Gå til youtube-kanalen til nettstedet vårt for å holde deg oppdatert med alle de nye videoleksjonene.
Først, la oss huske de grunnleggende formlene for krefter og deres egenskaper.
Produkt av et tall en forekommer på seg selv n ganger, kan vi skrive dette uttrykket som a … a=a n
1. a 0 = 1 (a ≠ 0)
3. a n a m = a n + m
4. (a n) m = a nm
5. a n b n = (ab) n
7. a n / a m = a n - m
Potens eller eksponentialligninger– dette er ligninger der variablene er i potenser (eller eksponenter), og grunntallet er et tall.
Eksempler på eksponentialligninger:
I i dette eksemplet tallet 6 er basen, det er alltid nederst og variabelen x grad eller indikator.
La oss gi flere eksempler på eksponentialligninger.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0
La oss nå se på hvordan eksponentialligninger løses?
La oss ta en enkel ligning:
2 x = 2 3
Dette eksemplet kan løses selv i hodet ditt. Det kan sees at x=3. Tross alt, for at venstre og høyre side skal være like, må du sette tallet 3 i stedet for x.
La oss nå se hvordan du formaliserer denne avgjørelsen:
2 x = 2 3
x = 3
For å løse en slik ligning fjernet vi identiske grunner(altså toere) og skrev ned det som var igjen, dette er grader. Vi fikk svaret vi var ute etter.
La oss nå oppsummere avgjørelsen vår.
Algoritme for å løse eksponentialligningen:
1. Må sjekkes det samme om ligningen har baser til høyre og venstre. Hvis årsakene ikke er de samme, ser vi etter alternativer for å løse dette eksemplet.
2. Etter at basene er blitt de samme, likestille grader og løs den resulterende nye ligningen.
La oss nå se på noen eksempler:
La oss starte med noe enkelt.
Basene på venstre og høyre side er lik tallet 2, noe som betyr at vi kan forkaste basen og sette likhetstegn mellom potensene deres.
x+2=4 Den enkleste ligningen er oppnådd.
x=4 – 2
x=2
Svar: x=2
I følgende eksempel kan du se at basene er forskjellige: 3 og 9.
3 3x - 9 x+8 = 0
Først flytter du de ni til høyre side, vi får:
Nå må du lage de samme basene. Vi vet at 9=3 2. La oss bruke potensformelen (a n) m = a nm.
3 3x = (3 2) x+8
Vi får 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16
3 3x = 3 2x+16 Nå er det klart at på venstre og høyre side er basene like og lik tre, noe som betyr at vi kan forkaste dem og sette likhetstegn mellom gradene.
3x=2x+16 får vi den enkleste ligningen
3x - 2x=16
x=16
Svar: x=16.
La oss se på følgende eksempel:
2 2x+4 - 10 4 x = 2 4
Først av alt ser vi på basene, base to og fire. Og vi trenger at de er like. Vi transformerer de fire ved å bruke formelen (a n) m = a nm.
4 x = (2 2) x = 2 2x
Og vi bruker også en formel a n a m = a n + m:
2 2x+4 = 2 2x 2 4
Legg til i ligningen:
2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24
Vi ga et eksempel av samme grunn. Men andre tall 10 og 24 plager oss. Hva skal vi gjøre med dem? Hvis du ser nøye etter kan du se at på venstre side har vi 2 2x gjentatte, her er svaret - vi kan sette 2 2x ut av parentes:
2 2x (2 4 - 10) = 24
La oss beregne uttrykket i parentes:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Vi deler hele ligningen med 6:
La oss forestille oss 4=2 2:
2 2x = 2 2 baser er like, vi kaster dem og setter likhetstegn mellom gradene.
2x = 2 er den enkleste ligningen. Del det på 2 og vi får
x = 1
Svar: x = 1.
La oss løse ligningen:
9 x – 12*3 x +27= 0
La oss transformere:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Vi får ligningen:
3 2x - 12 3 x +27 = 0
Våre baser er de samme, lik tre I dette eksemplet kan du se at de tre første har en grad to ganger (2x) enn den andre (bare x). I dette tilfellet kan du løse erstatningsmetode. Vi erstatter tallet med den minste graden:
Så 3 2x = (3 x) 2 = t 2
Vi erstatter alle x potenser i ligningen med t:
t 2 - 12t+27 = 0
Vi får en andregradsligning. Løser vi gjennom diskriminanten, får vi:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3
Gå tilbake til variabelen x.
Ta t 1:
t 1 = 9 = 3 x
Det er,
3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2
En rot ble funnet. Vi ser etter den andre fra t 2:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Svar: x 1 = 2; x 2 = 1.
På nettsiden kan du stille spørsmål du måtte ha i HJELP AVGJØRELSE-delen, vi vil definitivt svare deg.
Bli med i gruppen
Løse eksponentialligninger. Eksempler.
Merk følgende!
Det er flere
materialer i spesialseksjon 555.
For de som er veldig "ikke veldig..."
Og for de som "veldig mye...")
Hva har skjedd eksponentiell ligning? Dette er en ligning der de ukjente (x-er) og uttrykk med dem er med indikatorer noen grader. Og bare der! Det er viktig.
Der er du eksempler på eksponentialligninger:
3 x 2 x = 8 x+3
Merk! I basis av grader (nedenfor) - bare tall. I indikatorer grader (over) - et bredt utvalg av uttrykk med en X. Hvis det plutselig dukker opp en X i ligningen et annet sted enn en indikator, for eksempel:
dette vil være en ligning blandet type. Slike ligninger har ikke klare regler for å løse dem. Vi vil ikke vurdere dem foreløpig. Her skal vi forholde oss til løse eksponentialligninger i sin reneste form.
Faktisk løses ikke selv rene eksponentielle ligninger alltid klart. Men det er visse typer eksponentielle ligninger som kan og bør løses. Dette er typene vi vil vurdere.
Løse enkle eksponentialligninger.
Først, la oss løse noe veldig grunnleggende. For eksempel:
Selv uten noen teorier, ved enkelt utvalg er det klart at x = 2. Ikke noe annet, vel!? Ingen annen verdi av X fungerer. La oss nå se på løsningen på denne vanskelige eksponentialligningen:
Hva har vi gjort? Vi kastet faktisk ganske enkelt ut de samme basene (trippel). Fullstendig kastet ut. Og den gode nyheten er at vi treffer spikeren på hodet!
Faktisk, hvis i en eksponentiell ligning er det venstre og høyre det samme tall i alle potenser, kan disse tallene fjernes og eksponentene kan utjevnes. Matematikk tillater. Det gjenstår å løse en mye enklere ligning. Flott, ikke sant?)
La oss imidlertid huske bestemt: Du kan bare fjerne baser når basetallene til venstre og høyre er i utmerket isolasjon! Uten noen naboer og koeffisienter. La oss si i ligningene:
2 x +2 x+1 = 2 3, eller
toer kan ikke fjernes!
Vel, vi har mestret det viktigste. Hvordan gå fra onde eksponentielle uttrykk til enklere ligninger.
"Det er tidene!" - du sier. "Hvem ville gitt en så primitiv leksjon på prøver og eksamener!?"
Jeg må si meg enig. Ingen vil gi det. Men nå vet du hvor du skal sikte når du skal løse vanskelige eksempler. Det må bringes til skjemaet der samme grunnnummer er til venstre og høyre. Da blir alt lettere. Egentlig er dette en klassiker innen matematikk. Vi tar det originale eksemplet og transformerer det til ønsket oss sinn. Etter matematikkens regler, selvfølgelig.
La oss se på eksempler som krever litt ekstra innsats for å redusere dem til de enkleste. La oss ringe dem enkle eksponentialligninger.
Løse enkle eksponentialligninger. Eksempler.
Ved løsning av eksponentialligninger er hovedreglene handlinger med grader. Uten kunnskap om disse handlingene vil ingenting fungere.
Til handlinger med grader må man legge til personlig observasjon og oppfinnsomhet. Trenger vi de samme grunntallene? Så vi ser etter dem i eksemplet i eksplisitt eller kryptert form.
La oss se hvordan dette gjøres i praksis?
La oss gi et eksempel:
2 2x - 8 x+1 = 0
Det første skarpe blikket er på begrunnelse. De... De er forskjellige! To og åtte. Men det er for tidlig å bli motløs. Det er på tide å huske det
To og åtte er slektninger i grad.) Det er fullt mulig å skrive:
8 x+1 = (2 3) x+1
Hvis vi husker formelen fra operasjoner med grader:
(a n) m = a nm ,
dette går kjempebra:
8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)
Originaleksempel begynte å se slik ut:
2 2x - 2 3(x+1) = 0
Vi overfører 2 3 (x+1) til høyre (ingen har kansellert de grunnleggende operasjonene i matematikk!), får vi:
2 2x = 2 3(x+1)
Det er praktisk talt alt. Fjerning av basene:
Vi løser dette monsteret og får
Dette er det riktige svaret.
I dette eksemplet hjalp det oss å kjenne kreftene til to. Vi identifisert i åtte er det en kryptert to. Denne teknikken (koding av vanlige baser under forskjellige tall) er en veldig populær teknikk i eksponentielle ligninger! Ja, og i logaritmer også. Du må kunne gjenkjenne potensene til andre tall i tall. Dette er ekstremt viktig for å løse eksponentialligninger.
Faktum er at det ikke er et problem å heve et hvilket som helst tall til hvilken som helst makt. Multipliser, selv på papir, og det er det. For eksempel kan hvem som helst høyne 3 til femte potens. 243 vil fungere hvis du kjenner multiplikasjonstabellen.) Men i eksponentialligninger er det mye oftere ikke nødvendig å heve til en potens, men omvendt... Finn ut, hvilket tall i hvilken grad er gjemt bak tallet 243, eller for eksempel 343... Ingen kalkulator vil hjelpe deg her.
Du må kjenne kraften til noen tall ved synet, ikke sant... La oss øve?
Bestem hvilke potenser og hvilke tall tallene er:
2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.
Svar (i et rot, selvfølgelig!):
5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .
Hvis du ser nøye etter, kan du se et merkelig faktum. Det er betydelig flere svar enn oppgaver! Vel, det skjer... For eksempel, 2 6, 4 3, 8 2 - det er alle 64.
La oss anta at du har notert deg informasjonen om kjennskap til tall.) La meg også minne deg på at for å løse eksponentialligninger bruker vi alle lager av matematisk kunnskap. Inkludert de fra ungdoms- og middelklassen. Du gikk ikke på videregående med en gang, ikke sant?)
For eksempel, når du løser eksponentielle ligninger, hjelper det ofte å sette fellesfaktoren utenfor parentes (hei til 7. klasse!). La oss se på et eksempel:
3 2x+4 -11 9 x = 210
Og igjen, det første blikket er på grunnlaget! Grunnlaget for gradene er forskjellige... Tre og ni. Og vi vil at de skal være de samme. Vel, i dette tilfellet er ønsket fullstendig oppfylt!) Fordi:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Bruk de samme reglene for å håndtere grader:
3 2x+4 = 3 2x 3 4
Det er flott, du kan skrive det ned:
3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210
Vi ga et eksempel av samme grunn. Så, hva er neste!? Du kan ikke kaste ut treere... blindvei?
Ikke i det hele tatt. Husk den mest universelle og kraftige beslutningsregelen alle matteoppgaver:
Hvis du ikke vet hva du trenger, gjør det du kan!
Se, alt ordner seg).
Hva er i denne eksponentielle ligningen Kan gjøre? Ja, på venstre side ber det bare om å bli tatt ut av parentes! Den totale multiplikatoren på 3 2x antyder tydelig dette. La oss prøve, så får vi se:
3 2x (3 4 - 11) = 210
3 4 - 11 = 81 - 11 = 70
Eksemplet blir stadig bedre og bedre!
Vi husker at for å eliminere grunner trenger vi en ren grad, uten koeffisienter. Tallet 70 plager oss. Så vi deler begge sider av ligningen med 70, får vi:
Oops! Alt ble bedre!
Dette er det endelige svaret.
Det hender imidlertid at taksing på samme grunnlag er mulig, men eliminering av dem er ikke mulig. Dette skjer i andre typer eksponentialligninger. La oss mestre denne typen.
Erstatte en variabel ved å løse eksponentialligninger. Eksempler.
La oss løse ligningen:
4 x - 3 2 x +2 = 0
Først - som vanlig. La oss gå videre til én base. Til en toer.
4 x = (2 2) x = 2 2x
Vi får ligningen:
2 2x - 3 2 x +2 = 0
Og det er her vi henger. De tidligere teknikkene vil ikke fungere, uansett hvordan du ser på det. Vi må få en annen kraftig og universell metode. Det heter variabel utskifting.
Essensen av metoden er overraskende enkel. I stedet for et komplekst ikon (i vårt tilfelle - 2 x) skriver vi et annet, enklere (for eksempel - t). En slik tilsynelatende meningsløs erstatning fører til fantastiske resultater!) Alt blir bare klart og forståelig!
Så la
Så 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2
I ligningen vår erstatter vi alle potenser med x-er med t:
Vel, går det opp for deg?) Har du glemt andregradsligningene ennå? Løser vi gjennom diskriminanten, får vi:
Det viktigste her er å ikke stoppe, som det skjer... Dette er ikke svaret ennå, vi trenger en x, ikke en t. La oss gå tilbake til X-ene, dvs. vi gjør en omvendt erstatning. Først for t 1:
Det er,
En rot ble funnet. Vi ser etter den andre fra t 2:
Hm... 2 x til venstre, 1 til høyre... Problem? Ikke i det hele tatt! Det er nok å huske (fra operasjoner med krefter, ja...) at en enhet er noen tall til null potens. Noen. Uansett hva som trengs, vil vi installere det. Vi trenger en toer. Midler:
Det er det nå. Vi har 2 røtter:
Dette er svaret.
På løse eksponentialligninger på slutten noen ganger ender du opp med et slags pinlig uttrykk. Type:
Syv kan ikke konverteres til to gjennom en enkel potens. De er ikke slektninger... Hvordan kan vi være det? Noen kan være forvirret ... Men personen som leste på dette nettstedet emnet "Hva er en logaritme?" , bare smil sparsomt og skriv ned med stødig hånd helt riktig svar:
Det kan ikke være et slikt svar i oppgavene "B" på Unified State Examination. Der kreves det et spesifikt nummer. Men i oppgavene "C" er det enkelt.
Denne leksjonen gir eksempler på løsning av de vanligste eksponentialligningene. La oss fremheve hovedpunktene.
1. Først og fremst ser vi på begrunnelse grader. Vi lurer på om det er mulig å lage dem identisk. La oss prøve å gjøre dette ved å bruke aktivt handlinger med grader. Ikke glem at tall uten x-er også kan konverteres til potenser!
2. Vi prøver å bringe eksponentialligningen til formen når det til venstre og høyre er det samme tall i alle potenser. Vi bruker handlinger med grader Og faktorisering. Det som kan telles i tall, teller vi.
3. Hvis den andre spissen ikke fungerte, prøv å bruke variabel erstatning. Resultatet kan være en ligning som lett kan løses. Oftest - firkantet. Eller brøk, som også reduseres til kvadrat.
4. For å lykkes med å løse eksponentielle ligninger, må du kjenne potensene til noen tall ved synet.
Som vanlig, på slutten av timen inviteres du til å bestemme deg litt.) På egenhånd. Fra enkelt til komplekst.
Løs eksponentialligninger:
Vanskeligere:
2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48
9 x - 8 3 x = 9
2 x - 2 0,5x+1 - 8 = 0
Finn produktet av røtter:
2 3'er + 2 x = 9
Skjedd?
Da så det mest kompliserte eksempelet(bestemte seg imidlertid i tankene...):
7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3
Hva er mer interessant? Da er her et dårlig eksempel for deg. Ganske verdig økt vanskelighetsgrad. La meg antyde at i dette eksemplet, oppfinnsomhet og mest universell regel løsninger på alle matematiske problemer.)
2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x
Et enklere eksempel, for avslapning):
9 2 x - 4 3 x = 0
Og til dessert. Finn summen av røttene til ligningen:
x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0
Ja Ja! Dette er en ligning av blandet type! Noe vi ikke tok for oss i denne leksjonen. Hvorfor vurdere dem, de må løses!) Denne leksjonen er nok til å løse ligningen. Vel, du trenger oppfinnsomhet... Og må sjuende klasse hjelpe deg (dette er et hint!).
Svar (i uorden, atskilt med semikolon):
1; 2; 3; 4; det er ingen løsninger; 2; -2; -5; 4; 0.
Er alt vellykket? Flott.
Det er et problem? Ikke noe problem! Spesialseksjon 555 løser alle disse eksponentialligningene med detaljerte forklaringer. Hva, hvorfor og hvorfor. Og selvfølgelig er det ytterligere verdifull informasjon om å jobbe med alle slags eksponentielle ligninger. Ikke bare disse.)
Et siste morsomt spørsmål å vurdere. I denne leksjonen jobbet vi med eksponentialligninger. Hvorfor sa jeg ikke et ord om ODZ her? I ligninger er dette en veldig viktig ting, forresten...
Hvis du liker denne siden...
Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)
Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. La oss lære - med interesse!)
Du kan bli kjent med funksjoner og derivater.
Dette er navnet på likninger av formen der det ukjente er både i potensens eksponent og basis.
Du kan angi en helt klar algoritme for å løse en formlikning. For å gjøre dette, må du ta hensyn til det faktum at når Åh) Ikke lik null, én og minus én, likestilling av grader med samme base (det være seg positiv eller negativ) er bare mulig hvis eksponentene er like. Det vil si at alle røttene til ligningen vil være røttene til ligningen f(x) = g(x) Det motsatte utsagnet er ikke sant, når Åh)< 0 og brøkverdier f(x) Og g(x) uttrykkene Åh) f(x) Og
Åh) g(x) miste sin mening. Altså når man flytter fra til f(x) = g(x)(for og fremmede røtter kan dukke opp, som må utelukkes ved å sjekke mot den opprinnelige ligningen. Og tilfeller a = 0, a = 1, a = -1 må vurderes separat.
Så, for å fullstendig løse ligningen, vurderer vi tilfellene:
a(x) = O f(x) Og g(x) vil være positive tall, så er dette løsningen. Ellers nei
a(x) = 1. Røttene til denne ligningen er også røttene til den opprinnelige ligningen.
a(x) = -1. Hvis, for en verdi av x som tilfredsstiller denne ligningen, f(x) Og g(x) er heltall med samme paritet (enten begge partall eller begge oddetall), så er dette løsningen. Ellers nei
Når og vi løser ligningen f(x)= g(x) og ved å erstatte de oppnådde resultatene i den opprinnelige ligningen kuttet vi av de fremmede røttene.
Eksempler på løsning av eksponential-potenslikninger.
Eksempel nr. 1.
1) x - 3 = 0, x = 3. fordi 3 > 0, og 3 2 > 0, så er x 1 = 3 løsningen.
2) x - 3 = 1, x 2 = 4.
3) x - 3 = -1, x = 2. Begge indikatorene er jevne. Denne løsningen er x 3 = 1.
4) x - 3 ? 0 og x? ± 1. x = x 2, x = 0 eller x = 1. For x = 0, (-3) 0 = (-3) 0 - denne løsningen er riktig: x 4 = 0. For x = 1, (- 2) 1 = (-2) 1 - denne løsningen er riktig x 5 = 1.
Svar: 0, 1, 2, 3, 4.
Eksempel nr. 2.
Per definisjon av en aritmetisk kvadratrot: x - 1? 0, x? 1.
1) x - 1 = 0 eller x = 1, = 0, 0 0 er ikke en løsning.
2) x - 1 = 1 x 1 = 2.
3) x - 1 = -1 x 2 = 0 passer ikke i ODZ.
D = (-2) - 4*1*5 = 4 - 20 = -16 - det er ingen røtter.
Denne leksjonen er ment for de som akkurat har begynt å lære eksponentielle ligninger. Som alltid, la oss starte med definisjonen og enkle eksempler.
Hvis du leser denne leksjonen, så mistenker jeg at du allerede har minst en minimal forståelse av de enkleste ligningene - lineære og kvadratiske: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$, osv. Å kunne løse slike konstruksjoner er helt nødvendig for ikke å «stå seg fast» i temaet som nå skal diskuteres.
Altså eksponentielle ligninger. La meg gi deg et par eksempler:
\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]
Noen av dem kan virke mer komplekse for deg, mens andre tvert imot er for enkle. Men de har alle en viktig funksjon til felles: notasjonen deres inneholder eksponentialfunksjonen $f\left(x \right)=((a)^(x))$. La oss derfor introdusere definisjonen:
En eksponentiell ligning er enhver ligning som inneholder en eksponentiell funksjon, dvs. uttrykk for formen $((a)^(x))$. I tillegg til den angitte funksjonen, kan slike ligninger inneholde alle andre algebraiske konstruksjoner - polynomer, røtter, trigonometri, logaritmer, etc.
OK da. Vi har ordnet definisjonen. Nå er spørsmålet: hvordan løser man all denne dritten? Svaret er både enkelt og komplekst.
La oss starte med de gode nyhetene: Fra min erfaring med å undervise mange elever kan jeg si at de fleste av dem finner eksponentielle ligninger mye enklere enn de samme logaritmene, og enda mer trigonometri.
Men det er også dårlige nyheter: noen ganger blir kompilatorene av problemer for alle slags lærebøker og eksamener truffet av "inspirasjon", og deres stoffbetenne hjerne begynner å produsere så brutale ligninger at det å løse dem blir problematisk ikke bare for studenter - til og med mange lærere blir sittende fast på slike problemer .
La oss imidlertid ikke snakke om triste ting. Og la oss gå tilbake til de tre ligningene som ble gitt helt i begynnelsen av historien. La oss prøve å løse hver av dem.
Første ligning: $((2)^(x))=4$. Vel, til hvilken kraft må du heve tallet 2 for å få tallet 4? Sannsynligvis den andre? Tross alt, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - og vi fikk riktig numerisk likhet, dvs. faktisk $x=2$. Vel, takk, Cap, men denne ligningen var så enkel at til og med katten min kunne løse den :)
La oss se på følgende ligning:
\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]
Men her er det litt mer komplisert. Mange elever vet at $((5)^(2))=25$ er multiplikasjonstabellen. Noen mistenker også at $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ i hovedsak er en definisjon av negative potenser (ligner formelen $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).
Til slutt er det bare noen få utvalgte som innser at disse fakta kan kombineres og gi følgende resultat:
\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2)))\]
Dermed vil vår opprinnelige ligning bli omskrevet som følger:
\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Høyrepil ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]
Men dette er allerede fullstendig løsbart! Til venstre i ligningen er det en eksponentiell funksjon, til høyre i ligningen er det en eksponentiell funksjon, det er ingenting annet sted enn dem. Derfor kan vi "kassere" basene og dumt sette likhetstegn mellom indikatorene:
Vi har fått den enkleste lineære ligningen som enhver elev kan løse på bare et par linjer. Ok, på fire linjer:
\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]
Hvis du ikke forstår hva som skjedde i de siste fire linjene, husk å gå tilbake til emnet " lineære ligninger"og gjenta det. For uten en klar forståelse av dette emnet, er det for tidlig for deg å ta på deg eksponentielle ligninger.
\[((9)^(x))=-3\]
Så hvordan kan vi løse dette? Første tanke: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, så den opprinnelige ligningen kan skrives om som følger:
\[((\venstre(((3)^(2)) \høyre))^(x))=-3\]
Så husker vi at når vi hever en potens til en potens, multipliseres eksponentene:
\[((\venstre(((3)^(2)) \høyre)))^(x))=((3)^(2x))\Høyrepil ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]
\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]
Og for en slik avgjørelse vil vi motta en ærlig fortjent to. For, med likevekt til en Pokémon, sendte vi minustegnet foran de tre til kraften til nettopp disse tre. Men du kan ikke gjøre det. Og det er derfor. Ta en titt på de forskjellige maktene til tre:
\[\begin(matrise) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrise)\]
Da jeg kompilerte dette nettbrettet, perverterte jeg ingenting: Jeg vurderte positive potenser, og negative, og til og med brøkdeler... vel, hvor er minst ett negativt tall her? Han er borte! Og det kan det ikke være, fordi eksponentialfunksjonen $y=((a)^(x))$ for det første alltid bare tar positive verdier(uansett hvor mye du multipliserer en eller deler den på to, vil det fortsatt være et positivt tall), og for det andre er basen til en slik funksjon - tallet $a$ - per definisjon et positivt tall!
Vel, hvordan løser man så ligningen $((9)^(x))=-3$? Men ingen måte: det er ingen røtter. Og slik sett er eksponentielle ligninger veldig like andregradsligninger - det kan heller ikke være røtter. Men hvis antallet røtter i kvadratiske ligninger bestemmes av diskriminanten (positiv diskriminant - 2 røtter, negativ - ingen røtter), så avhenger alt i eksponentielle ligninger av hva som er til høyre for likhetstegnet.
La oss derfor formulere nøkkelkonklusjonen: den enkleste eksponentialligningen på formen $((a)^(x))=b$ har en rot hvis og bare hvis $b>0$. Når du kjenner til dette enkle faktum, kan du enkelt finne ut om ligningen som er foreslått for deg har røtter eller ikke. De. Er det verdt å løse det i det hele tatt eller umiddelbart skrive ned at det ikke er røtter.
Denne kunnskapen vil hjelpe oss mange ganger når vi skal løse mer komplekse problemer. For nå, nok av tekstene - det er på tide å studere den grunnleggende algoritmen for å løse eksponentielle ligninger.
Hvordan løse eksponentialligninger
Så la oss formulere problemet. Det er nødvendig å løse eksponentialligningen:
\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]
I følge den "naive" algoritmen som vi brukte tidligere, er det nødvendig å representere tallet $b$ som en potens av tallet $a$:
I tillegg, hvis det i stedet for variabelen $x$ er noe uttrykk, vil vi få en ny ligning som allerede kan løses. For eksempel:
\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Høyrepil ((2)^(x))=((2)^(3))\Høyrepil x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Høyrepil ((3)^(-x))=((3)^(4))\Høyrepil -x=4\Høyrepil x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Høyrepil ((5)^(2x))=((5)^(3))\Høyrepil 2x=3\Høyrepil x=\frac(3)( 2). \\\end(align)\]
Og merkelig nok fungerer denne ordningen i omtrent 90 % av tilfellene. Hva så med de resterende 10%? De resterende 10% er litt "schizofrene" eksponentielle ligninger av formen:
\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]
Vel, til hvilken kraft trenger du å heve 2 for å få 3? Først? Men nei: $((2)^(1))=2$ er ikke nok. Sekund? Nei heller: $((2)^(2))=4$ er for mye. Hvilken da?
Kunnskapsrike studenter har sannsynligvis allerede gjettet: i slike tilfeller, når det ikke er mulig å løse "vakkert", kommer det "tunge artilleriet" - logaritmer - inn i bildet. La meg minne deg på at ved bruk av logaritmer kan ethvert positivt tall representeres som en potens av et hvilket som helst annet positivt tall (bortsett fra ett):
Husker du denne formelen? Når jeg forteller elevene mine om logaritmer, advarer jeg alltid: denne formelen (som også er den grunnleggende logaritmiske identiteten eller, om du vil, definisjonen av en logaritme) vil hjemsøke deg i veldig lang tid og "dukke opp" i de fleste tilfeller uventede steder. Vel, hun dukket opp. La oss se på ligningen vår og denne formelen:
\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]
Hvis vi antar at $a=3$ er vårt opprinnelige tall til høyre, og $b=2$ er selve basen av eksponentialfunksjonen som vi så gjerne vil redusere høyresiden til, får vi følgende:
\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Høyrepil 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Høyrepil ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Høyrepil x=( (\log )_(2))3. \\\end(align)\]
Vi fikk et litt merkelig svar: $x=((\log )_(2))3$. I en annen oppgave ville mange ha tvil med et slikt svar og ville begynne å dobbeltsjekke løsningen deres: hva om en feil hadde sneket seg inn et sted? Jeg skynder meg å glede deg: det er ingen feil her, og logaritmer i røttene til eksponentielle ligninger er en helt typisk situasjon. Så bli vant til det. :)
La oss nå løse de resterende to ligningene analogt:
\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Høyrepil ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Høyrepil x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Høyrepil ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Høyrepil 2x=( (\log )_(4))11\Høyrepil x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\end(align)\]
Det er alt! Forresten, det siste svaret kan skrives annerledes:
Vi introduserte en multiplikator til argumentet til logaritmen. Men ingen hindrer oss i å legge denne faktoren til basen:
Dessuten er alle tre alternativene riktige - det er enkelt forskjellige former poster med samme nummer. Hvilken du skal velge og skrive ned i denne løsningen er opp til deg å bestemme.
Dermed har vi lært å løse eventuelle eksponentielle ligninger av formen $((a)^(x))=b$, der tallene $a$ og $b$ er strengt tatt positive. Imidlertid er den harde virkeligheten i vår verden at slik enkle oppgaver du vil møte veldig, veldig sjelden. Oftere enn ikke vil du komme over noe som dette:
\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09. \\\end(align)\]
Så hvordan kan vi løse dette? Kan dette i det hele tatt løses? Og i så fall, hvordan?
Ikke få panikk. Alle disse ligningene kan raskt og enkelt reduseres til de enkle formlene som vi allerede har vurdert. Du trenger bare å huske et par triks fra algebrakurset. Og selvfølgelig er det ingen regler for å jobbe med grader. Jeg skal fortelle deg om alt dette nå :)
Konvertering av eksponentialligninger
Den første tingen å huske: enhver eksponentiell ligning, uansett hvor kompleks den kan være, må på en eller annen måte reduseres til de enkleste ligningene - de som vi allerede har vurdert og som vi vet hvordan de skal løse. Med andre ord, skjemaet for å løse enhver eksponentiell ligning ser slik ut:
- Skriv ned den opprinnelige ligningen. For eksempel: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
- Gjør noe rart. Eller til og med noe dritt kalt "konverter en ligning";
- Ved utgangen får du de enkleste uttrykkene av formen $((4)^(x))=4$ eller noe annet sånt. Dessuten kan en startligning gi flere slike uttrykk samtidig.
Alt er klart med det første punktet - selv katten min kan skrive ligningen på et stykke papir. Det tredje punktet ser også ut til å være mer eller mindre klart – vi har allerede løst en hel haug med slike ligninger ovenfor.
Men hva med det andre punktet? Hva slags transformasjoner? Konvertere hva til hva? Og hvordan?
Vel, la oss finne ut av det. Først av alt vil jeg merke meg følgende. Alle eksponentialligninger er delt inn i to typer:
- Ligningen er satt sammen av eksponentialfunksjoner med samme grunntall. Eksempel: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
- Formelen inneholder eksponentielle funksjoner med forskjellige baser. Eksempler: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ og $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=$0,09.
La oss starte med ligninger av den første typen - de er de enkleste å løse. Og når vi løser dem, vil vi bli hjulpet av en slik teknikk som å fremheve stabile uttrykk.
Isolere et stabilt uttrykk
La oss se på denne ligningen igjen:
\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]
Hva ser vi? De fire er hevet i ulik grad. Men alle disse potensene er enkle summer av variabelen $x$ med andre tall. Derfor er det nødvendig å huske reglene for å jobbe med grader:
\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a) )^(y))). \\\end(align)\]
Enkelt sagt kan addisjon konverteres til et produkt av potenser, og subtraksjon kan enkelt konverteres til divisjon. La oss prøve å bruke disse formlene til gradene fra ligningen vår:
\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\end(align)\]
La oss omskrive den opprinnelige ligningen med dette faktum i betraktning, og deretter samle alle begrepene til venstre:
\[\begin(align)& ((4)^(x))+(4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -elleve; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\end(align)\]
De fire første leddene inneholder elementet $((4)^(x))$ - la oss ta det ut av parentesen:
\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\end(align)\]
Det gjenstår å dele begge sider av ligningen med brøken $-\frac(11)(4)$, dvs. i hovedsak multiplisere med den inverterte brøken - $-\frac(4)(11)$. Vi får:
\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \venstre(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\& x=1. \\\end(align)\]
Det er alt! Vi har redusert den opprinnelige ligningen til den enkleste formen og fått det endelige svaret.
Samtidig oppdaget vi i prosessen med å løse (og tok den ut av parentesen) den felles faktoren $((4)^(x))$ - dette er et stabilt uttrykk. Den kan utpekes som en ny variabel, eller du kan ganske enkelt uttrykke den forsiktig og få svaret. Uansett, nøkkelprinsipp Løsningene er som følger:
Finn i den opprinnelige ligningen et stabilt uttrykk som inneholder en variabel som lett kan skilles fra alle eksponentielle funksjoner.
Den gode nyheten er at nesten hver eksponentiell ligning lar deg isolere et så stabilt uttrykk.
Men den dårlige nyheten er at disse uttrykkene kan være ganske vanskelige og kan være ganske vanskelige å identifisere. Så la oss se på et problem til:
\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]
Kanskje noen nå har et spørsmål: «Pasha, er du steinet? Det er forskjellige baser her – 5 og 0,2." Men la oss prøve å konvertere kraften til base 0,2. La oss for eksempel bli kvitt desimalbrøken ved å redusere den til en vanlig:
\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\venstre(x+1 \høyre))))=((\venstre(\frac(2)(10) ) \høyre))^(-\venstre(x+1 \høyre)))=((\venstre(\frac(1)(5) \høyre))^(-\venstre(x+1 \høyre)) )\]
Som du kan se, dukket tallet 5 fortsatt opp, om enn i nevneren. Samtidig ble indikatoren skrevet om til negativ. Og la oss nå huske en av de viktigste reglene jobbe med grader:
\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Høyrepil ((\venstre(\frac(1)(5) \høyre))^( -\venstre(x+1 \høyre)))=((\venstre(\frac(5)(1) \høyre))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]
Her lå jeg selvfølgelig litt. Fordi for fullstendig forståelse, måtte formelen for å bli kvitt negative indikatorer skrives slik:
\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\venstre(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Høyrepil ((\venstre(\frac(1)(5) \right))^(-\venstre(x+1 \høyre)))=((\venstre(\frac(5)(1) \ høyre))^(x+1))=((5)^(x+1))\]
På den annen side var det ingenting som hindret oss i å jobbe med bare brøker:
\[((\venstre(\frac(1)(5) \høyre))^(-\venstre(x+1 \høyre)))=((\venstre(((5)^(-1)) \ høyre))^(-\venstre(x+1 \høyre)))=((5)^(\venstre(-1 \høyre)\cdot \venstre(-\venstre(x+1 \høyre) \høyre) ))=((5)^(x+1))\]
Men i dette tilfellet må du kunne heve en makt til en annen makt (la meg minne deg på: i dette tilfellet er indikatorene lagt sammen). Men jeg trengte ikke å "reversere" brøkene - kanskje dette vil være lettere for noen :)
I alle fall vil den opprinnelige eksponentialligningen skrives om som:
\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\end(align)\]
Så det viser seg at den opprinnelige ligningen kan løses enda enklere enn den tidligere vurderte: her trenger du ikke engang å velge et stabilt uttrykk - alt har blitt redusert av seg selv. Det gjenstår bare å huske at $1=((5)^(0))$, hvorfra vi får:
\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\& x+2=0; \\& x=-2. \\\end(align)\]
Det er løsningen! Vi fikk det endelige svaret: $x=-2$. Samtidig vil jeg merke meg en teknikk som i stor grad forenklet alle beregninger for oss:
I eksponentielle ligninger, sørg for å kvitte seg med desimalbrøker og konvertere dem til vanlige. Dette vil tillate deg å se de samme grunnene for grader og i stor grad forenkle løsningen.
La oss nå gå videre til mer komplekse ligninger der det er forskjellige baser som ikke kan reduseres til hverandre ved bruk av potenser i det hele tatt.
Bruk av egenskapen Degrees
La meg minne deg på at vi har to mer spesielt harde ligninger:
\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09. \\\end(align)\]
Den største vanskeligheten her er at det ikke er klart hva man skal gi og til hvilket grunnlag. Hvor sette uttrykk? Hvor er de samme grunnene? Det er ingenting av dette.
Men la oss prøve å gå en annen vei. Hvis det ikke finnes ferdige identiske baser, kan du prøve å finne dem ved å faktorisere de eksisterende basene.
La oss starte med den første ligningen:
\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Høyrepil ((21)^(3x))=((\venstre(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x)). \\\end(align)\]
Men du kan gjøre det motsatte - lag tallet 21 fra tallene 7 og 3. Dette er spesielt enkelt å gjøre til venstre, siden indikatorene for begge grader er de samme:
\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\end(align)\]
Det er alt! Du tok eksponenten utenfor produktet og fikk umiddelbart en vakker ligning som kan løses på et par linjer.
La oss nå se på den andre ligningen. Alt er mye mer komplisert her:
\[((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09\]
\[((100)^(x-1))\cdot ((\venstre(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]
I i dette tilfellet fraksjonene viste seg å være irreduserbare, men hvis noe kunne reduseres, sørg for å redusere det. Ofte vil det dukke opp interessante grunner som du allerede kan jobbe med.
Dessverre dukket det ikke opp noe spesielt for oss. Men vi ser at eksponentene til venstre i produktet er motsatte:
La meg minne deg på: for å bli kvitt minustegnet i indikatoren, trenger du bare å "snu" brøkdelen. Vel, la oss omskrive den opprinnelige ligningen:
\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9) )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\end(align)\]
I den andre linjen gjennomførte vi rett og slett generell indikator fra produktet utenfor parentes i henhold til regelen $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right))^(x)) $, og i sistnevnte multiplisert ganske enkelt tallet 100 med en brøk.
Legg nå merke til at tallene til venstre (ved basen) og til høyre er litt like. Hvordan? Ja, det er åpenbart: de er makter av samme tall! Vi har:
\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\venstre(\frac( 10)(3) \høyre))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\venstre(\frac(3)(10) \høyre))^(2)). \\\end(align)\]
Derfor vil ligningen vår omskrives som følger:
\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10)\høyre))^(2))\]
\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \høyre))^(3\venstre(x-1 \høyre)))=((\venstre(\frac(10)(3) \høyre))^(3x-3))\]
I dette tilfellet kan du til høyre også få en grad med samme base, som det er nok å bare "snu om" brøkdelen for:
\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]
Vår ligning vil til slutt ha formen:
\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\end(align)\]
Det er løsningen. Hovedideen hans koker ned til det faktum at selv med forskjellige baser prøver vi, med krok eller krok, å redusere disse basene til det samme. Elementære transformasjoner av likninger og regler for arbeid med potenser hjelper oss med dette.
Men hvilke regler og når skal du bruke? Hvordan forstår du at i en ligning må du dele begge sider med noe, og i en annen må du faktorisere bunnen av eksponentialfunksjonen?
Svaret på dette spørsmålet vil komme med erfaring. Prøv deg frem med enkle ligninger først, og kompliser deretter problemene gradvis - og veldig snart vil ferdighetene dine være nok til å løse enhver eksponentiell ligning fra den samme Unified State-eksamenen eller et hvilket som helst uavhengig/testarbeid.
Og for å hjelpe deg med denne vanskelige oppgaven, foreslår jeg at du laster ned et sett med ligninger fra nettstedet mitt for å løse det selv. Alle ligninger har svar, så du kan alltid teste deg selv.
Belgorod statsuniversitet
AVDELING algebra, tallteori og geometri
Arbeidstema: Eksponentielle potenslikninger og ulikheter.
Graduate arbeid student ved Fakultet for fysikk og matematikk
Vitenskapelig rådgiver:
______________________________
Anmelder: __________________________________________
________________________
Belgorod. 2006
| Introduksjon | 3 | ||
| Emne JEG. | Analyse av litteratur om forskningstemaet. | ||
| Emne II. | Funksjoner og deres egenskaper brukt til å løse eksponentielle ligninger og ulikheter. | ||
| I.1. | Kraftfunksjon og dens egenskaper. | ||
| I.2. | Eksponentiell funksjon og dens egenskaper. | ||
| Emne III. | Løse eksponentielle potenslikninger, algoritmer og eksempler. | ||
| Emne IV. | Løse eksponentielle ulikheter, løsningsplan og eksempler. | ||
| Emne V. | Erfaring med å holde klasser med skolebarn om emnet: "Løse eksponentielle ligninger og ulikheter." | ||
| V. 1. | Pedagogisk materiale. | ||
| V. 2. | Problemer for uavhengig løsning. | ||
| Konklusjon. | Konklusjoner og tilbud. | ||
| Bibliografi. | |||
| applikasjoner | |||
Introduksjon.
"...gleden ved å se og forstå..."
A. Einstein.
I dette arbeidet prøvde jeg å formidle min erfaring som matematikklærer, for i det minste til en viss grad å formidle min holdning til undervisningen - en menneskelig sak der utrolig nok flette sammen og matematisk vitenskap, og pedagogikk, og didaktikk, og psykologi, og til og med filosofi.
Jeg hadde muligheten til å jobbe med barn og nyutdannede, med barn på ytterpunktene av intellektuell utvikling: de som var registrert hos en psykiater og som virkelig var interessert i matematikk
Jeg hadde muligheten til å løse mange metodiske problemer. Jeg skal prøve å snakke om de jeg klarte å løse. Men enda flere mislyktes, og selv i de som ser ut til å være løst, dukker det opp nye spørsmål.
Men enda viktigere enn selve opplevelsen er lærerens refleksjoner og tvil: hvorfor er det akkurat slik, denne opplevelsen?
Og sommeren er annerledes nå, og utviklingen av utdanning har blitt mer interessant. "Under the Jupiters" er nå ikke et søk etter mytisk optimalt system lære «alle og alt», men barnet selv. Men så - av nødvendighet - læreren.
I skolekurset i algebra og begynte analyse, klassetrinn 10 - 11, med bestått Unified State-eksamenen per kurs videregående skole og på opptaksprøver til universiteter er det ligninger og ulikheter som inneholder en ukjent i basen og eksponentene - dette er eksponentielle ligninger og ulikheter.
De får lite oppmerksomhet på skolen det er praktisk talt ingen oppgaver om dette temaet i lærebøker. Men å mestre teknikken for å løse dem, virker det for meg, er veldig nyttig: det øker mental og Kreative ferdigheter studenter åpner helt nye horisonter seg foran oss. Når de løser problemer, tilegner elevene seg første ferdigheter forskningsarbeid, deres matematiske kultur er beriket, deres evner til logisk tenkning. Skolebarn utvikler slike personlighetsegenskaper som besluttsomhet, målsetting og uavhengighet, noe som vil være nyttig for dem senere i livet. Og det er også repetisjon, utvidelse og dyp assimilering av pedagogisk materiale.
Arbeid med dette emnet diplomforskning Jeg begynte med å skrive kursene mine. I løpet av hvilken jeg grundig studerte og analyserte den matematiske litteraturen om dette emnet, identifiserte jeg den mest egnede metoden for å løse eksponentielle ligninger og ulikheter.
Det ligger i det faktum at i tillegg til den generelt aksepterte tilnærmingen når man løser eksponentielle ligninger (basen tas større enn 0) og når man løser de samme ulikhetene (basen tas større enn 1 eller større enn 0, men mindre enn 1) , tilfeller vurderes også når basene er negative, lik 0 og 1.
En analyse av studentenes skriftlige eksamensoppgaver viser at manglende dekning av spørsmålet om den negative verdien av argumentasjonen om en eksponentiell funksjon i skolebøkene påfører dem en rekke vanskeligheter og fører til feil. Og de har også problemer på stadiet med å systematisere de oppnådde resultatene, der, på grunn av overgangen til en ligning - en konsekvens eller en ulikhet - en konsekvens, kan fremmede røtter dukke opp. For å eliminere feil bruker vi en test som bruker den opprinnelige ligningen eller ulikheten og en algoritme for å løse eksponentielle ligninger, eller en plan for å løse eksponentielle ulikheter.
For at studentene skal bestå avsluttende og opptaksprøver, tror jeg det er nødvendig å være mer oppmerksom på å løse eksponentielle ligninger og ulikheter i klasser, eller i tillegg i valgfag og klubber.
Dermed Emne , min avhandling er definert som følger: "Eksponentielle potenslikninger og ulikheter."
Mål av dette arbeidet er:
1. Analyser litteraturen om dette emnet.
2. Gi en fullstendig analyse av løsningen av eksponentialligninger og ulikheter.
3. Gi et tilstrekkelig antall eksempler av ulike typer om dette emnet.
4. Sjekk i klasse, valgfag og klubbtimer hvordan de foreslåtte metodene for å løse eksponentielle ligninger og ulikheter vil bli oppfattet. Gi passende anbefalinger for å studere dette emnet.
Emne Vår forskning er å utvikle en metodikk for å løse eksponentielle ligninger og ulikheter.
Hensikten og emnet for studien krevde å løse følgende problemer:
1. Studer litteraturen om emnet: "Eksponentielle potenslikninger og ulikheter."
2. Beherske teknikkene for å løse eksponentielle ligninger og ulikheter.
3. Velg treningsmateriell og utvikle et system med øvelser ulike nivåer om emnet: "Løse eksponentielle ligninger og ulikheter."
I løpet av oppgaven forskning, mer enn 20 arbeider viet til bruk av ulike metoder løse eksponentielle potenslikninger og ulikheter. Herfra får vi.
Oppgaveplan:
Introduksjon.
Kapittel I. Analyse av litteratur om forskningstemaet.
Kapittel II. Funksjoner og deres egenskaper brukt til å løse eksponentielle ligninger og ulikheter.
II.1. Kraftfunksjon og dens egenskaper.
II.2. Eksponentiell funksjon og dens egenskaper.
Kapittel III. Løse eksponentielle potenslikninger, algoritmer og eksempler.
Kapittel IV. Løse eksponentielle ulikheter, løsningsplan og eksempler.
Kapittel V. Erfaring med å gjennomføre klasser med skoleelever om dette temaet.
1.Opplæringsmateriell.
2.Oppgaver for selvstendig løsning.
Konklusjon. Konklusjoner og tilbud.
Liste over brukt litteratur.
Kapittel I analyserer litteraturen
