A 4 (-1,2,4): Eksempel nr. 4
Trening. Finne skarpt hjørne mellom linjene x + y -5 = 0 og x + 4y - 8 = 0.
Anbefalinger til løsning. Problemet løses ved å bruke tjenesten Vinkel mellom to rette linjer.
Svar: 30,96 o
Eksempel nr. 1. Koordinatene til punktene A1(1;0;2), A2(2;1;1), A3(-1;2;0), A4(-2;-1;-1) er gitt. Finn lengden på kanten A1A2. Lag en ligning for kant A1A4 og side A1A2A3. Lag en ligning for høyden senket fra punkt A4 til planet A1A2A3. Finn arealet av trekanten A1A2A3. Finn volumet til den trekantede pyramiden A1A2A3A4.
Vi finner koordinatene til vektorene ved hjelp av formelen: X = x j - x i ; Y = y j - yi; Z = z j - z i
her X,Y,Z koordinater til vektoren; x i, y i, z i - koordinatene til punktet A i; x j, y j, z j - koordinatene til punktet A j;
Så for vektoren A 1 A 2 vil de være som følger:
X = x 2 - x 1; Y = y2-y1; Z = z 2 - z 1
X = 2-1; Y = 1-0; Z = 1-2
A 1 A 2 (1;1;-1)
A 1 A 3 (-2;2;-2)
A 1 A 4 (-3;-1;-3)
A 2 A 3 (-3;1;-1)
A 2 A 4 (-4;-2;-2)
A 3 A 4 (-1;-3;-1)
Lengden på vektoren a(X;Y;Z) uttrykkes gjennom dens koordinater med formelen: 
Hvordan lære å løse problemer ved hjelp av analytisk geometri?
Typisk problem med en trekant på et plan
Denne leksjonen er laget om tilnærmingen til ekvator mellom planets geometri og rommets geometri. For øyeblikket er det behov for å systematisere den akkumulerte informasjonen og svare veldig viktig spørsmål: hvordan lære å løse problemer i analytisk geometri? Vanskeligheten er at du kan komme opp med et uendelig antall problemer i geometri, og ingen lærebok vil inneholde all mangfoldet og mangfoldet av eksempler. Er ikke avledet av en funksjon med fem regler for differensiering, en tabell og flere teknikker...
Det finnes en løsning! Jeg vil ikke snakke høyt om det faktum at jeg har utviklet en slags grandiose teknikk, men etter min mening er det en effektiv tilnærming til problemet under vurdering, som lar selv en komplett dummy oppnå gode og utmerkede resultater. I det minste tok den generelle algoritmen for å løse geometriske problemer form veldig tydelig i hodet mitt.
HVA DU MÅ VITE OG KUNNE GJØRE
for å lykkes med å løse geometriproblemer?
Det er ingen flukt fra dette - for ikke å stikke knappene tilfeldig med nesen din, må du mestre det grunnleggende om analytisk geometri. Derfor, hvis du nettopp har begynt å studere geometri eller har glemt det helt, vennligst start med leksjonen Vektorer for dummies. I tillegg til vektorer og handlinger med dem, må du kjenne til de grunnleggende konseptene for plangeometri, spesielt, ligning av en linje i et plan Og . Geometrien til rommet er presentert i artikler Ligningen til flyet, Ligninger av en linje i rommet, Grunnleggende problemer på en rett linje og et fly og noen andre leksjoner. Buede linjer og romlige overflater av andre orden skiller seg noe fra hverandre, og det er ikke så mange spesifikke problemer med dem.
La oss anta at studenten allerede har grunnleggende kunnskaper og ferdigheter i å løse de enkleste problemene innen analytisk geometri. Men det skjer slik: du leser erklæringen om problemet, og ... du vil lukke hele greia, kaste det i det fjerne hjørnet og glemme hvordan mareritt. Dessuten er dette fundamentalt ikke avhengig av kvalifikasjonsnivået ditt fra tid til annen jeg selv kommer over oppgaver som løsningen ikke er åpenbar for. Hva skal man gjøre i slike tilfeller? Det er ingen grunn til å være redd for en oppgave du ikke forstår!
for det første, bør installeres - Er dette et "flat" eller romlig problem? For eksempel, hvis betingelsen inkluderer vektorer med to koordinater, så er dette selvfølgelig geometrien til et plan. Og hvis læreren lastet den takknemlige lytteren med en pyramide, så er det helt klart rommets geometri. Resultatene av det første trinnet er allerede ganske gode, fordi vi klarte å kutte av en enorm mengde informasjon som var unødvendig for denne oppgaven!
Sekund. Tilstanden vil vanligvis bekymre deg med en eller annen geometrisk figur. Faktisk, gå langs korridorene til ditt hjemlige universitet, og du vil se mange bekymrede ansikter.
I "flate" problemer, for ikke å nevne de åpenbare punktene og linjene, er den mest populære figuren en trekant. Vi vil analysere det i stor detalj. Deretter kommer parallellogrammet, og mye mindre vanlig er rektangel, firkant, rombe, sirkel og andre former.
I romlige oppgaver kan de samme fly flate figurer+ selve flyene og vanlige trekantede pyramider med parallellepipeder.
Spørsmål to - Vet du alt om denne figuren? Anta at tilstanden snakker om en likebenet trekant, og du husker veldig vagt hva slags trekant det er. Vi åpner en skolebok og leser om en likebenet trekant. Hva skal jeg gjøre... legen sa en rombe, det betyr en rombe. Analytisk geometri er analytisk geometri, men problemet vil bli løst av de geometriske egenskapene til selve figurene, kjent for oss fra skolepensum. Hvis du ikke vet hva summen av vinklene til en trekant er, kan du lide i lang tid.
Tredje. Prøv ALLTID å følge tegningen(på utkast/ferdigkopi/mentalt), selv om dette ikke kreves av betingelsen. I "flate" problemer beordret Euclid selv å plukke opp en linjal og en blyant - og ikke bare for å forstå tilstanden, men også for selvtesting. I dette tilfellet er den mest praktiske skalaen 1 enhet = 1 cm (2 bærbare celler). La oss ikke snakke om uforsiktige elever og matematikere som spinner i gravene deres – det er nesten umulig å gjøre feil i slike problemer. For romlige oppgaver utfører vi en skjematisk tegning, som også vil bidra til å analysere tilstanden.
En tegning eller skjematisk tegning lar deg ofte umiddelbart se hvordan du løser et problem. Selvfølgelig, for dette må du kjenne den grunnleggende geometrien og hacke i egenskapene geometriske former(se forrige avsnitt).
Fjerde. Utvikling av en løsningsalgoritme. Mange geometriproblemer er flertrinns, så løsningen og dens design er veldig praktisk å dele opp i punkter. Ofte dukker algoritmen opp umiddelbart etter at du har lest betingelsen eller fullført tegningen. Ved vanskeligheter starter vi med SPØRSMÅLET til oppgaven. For eksempel, i henhold til betingelsen "du må konstruere en rett linje ...". Her er det mest logiske spørsmålet: "Hva er nok å vite for å konstruere denne rette linjen?" Anta at "vi vet poenget, vi trenger å kjenne retningsvektoren." Vi stiller følgende spørsmål: "Hvordan finner jeg denne retningsvektoren? Hvor?" etc.
Noen ganger er det en "feil" - problemet er ikke løst, og det er det. Årsakene til stoppet kan være følgende:
– Alvorlig hull i grunnleggende kunnskap. Med andre ord, du vet ikke og/eller ser ikke en veldig enkel ting.
– Uvitenhet om egenskapene til geometriske figurer.
– Oppgaven var vanskelig. Ja, det skjer. Det nytter ikke å dampe i timevis og samle tårer i et lommetørkle. Søk råd fra læreren din, medstudenter, eller still et spørsmål på forumet. Dessuten er det bedre å gjøre uttalelsen konkret - om den delen av løsningen du ikke forstår. Et rop i form av "Hvordan løser jeg problemet?" ser ikke veldig bra ut... og fremfor alt for ditt eget rykte.
Etappe fem. Vi bestemmer-sjekker, bestemmer-sjekker, bestemmer-sjekker-gir svar. Det er en fordel å sjekke hvert punkt i oppgaven umiddelbart etter at den er fullført. Dette vil hjelpe deg å oppdage feilen umiddelbart. Naturligvis er det ingen som forbyr å raskt løse hele problemet, men det er en risiko for å omskrive alt på nytt (ofte flere sider).
Dette er kanskje alle hovedhensynene som bør følges når man løser problemer.
Den praktiske delen av leksjonen presenteres i plangeometri. Det vil bare være to eksempler, men det virker ikke nok =)
La oss gå gjennom tråden til algoritmen som jeg nettopp så på i mitt lille vitenskapelige arbeid:
Eksempel 1
Tre hjørner av et parallellogram er gitt. Finn toppen.
La oss begynne å forstå:
Steg en: Det er åpenbart at vi snakker om et "flat" problem.
Trinn to: Oppgaven omhandler et parallellogram. Husker alle denne parallellogramfiguren? Det er ingen grunn til å smile, mange mennesker får utdannelsen ved 30-40-50 år eller mer, så selv enkle fakta kan slettes fra hukommelsen. Definisjonen av et parallellogram finnes i eksempel nr. 3 i leksjonen Lineær (ikke) avhengighet av vektorer. Grunnlag for vektorer.
Trinn tre: La oss lage en tegning der vi markerer tre kjente hjørner. Det er morsomt at det ikke er vanskelig å umiddelbart konstruere ønsket punkt: 
Å konstruere det er selvfølgelig bra, men løsningen må formuleres analytisk.
Trinn fire: Utvikling av en løsningsalgoritme. Det første du tenker på er at et punkt kan bli funnet som skjæringspunktet mellom linjer. Vi kjenner ikke ligningene deres, så vi må forholde oss til dette problemet:
1) Motstående sider er parallelle. Etter poeng 
La oss finne retningsvektoren til disse sidene. Dette er det enkleste problemet som ble diskutert i klassen. Vektorer for dummies.
Merk: det er mer korrekt å si "ligningen til en linje som inneholder en side," men her og videre for korthets skyld vil jeg bruke setningene "ligning av en side," "retningsvektor for en side," osv.
3) Motstående sider er parallelle. Ved hjelp av punktene finner vi retningsvektoren til disse sidene.
4) La oss lage en ligning av en rett linje ved hjelp av et punkt og en retningsvektor
I avsnitt 1-2 og 3-4 løste vi faktisk det samme problemet to ganger, det ble diskutert i eksempel nr. 3 i leksjonen De enkleste problemene med en rett linje på et fly. Det var mulig å ta en lengre rute - finn først likningene til linjene og først deretter "trekk ut" retningsvektorene fra dem.
5) Nå er likningene til linjene kjent. Alt som gjenstår er å kompilere og løse det tilsvarende systemet lineære ligninger(se eksempel nr. 4, 5 i samme leksjon De enkleste problemene med en rett linje på et fly).
Poenget er funnet.
Problemet er ganske enkelt og løsningen er åpenbar, men det er en kortere vei!
Andre løsning:
Diagonalene til et parallellogram er todelt etter skjæringspunktet. Jeg markerte poenget, men for ikke å rote tegningen, tegnet jeg ikke selve diagonalene.
La oss komponere ligningen av siden punkt for punkt 
:
For å sjekke, bør du mentalt eller på et utkast erstatte koordinatene til hvert punkt i den resulterende ligningen. La oss nå finne skråningen. For å gjøre dette, omskriver vi den generelle ligningen i form av en ligning med en helningskoeffisient:
Dermed er helningen:
På samme måte finner vi likningene til sidene. Jeg ser ikke så mye poeng i å beskrive det samme, så jeg vil umiddelbart gi det ferdige resultatet: 
2) Finn lengden på siden. Dette er det enkleste problemet dekket i klassen. Vektorer for dummies. For poeng 
vi bruker formelen:
Ved å bruke samme formel er det enkelt å finne lengdene på andre sider. Kontrollen kan gjøres veldig raskt med en vanlig linjal.
Vi bruker formelen 
.
La oss finne vektorene:
Dermed:
Underveis fant vi forresten lengdene på sidene.
Som et resultat:
Vel, det ser ut til å være sant; for å være overbevisende kan du feste en gradskive til hjørnet.
Merk følgende! Ikke forveksle vinkelen til en trekant med vinkelen mellom rette linjer. Vinkelen til en trekant kan være stump, men vinkelen mellom rette linjer kan ikke (se siste avsnitt i artikkelen De enkleste problemene med en rett linje på et fly). For å finne vinkelen til en trekant kan du imidlertid også bruke formlene fra leksjonen ovenfor, men grovheten er at disse formlene alltid gir en spiss vinkel. Med deres hjelp løste jeg dette problemet i utkast og fikk resultatet. Og på den endelige kopien måtte jeg skrive ned flere unnskyldninger, det .
4) Skriv en ligning for en linje som går gjennom et punkt parallelt med linjen.
Standardoppgave, omtalt i detalj i eksempel nr. 2 i leksjonen De enkleste problemene med en rett linje på et fly. Fra den generelle ligningen til linjen 
La oss ta ut guidevektoren. La oss lage en likning av en rett linje ved å bruke et punkt og en retningsvektor: 
Hvordan finne høyden på en trekant?
5) La oss lage en ligning for høyden og finne lengden.
Det er ingen unnslippe fra strenge definisjoner, så du må stjele fra en skolebok:
Trekanthøyde kalles vinkelrett trukket fra toppunktet i trekanten til linjen som inneholder motsatt side.
Det vil si at det er nødvendig å lage en ligning for en vinkelrett trukket fra toppunktet til siden. Denne oppgaven er omtalt i eksempel nr. 6, 7 i leksjonen De enkleste problemene med en rett linje på et fly. Fra Eq. 
fjern normalvektoren. La oss komponere høydeligningen ved å bruke et punkt og en retningsvektor: 
Vær oppmerksom på at vi ikke kjenner koordinatene til punktet.
Noen ganger er høydeligningen funnet fra forholdet mellom vinkelkoeffisientene til vinkelrette linjer: . I i dette tilfellet, Deretter: . La oss komponere høydeligningen ved hjelp av et punkt og en vinkelkoeffisient (se begynnelsen av leksjonen Ligning av en rett linje på et plan):
Høydelengden kan finnes på to måter.
Det er en rundkjøring:
a) funn – skjæringspunktet mellom høyde og side;
b) finn lengden på segmentet ved å bruke to kjente punkter.
Men i klassen De enkleste problemene med en rett linje på et fly en praktisk formel for avstanden fra et punkt til en linje ble vurdert. Poenget er kjent: , linjens ligning er også kjent: 
, Dermed:
6) Beregn arealet av trekanten. I verdensrommet beregnes arealet av en trekant tradisjonelt ved hjelp av vektorprodukt av vektorer, men her får vi en trekant på et plan. Vi bruker skoleformelen:
– Arealet til en trekant er lik halvparten av produktet av basen og høyden.
I dette tilfellet:
Hvordan finne medianen til en trekant?
7) La oss lage en ligning for medianen.
Median av en trekant kalles et segment som forbinder toppunktet i en trekant med midten av motsatt side.
a) Finn punktet - midten av siden. Vi bruker formler for koordinatene til midtpunktet til et segment. Koordinatene til endene av segmentet er kjent: 
, deretter koordinatene til midten: 
Dermed: 
La oss komponere medianligningen punkt for punkt 
:
For å sjekke ligningen må du sette inn koordinatene til punktene i den.
8) Finn skjæringspunktet mellom høyden og medianen. Jeg tror alle allerede har lært hvordan man utfører dette elementet av kunstløp uten å falle: 
Oppgave 1. Koordinatene til toppunktene til trekanten ABC er gitt: A(4; 3), B(16;-6), C(20; 16). Finn: 1) lengden på siden AB; 2) ligninger av sidene AB og BC og deres vinkelkoeffisienter; 3) vinkel B i radianer med en nøyaktighet på to sifre; 4) ligning av høyde CD og dens lengde; 5) ligningen til medianen AE og koordinatene til punktet K for skjæringspunktet mellom denne medianen og høyden CD; 6) ligningen til en rett linje som går gjennom punktet K parallelt med siden AB; 7) koordinater til punkt M, plassert symmetrisk til punkt A i forhold til rett linje CD.
Løsning:
1. Avstanden d mellom punktene A(x 1 ,y 1) og B(x 2 ,y 2) bestemmes av formelen
Ved å bruke (1), finner vi lengden på siden AB:
2. Ligningen til linjen som går gjennom punktene A(x 1 ,y 1) og B(x 2 ,y 2) har formen
(2)
Ved å erstatte koordinatene til punktene A og B i (2), får vi ligningen for side AB:
Etter å ha løst den siste ligningen for y, finner vi ligningen til siden AB i form av en rettlinjeligning med en vinkelkoeffisient:
hvor
Ved å erstatte koordinatene til punktene B og C i (2), får vi ligningen for rett linje BC:
Eller 
3. Det er kjent at tangenten til vinkelen mellom to rette linjer, hvis vinkelkoeffisienter er henholdsvis like, beregnes med formelen
(3)
Den ønskede vinkelen B dannes av rette linjer AB og BC, hvis vinkelkoeffisienter er funnet: Ved å bruke (3), får vi
Eller glad.
4. Ligning av en linje som går gjennom dette punktet i en gitt retning, har formen
(4)
Høyden CD er vinkelrett på siden AB. For å finne helningen til høyden CD bruker vi betingelsen for vinkelrett på linjene. Siden da 
Ved å sette inn (4) koordinatene til punkt C og den funnet vinkelkoeffisienten for høyde, får vi
For å finne lengden på høyden CD, bestemmer vi først koordinatene til punktet D - skjæringspunktet mellom rette linjer AB og CD. Løser systemet sammen:
Vi finner 
de. D(8;0).
Ved å bruke formel (1) finner vi lengden på høyden CD:
5. For å finne ligningen til medianen AE, bestemmer vi først koordinatene til punktet E, som er midten av siden BC, ved å bruke formlene for å dele et segment i to like deler:
(5)
Derfor,
Ved å erstatte koordinatene til punktene A og E i (2), finner vi ligningen til medianen:
For å finne koordinatene til skjæringspunktet til høyden CD og medianen AE, løser vi sammen ligningssystemet
Vi finner.
6. Siden den ønskede rette linjen er parallell med siden AB, vil dens vinkelkoeffisient være lik vinkelkoeffisienten til den rette linjen AB. Ved å sette inn (4) koordinatene til det funnet punktet K og vinkelkoeffisienten får vi 
3x + 4y – 49 = 0 (KF)
7. Siden den rette linjen AB er vinkelrett på den rette linjen CD, ligger ønsket punkt M, plassert symmetrisk til punktet A i forhold til den rette linjen CD, på den rette linjen AB. I tillegg er punkt D midtpunktet til segment AM. Ved å bruke formler (5) finner vi koordinatene til ønsket punkt M:
Trekant ABC, høyde CD, median AE, rett linje KF og punkt M er konstruert i xOy-koordinatsystemet i fig. 1.
Oppgave 2.
Lag en ligning for lokuset til punkter hvis avstander til et gitt punkt A(4; 0) og til en gitt rett linje x=1 er lik 2. 
Løsning:
I xOy-koordinatsystemet konstruerer vi punktet A(4;0) og den rette linjen x = 1. La M(x;y) være et vilkårlig punkt for ønsket geometrisk plassering av punkter. La oss senke den perpendikulære MB til den gitte linjen x = 1 og bestemme koordinatene til punkt B. Siden punkt B ligger på den gitte linjen, er abscissen lik 1. Ordinaten til punkt B er lik ordinaten til punkt M. Derfor B(1;y) (fig. 2).
I henhold til betingelsene for problemet |MA|: |MV| = 2. Avstander |MA| og |MB| finner vi fra formel (1) i oppgave 1:
Kvadring av venstre og høyre side, får vi
eller
Den resulterende ligningen er en hyperbel der den reelle halvaksen er a = 2, og den imaginære halvaksen er
La oss definere fokusene til en hyperbel. For en hyperbel er likheten tilfredsstilt Derfor, og 
– hyperbolske triks. Som sett, settpunkt A(4;0) er høyre fokus for hyperbelen.
La oss bestemme eksentrisiteten til den resulterende hyperbelen:
Ligningene til hyperbelasymptotene har formen og . Derfor, eller og er asymptoter av en hyperbel. Før vi konstruerer en hyperbel, konstruerer vi dens asymptoter.
Oppgave 3. Lag en ligning for lokuset til punkter like langt fra punktet A(4; 3) og den rette linjen y = 1. Reduser den resulterende ligningen til sin enkleste form.
Løsning: La M(x; y) være et av punktene til det ønskede geometriske punktstedet. La oss slippe den perpendikulære MB fra punkt M til denne rette linjen y = 1 (fig. 3). La oss bestemme koordinatene til punkt B. Abscissen til punkt B er åpenbart lik abscissen til punkt M, og ordinaten til punkt B er lik 1, dvs. B(x; 1). I henhold til betingelsene for problemet |MA|=|MV|. Følgelig, for ethvert punkt M(x;y) som tilhører det ønskede geometriske lokuset av punkter, er følgende likhet sann:
Den resulterende ligningen definerer en parabel med toppunktet i punktet For å bringe parabelligningen til sin enkleste form, la oss sette og y + 2 = Y, så tar parabelligningen formen: 
