Slik beskytter du hjemmet ditt mot brann
Er du her: » »

Hvilken formel kan du bruke for å finne koordinatene til en vektor? Hvordan finne vektorkoordinater

Analytisk geometri

Uken av arrangementet

Modulpoengsum i poeng

modulkontroll

Maksimum

Minimum

Semester 1

DZ nr. 1, del 1

DZ nr. 1, del 2

Styring ved modul nr. 1

Tildele poeng

Styring ved modul nr. 2

Tildele poeng

Kontrolltiltak og tidspunkt for implementering av dem Modul 1

1. DZ nr. 1 del 1 “Vektoralgebra” Utstedelsesfrist 2 uker, forfall - 7 uker

2. DZ nr. 1 del 2 "Rete linjer og plan"

Utstedelsesperiode er 1 uke, forfallsdato er 9 uker

3. Test på modul nr. 1 (RC nr. 1) "Vektoralgebra, linjer og plan." Varighet: 10 uker

1. DZ nr. 2 “Kurver og flater 2. orden" Utstedelsestid 6 uker, forfall - 13 uker

5. Test "Kurver og overflater" 2. orden." Varighet: 14 uker

6. Kontroll på modul nr. 2 (RC nr. 2) "Matriser og systemer av lineære algebraiske ligninger"

Varighet: uke 16

Typiske oppgaver brukt i dannelsen av gjeldende kontrollalternativer

1. Hjemmelekser nr. 1. "Vektoralgebra og analytisk geometri"

Gitt: punktene A (0;3;2) , B (1;4;2) , D (0;1;2) ,

A(1;2;0); tall en 30,

b 1; hjørne

1. Finn lengden på vektoren |

n | , Hvis

p aq,

n bp q

og p, q er enhet

vektorer med like vinkler.

2. Finn koordinatene til punktet M som deler vektoren AB i forholdet a:1.

3. Sjekk om det er mulig på vektorer AB og AD konstruerer et parallellogram. Hvis ja, finn lengdene på sidene til parallellogrammet.

4. Finn vinklene mellom diagonalene til parallellogrammet ABCD.

5. Finn arealet av parallellogram ABCD.

6. Pass på at på vektorene AB, AD, AA 1 kan du bygge et parallellepiped. Finn volumet til dette parallellepipedet og lengden på dets høyde.

7. Finn vektorkoordinater AH, rettet langs høyden av parallellepipedet ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, trukket fra punkt A til grunnplanet A 1 B 1 C 1 D 1,

koordinater til punkt H og koordinater til en enhetsvektor som sammenfaller i retning med vektor AH.

8. Finn vektordekomponering AH av vektorene AB, AD, AA 1.

9. Finn projeksjonen av vektoren AH til vektor AA 1.

10. Skriv likningene til planene: a) P, som går gjennom punktene A, B, D;

b) P1 som går gjennom punkt A og linje A1 B1;

c) P2 som går gjennom punktet A1 parallelt med plan P; d) P3 som inneholder rette linjer AD og AA1;

e) P4 som går gjennom punktene A og C1, vinkelrett på planet P.

11. Finn avstanden mellom linjene som kantene AB og CC ligger på 1 ; skrive kanoniske og parametriske ligninger av felles vinkelrett på dem.

12. Finn punkt A 2, symmetrisk punkt A1 i forhold til grunnplanet

13. Finn vinkelen mellom linjen som diagonalen A ligger på 1 C, og basisplanet ABCD.

14. Finne skarpt hjørne mellom flyene ABC 1 D (P-plan) og ABB1 A1 (P1-plan).

2. Lekse #2. "Kurver og overflater av andre orden"

I oppgave 1–2 gitt ligning bringe andre ordens linjer til kanonisk form og konstruer en kurve i OXY-koordinatsystemet.

I Oppgave 3, bruk de gitte dataene, finn ligningen til kurven i OXY-koordinatsystemet. For oppgaver 1–3 indikerer:

1) kanonisk form av linjeligningen;

2) transformasjon parallell overføring, som fører til den kanoniske formen;

3) i tilfelle av en ellipse: halvakser, eksentrisitet, sentrum, hjørner, brennpunkter, avstander fra punkt C til brennpunkter; i tilfellet av en hyperbel: halvakser, eksentrisitet, sentrum, toppunkter, foci, avstander fra punkt C til foci, asymptotelikninger; i tilfelle av en parabel: parameter, toppunkt, fokus, riktlinjeligning, avstander fra punkt C til fokus og ledningslinje;

4) for punkt C, sjekk egenskapen som karakteriserer denne typen kurve som et punktsted.

I Oppgave 4 angir den parallelle translasjonstransformasjonen som bringer den gitte overflateligningen til kanonisk form, den kanoniske formen til overflateligningen og typen overflate. Konstruer en overflate i det kanoniske koordinatsystemet OXYZ.

5x 2y 2 20x 2y 4, C (0;1

2) 5x 2 4y 2 20x 8y 64, C (12;14) .

5) ;

Parabelen er symmetrisk i forhold til den rette linjen y 1 0 og har fokus

; 1 ,

skjærer OX-aksen i punkt C

; 0 , og dens grener ligger i halvplanet

x 0.

4y 2 z 2 8y 4z 1 0 .

Test på modul nr. 1 «Vektoralgebra. Analytisk geometri"

1. Høyre og venstre trippel av vektorer. Definisjon vektor produkt vektorer. Formuler egenskapene til vektorproduktet til vektorer. Utled en formel for å beregne vektorproduktet til to vektorer spesifisert av deres koordinater på ortonormal basis.

vektorer

en m n,

mn,

1, m, n

Kan være,

vektor nedbrytning

c 3 i

12 j 6k

vektorer

3 j 2 k og b 2 i 3 j 4 k.

Skriv plan ligning,

passerer gjennom punktene M 1 5, 1, 4,

M 2 2, 3,1 og

vinkelrett på planet

6x 5y 4z 1 0. Skriv kanoniske ligninger

en rett linje som går gjennom punktet M 0 0, 2,1 og ortogonalt til det funnet planet.

Test "Kurver og overflater av andre orden"

1. Definisjon av en ellipse som et geometrisk lokus av punkter. Utledning av den kanoniske ligningen til en ellipse i et rektangulært kartesisk koordinatsystem. Grunnleggende parametere for kurven.

2. Overflateligning x 2 4y 2 z 2 8x 4y 6z 17 0 bly til kanonisk

sinn. Lag en tegning i det kanoniske koordinatsystemet. Angi navnet på denne overflaten.

3. Skriv en likning for en likeakset hyperbel hvis dens sentrum O 1 1, 1 og en av dens foci F 1 3, 1 er kjent. Lag en tegning.

Test på modul nr. 2 “Kurver og overflater av andre orden. Matriser og systemer av lineære algebraiske ligninger"

1. Homogene systemer av lineære algebraiske ligninger (SLAE). Former for registrering av homogen SLAE. Bevis på et kriterium for eksistensen av ikke-nullløsninger av en homogen SLAE.

2. Løs matriseligningen AX B,

Gjør en sjekk.

3. a) Løs SLAE. b) Finn det normale fundamentale løsningssystemet til det tilsvarende homogene systemet, en spesiell løsning av det inhomogene systemet; skriv gjennom dem den generelle løsningen av dette inhomogene systemet:

x 1 2 x 2 3 x 3 4 x 4 4 x 2 x 3 x 4 3

x 1 3 x 2 3 x 4 1

7 x 2 3 x 3 x 4 3

Spørsmål for å forberede seg til modulprøver, prøvearbeid, prøve og eksamen

1. Geometriske vektorer. Gratis vektorer. Definisjon av kollineære og koplanare vektorer. Lineære operasjoner på vektorer og deres egenskaper.

2. Bestemmelse av lineær avhengighet og lineær uavhengighet av vektorer. Bevis for lineære avhengighetsforhold 2 og 3 vektorer.

3. Definisjon av basis i vektorrom V 1, V 2, V 3. Bevis for teoremet om eksistensen og unikheten av utvidelsen av en vektor med hensyn til en basis. Lineære operasjoner på vektorer spesifisert av deres koordinater i grunnlaget.

4. Definisjon av skalarproduktet til vektorer, dets forbindelse med den ortogonale projeksjonen av vektoren på aksen. Egenskapene til det skalære produktet, deres bevis. Utledning av formelen for beregning av skalarproduktet av vektorer på ortonormal basis.

5. Definisjon av ortonormal basis. Forholdet mellom koordinatene til en vektor i en ortonormal basis og dens ortogonale projeksjoner på vektorene til denne basisen. Utlede formler for å beregne lengden til en vektor, dens retningscosinus og vinkelen mellom to vektorer på ortonormal basis.

6. Høyre og venstre trippel av vektorer. Definisjon av vektorproduktet til vektorer, dets mekaniske og geometriske betydning. Egenskaper til vektorproduktet (uten dokument). Utledning av formelen for beregning av vektorproduktet på ortonormal basis.

7. Definisjon av et blandet produkt av vektorer. Volumet til et parallellepiped og volumet til en pyramide, bygget på ikke-koplanare vektorer. Betingelse for koplanaritet av tre vektorer. Egenskaper til et blandet produkt. Utledning av en formel for å beregne et blandet produkt på ortonormal basis.

8. Definisjon av et rektangulært kartesisk koordinatsystem. Løse enkle problemer analytisk geometri.

9. Ulike typer ligninger for en rett linje på et plan: vektor, parametrisk, kanonisk. Retningsvektoren er rett.

10. Utlede ligningen til en linje som går gjennom to gitte punkter.

11. Bevis for teoremet at i et rektangulært kartesisk koordinatsystem på et plan, definerer en ligning av første grad en rett linje. Bestemmelse av normalvektoren til en linje.

12. Ligning med skråningen, ligning av en rett linje "i segmenter". Geometrisk betydning parametere inkludert i ligningene. Vinkelen mellom to rette linjer. Betingelser for parallellitet og perpendikularitet av to linjer, gitt av deres generelle eller kanoniske ligninger.

13. Utledning av formelen for avstanden fra et punkt til en linje på et plan.

14. Bevis for teoremet om at i et rektangulært kartesisk koordinatsystem i rommet, definerer en ligning av første grad et plan. Generell ligning for flyet. Bestemmelse av normalvektoren til et plan. Utlede ligningen til et plan som går gjennom tre gitte punkter. Ligningen av planet "i segmenter".

15. Vinkel mellom planene. Betingelser for parallellitet og perpendikularitet av to plan.

16. Utledning av formelen for avstanden fra et punkt til et plan.

17. Generelle ligninger av en rett linje i rommet. Derivasjon av vektor-, kanoniske og parametriske ligninger av en rett linje i rommet.

18. Vinkelen mellom to rette linjer i rommet, betingelsene for parallellitet og perpendikularitet til to rette linjer. Forutsetninger for at to rette linjer skal tilhøre samme plan.

19. Vinkelen mellom en rett linje og et plan, betingelsene for parallellitet og perpendikularitet til en rett linje og et plan. Betingelse for at en rett linje skal tilhøre et gitt plan.

20. Problemet med å finne avstanden mellom kryssende eller parallelle linjer.

21. Definisjon av en ellipse som et geometrisk lokus av punkter. Utledning av den kanoniske ligningen til ellipsen.

22. Definisjon av en hyperbel som et punktsted. Utledning av den kanoniske hyperbelligningen.

23. Definisjon av en parabel som et punktsted. Utledning av den kanoniske parabelligningen.

24. Definisjon av en sylindrisk overflate. Kanoniske ligninger av sylindriske overflater 2. orden.

25. Konseptet med en overflate av revolusjon. Kanoniske ligninger av overflater dannet ved rotasjon av en ellipse, hyperbel og parabel.

26. Kanoniske ligninger av en ellipsoide og en kjegle. Studie av formen til disse overflatene ved hjelp av seksjonsmetoden.

27. Kanoniske ligninger av hyperboloider. Studie av formen til hyperboloider ved hjelp av seksjonsmetoden.

28. Kanoniske ligninger av paraboloider. Studie av formen til paraboloider ved hjelp av seksjonsmetoden.

29. Konseptet med en matrise. Typer matriser. Matrise-likhet. Lineære operasjoner på matriser og deres egenskaper. Transponering av matriser.

30. Matrisemultiplikasjon. Egenskaper forn.

31. Definisjon av en invers matrise. Bevis på det unike med den inverse matrisen. Bevis for teoremet på den inverse matrisen av produktet av to inverterbare matriser.

32. Kriterium for eksistensen av en invers matrise. Konseptet med en tilstøtende matrise, dens forbindelse med den inverse matrisen.

33. Utledning av Cramer-formler for å løse systemet lineære ligninger med en ikke-singular kvadratisk matrise.

34. Lineær avhengighet og lineær uavhengighet av rader (kolonner) i en matrise. Bevis for kriteriet for lineær avhengighet av rader (kolonner).

35. Definisjon av en matrise-moll. Grunnleggende mindre. Teoremet på basis moll (uten doqua). Bevis på konsekvensen for kvadratiske matriser.

36. Metoden for å avgrense mindreårige for å finne rangeringen til en matrise.

37. Elementære transformasjoner av matriserader (kolonner). Finne den inverse matrisen ved å bruke metoden for elementære transformasjoner.

38. Teorem om invariansen av rangeringen til en matrise under elementære transformasjoner. Finne rangeringen til en matrise ved å bruke metoden for elementære transformasjoner.

39. Systemer av lineære algebraiske ligninger (SLAE). Ulike former for opptak av SLAE. Felles og inkompatibel SLAE. Bevis for Kronecker-Kapell-kriteriet for kompatibilitet av SLAE-er.

40. Homogene systemer av lineære algebraiske ligninger (SLAE). Egenskapene til deres løsninger.

41. Definisjon grunnleggende system løsninger (FSR) av et homogent system av lineære algebraiske ligninger (SLAE). Strukturteorem generell løsning homogen SLAE. Bygging av FSR.

42. Inhomogene systemer av lineære algebraiske ligninger (SLAE). Bevis for teoremet om strukturen til den generelle løsningen av en inhomogen SLAE.

Kontroll hendelse

Antall oppgaver

Poeng for oppgaven

DZ nr. 1, del 1

Opptjente poeng

Kontroll hendelse

Antall oppgaver

Poeng for oppgaven

DZ nr. 1, del 2

Opptjente poeng

Kontroll hendelse

Antall oppgaver

Poeng for oppgaven

Styring ved modul nr. 1

1 teori og 3 oppgaver

teori – 0; 3; 6

oppgaver - 0; 1; 2

Opptjente poeng

Kontroll hendelse

Antall oppgaver

Poeng for oppgaven

Opptjente poeng

Kontroll hendelse

Antall oppgaver

Poeng for oppgaven

1 teori og 3 oppgaver

teori – 0; 3; 6

oppgaver - 0; 1; 2

Opptjente poeng

01 teori og 3 oppgaver

teori – 0; 3; 6

oppgaver - 0; 1; 2

Opptjente poeng

Regler for tildeling av poeng i bladet

1. Poeng for fjernkontroll. Poeng for DZ gis på neste uke etter frist levering, i henhold til tilsvarende tabell. Studenten har rett til å levere individuelle oppgaver til gjennomgang tidligere enn fristen og rette feil som er notert av lærer, samtidig som han får nødvendige råd. Dersom studenten innen siste frist for innlevering av oppgaven fullfører løsningen av oppgaven til riktig alternativ, så får han maksimal poengsum for denne oppgaven. Etter fristen for innlevering av oppgaven kan en student som ikke har oppnådd minstepoengsum for oppgaven fortsette arbeidet med oppgaven. Dessuten, i tilfelle vellykket arbeid studenten godskrives minste poengsum for DZ.

2. Poeng for CD. Hvis en student ikke oppnår minimumspoengsummen for CD-en i tide, kan han i løpet av semesteret skrive om dette arbeidet to ganger. Dersom resultatet er positivt (poengsum er ikke mindre enn fastsatt minimum), gis studenten minimumsscore for CD-en.

3. Poeng for "modulær kontroll". Som «modulkontroll» tilbys et skriftlig arbeid bestående av teoretiske og praktiske deler. Hver del av modulkontrollen vurderes separat. En elev som får en karakter som ikke er lavere enn minimum i en av delene av prøven, anses å ha bestått denne delen og er fritatt fra å fullføre den i fremtiden. Etter lærers skjønn kan det gjennomføres et intervju om den teoretiske delen av oppgaven. Dersom en student ikke oppnår det fastsatte minimum for hver del av arbeidet, har han i løpet av semesteret to forsøk for hver del for å rette opp situasjonen. Med en positiv

Som et resultat (et sett med poeng ikke mindre enn det fastsatte minimum), gis studenten en minimumsscore for "modulkontroll".

4. Modulkarakter. Hvis studenten har fullført alle gjeldende kontrollaktiviteter i modulen (scoret minst den etablerte minimumspoengsummen),

da regnes karakteren for modulen som summen av poeng for alle kontrollaktiviteter i modulen (i dette tilfellet skårer studenten automatisk ikke lavere enn minimumsterskelen). Sluttresultatene for modulen registreres i journalen etter at alle kontrollaktiviteter er gjennomført.

5. Total poengsum. Summen av poeng for to moduler.

6. Evaluering. Avsluttende sertifisering (eksamen, differensiert prøve, prøve) gjennomføres basert på resultater av arbeid i semesteret etter at studenten har fullført planlagt volum pedagogiske arbeider og motta en karakter for hver modul som ikke er lavere enn minimum fastsatt. Maksimal poengsum for alle moduler, inkludert poeng for flid, er 100, minimum er 60. Poengsummen for alle moduler danner vurderingsscore for faget for semesteret. En student som har bestått alle kontrollarrangementer får endelig karakter i faget for semesteret i henhold til skalaen:

Eksamensresultat,

Vurdering på prøven

differensiert plassering

tilfredsstillende

utilfredsstillende

Du kan øke vurderingen din, og derfor eksamenskarakteren din, på den avsluttende eksamen (skriftlig arbeid med materialet til disiplinen som helhet, utført under eksamensøkten), maksimal poengsum er 30, minimum er -16 . Disse poengene summeres med poengene mottatt for alle moduler i faget. Samtidig, for å øke karakteren til «god» for eksamen, må studenten score minst 21 poeng, til «utmerket» - minst 26 poeng. For spesialiteter hvor det gis studiepoeng i faget, økes ikke vurderingen. Studenter som har en karakter i området 0-59 ved begynnelsen av eksamensøkten, oppnår minimumskravet for å få positiv karakter i disiplinen ved å ta kontrolltiltak som tidligere ikke er bestått i individuelle moduler. Samtidig kan studenter som ikke har en god grunn til slutt (ved slutten av eksamensøkten) få en karakter som ikke er høyere enn «tilfredsstillende».

Abscissen og ordinataksen kalles koordinater vektor. Vektorkoordinater er vanligvis angitt i skjemaet (x, y), og selve vektoren som: =(x, y).

Formel for å bestemme vektorkoordinater for todimensjonale problemer.

Ved et todimensjonalt problem, en vektor med kjent koordinater til punkter A(x 1;y 1) Og B(x 2 ; y 2 ) kan beregnes:

= (x 2 - x 1; y 2 - y 1).

Formel for å bestemme vektorkoordinater for romlige problemer.

Ved et romlig problem, en vektor med kjent koordinater til punkter EN (x 1; y 1;z 1 ) og B (x 2 ; y 2 ; z 2 ) kan beregnes ved hjelp av formelen:

= (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1 ; z 2 - z 1 ).

Koordinater gir en omfattende beskrivelse av vektoren, siden det er mulig å konstruere selve vektoren ved hjelp av koordinatene. Kjenne til koordinatene er det lett å beregne og vektorlengde. (Eiendom 3 nedenfor).

Egenskaper til vektorkoordinater.

1. Eventuelle like vektorer i et enkelt koordinatsystem har like koordinater.

2. Koordinater kollineære vektorer proporsjonal. Forutsatt at ingen av vektorene er null.

3. Kvadraten av lengden til en hvilken som helst vektor er lik summen av kvadratene til den koordinater.

4. Under operasjonen vektor multiplikasjon på ekte nummer hver av dens koordinater multipliseres med dette tallet.

5. Når vi legger til vektorer, beregner vi summen av de tilsvarende vektorkoordinater.

6. Skalært produkt to vektorer er lik summen av produktene av deres tilsvarende koordinater.

Endelig fikk jeg tak i dette enorme og etterlengtede emnet. analytisk geometri. Først litt om denne delen av høyere matematikk... Nå husker du sikkert et skolegeometrikurs med mange teoremer, deres bevis, tegninger osv. Hva du skal skjule, et uelsket og ofte uklart emne for en betydelig andel av elevene. Analytisk geometri kan merkelig nok virke mer interessant og tilgjengelig. Hva betyr adjektivet "analytisk"? To klisjerte matematiske fraser dukker umiddelbart opp: "grafisk løsningsmetode" og "analytisk løsningsmetode." Grafisk metode, selvfølgelig, er forbundet med konstruksjon av grafer og tegninger. Analytisk samme metode innebærer å løse problemer hovedsakelig gjennom algebraiske operasjoner. I denne forbindelse er algoritmen for å løse nesten alle problemer med analytisk geometri enkel og gjennomsiktig, ofte er det nok å bruke de nødvendige formlene nøye - og svaret er klart! Nei, selvfølgelig vil vi ikke være i stand til å gjøre dette uten tegninger i det hele tatt, og i tillegg, for en bedre forståelse av materialet, vil jeg prøve å sitere dem utover nødvendighet.

Det nyåpnede kurset om geometri later som det ikke er teoretisk komplett, det er fokusert på å løse praktiske problemer. Jeg vil ta med i mine forelesninger kun det som fra mitt ståsted er viktig rent praktisk. Hvis du trenger mer fullstendig hjelp til en underseksjon, anbefaler jeg følgende ganske tilgjengelig litteratur:

1) En ting som, uten spøk, flere generasjoner er kjent med: Skolebok i geometri, forfattere - L.S. Atanasyan og Company. Denne skolegarderobshengeren har allerede gått gjennom 20 (!) opptrykk, som selvfølgelig ikke er grensen.

2) Geometri i 2 bind. Forfattere L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Dette er litteratur for videregående skole, du vil trenge første bind. Sjelden oppståtte oppgaver kan falle ut av synet mitt, og opplæringen vil gi uvurderlig hjelp.

Begge bøkene kan lastes ned gratis på nett. I tillegg kan du bruke arkivet mitt med ferdige løsninger, som finnes på siden Last ned eksempler i høyere matematikk.

Blant verktøyene foreslår jeg igjen min egen utvikling - Software pakke i analytisk geometri, noe som i stor grad vil forenkle livet og spare mye tid.

Det forutsettes at leseren er kjent med grunnleggende geometriske begreper og figurer: punkt, linje, plan, trekant, parallellogram, parallellepiped, terning, etc. Det er tilrådelig å huske noen teoremer, i det minste Pythagoras teorem, hei til repeatere)

Og nå vil vi vurdere sekvensielt: konseptet med en vektor, handlinger med vektorer, vektorkoordinater. Jeg anbefaler å lese videre den viktigste artikkelen Punktprodukt av vektorer, og også Vektor og blandet produkt av vektorer. En lokal oppgave - Inndeling av et segment i så henseende - vil heller ikke være overflødig. Basert på informasjonen ovenfor, kan du mestre ligning av en linje i et plan Med enkleste eksempler på løsninger, som vil tillate lære å løse geometriproblemer. Følgende artikler er også nyttige: Ligning av et plan i rommet, Ligninger av en linje i rommet, Grunnleggende problemer på en rett linje og et plan, andre deler av analytisk geometri. Naturligvis vil standardoppgaver bli vurdert underveis.

Vektor konsept. Gratis vektor

La oss først gjenta skoledefinisjonen av en vektor. Vektor kalt regissert et segment der begynnelsen og slutten er indikert:

I i dette tilfellet begynnelsen av segmentet er punktet, slutten av segmentet er punktet. Selve vektoren er betegnet med . Retning er viktig, hvis du flytter pilen til den andre enden av segmentet, får du en vektor, og dette er det allerede helt annen vektor. Konseptet vektor er praktisk identifisert med bevegelse fysisk kropp: Enig, å gå inn dørene til instituttet eller forlate dørene til instituttet er helt andre ting.

Det er praktisk å vurdere individuelle punkter på et fly eller rom som den såkalte null vektor. For en slik vektor faller slutten og begynnelsen sammen.

!!! Merk: Her og videre kan du anta at vektorene ligger i samme plan eller du kan anta at de befinner seg i rommet - essensen av materialet som presenteres er gyldig for både planet og rommet.

Betegnelser: Mange la umiddelbart merke til pinnen uten en pil i betegnelsen og sa, det er også en pil øverst! Riktignok kan du skrive det med en pil: , men det er også mulig oppføringen som jeg kommer til å bruke i fremtiden. Hvorfor? Tilsynelatende utviklet denne vanen seg av praktiske årsaker, skytterne mine på skolen og universitetet viste seg å være for ulik størrelse og raggete. I pedagogisk litteratur, noen ganger bryr de seg ikke med kileskrift i det hele tatt, men fremhever bokstavene i fet skrift: , og antyder dermed at dette er en vektor.

Det var stilistikk, og nå om måter å skrive vektorer på:

1) Vektorer kan skrives med to store latinske bokstaver:
og så videre. I dette tilfellet den første bokstaven Nødvendigvis angir startpunktet til vektoren, og den andre bokstaven angir endepunktet til vektoren.

2) Vektorer er også skrevet med små latinske bokstaver:
Spesielt kan vektoren vår redesignes for korthets skyld med en liten latinsk bokstav.

Lengde eller modul en vektor som ikke er null kalles lengden på segmentet. Lengden på nullvektoren er null. Logisk.

Lengden på vektoren er indikert med modultegnet: ,

Vi vil lære å finne lengden på en vektor (eller vi vil gjenta den, avhengig av hvem) litt senere.

Dette var grunnleggende informasjon om vektorer, kjent for alle skoleelever. I analytisk geometri, den såkalte gratis vektor.

For å si det enkelt - vektoren kan plottes fra et hvilket som helst punkt:

Vi er vant til å kalle slike vektorer like (definisjonen av like vektorer vil bli gitt nedenfor), men fra et rent matematisk synspunkt er de SAMME VEKTOR eller gratis vektor. Hvorfor gratis? Fordi i løpet av å løse problemer, kan du "feste" denne eller den "skole"-vektoren til et hvilket som helst punkt på flyet eller rommet du trenger. Dette er en veldig kul funksjon! Se for deg et rettet segment med vilkårlig lengde og retning - det kan "klones" et uendelig antall ganger og når som helst i rommet, faktisk eksisterer det OVERALT. Det er et slikt studentord som sier: Hver foreleser bryr seg om vektoren. Tross alt er det ikke bare et vittig rim, alt er nesten riktig - et regissert segment kan legges til der også. Men ikke skynd deg å glede deg, det er studentene selv som ofte lider =)

Så, gratis vektor- Dette en haug med identiske regisserte segmenter. Skoledefinisjonen av en vektor, gitt i begynnelsen av avsnittet: "Et rettet segment kalles en vektor ..." innebærer spesifikk et rettet segment hentet fra et gitt sett, som er knyttet til et spesifikt punkt i planet eller rommet.

Det skal bemerkes at fra et fysikksynspunkt er konseptet med en fri vektor i generell sak er feil, og anvendelsespunktet har betydning. Faktisk, et direkte slag av samme kraft på nesen eller pannen, nok til å utvikle mitt dumme eksempel, medfører forskjellige konsekvenser. Derimot, ufri vektorer finnes også i løpet av vyshmat (ikke gå dit :)).

Handlinger med vektorer. Kollinearitet av vektorer

Et skolegeometrikurs dekker en rekke handlinger og regler med vektorer: addisjon med trekantregelen, addisjon med parallellogramregelen, vektordifferanseregel, multiplikasjon av en vektor med et tall, skalarprodukt av vektorer, etc. Som et utgangspunkt, la oss gjenta to regler som er spesielt relevante for å løse problemer med analytisk geometri.

Regelen for å legge til vektorer ved hjelp av trekantregelen

Vurder to vilkårlige ikke-null vektorer og:

Du må finne summen av disse vektorene. På grunn av det faktum at alle vektorer anses som frie, vil vi sette vektoren til side fra slutt vektor:

Summen av vektorer er vektoren. For en bedre forståelse av regelen, er det tilrådelig å legge en fysisk mening inn i den: la noen kropp bevege seg langs vektoren, og deretter langs vektoren. Da er summen av vektorer vektoren til den resulterende banen med begynnelsen ved avgangspunktet og slutten ved ankomstpunktet. En lignende regel er formulert for summen av et hvilket som helst antall vektorer. Som de sier, kan kroppen gå sin vei veldig magert langs en sikksakk, eller kanskje på autopilot - langs den resulterende vektoren av summen.

Forresten, hvis vektoren er utsatt fra startet vektor, så får vi ekvivalenten parallellogramregel tillegg av vektorer.

Først om kollinearitet av vektorer. De to vektorene kalles kollineær, hvis de ligger på samme linje eller på parallelle linjer. Grovt sett snakker vi om parallelle vektorer. Men adjektivet "collinear" brukes alltid når det refereres til dem.

Se for deg to kollineære vektorer. Hvis pilene til disse vektorene er rettet i samme retning, kalles slike vektorer co-regissert. Hvis pilene peker i forskjellige retninger, vil vektorene være det motsatte retninger.

Betegnelser: kollinearitet av vektorer er skrevet med det vanlige parallellitetssymbolet: , mens detaljering er mulig: (vektorer er co-directed) eller (vektorer er motsatt rettet).

Arbeidet en ikke-null vektor på et tall er en vektor hvis lengde er lik , og vektorene og er co-rettet mot og motsatt rettet mot.

Regelen for å multiplisere en vektor med et tall er lettere å forstå ved hjelp av et bilde:

La oss se på det mer detaljert:

1 retning. Hvis multiplikatoren er negativ, så vektoren endrer retning til det motsatte.

2) Lengde. Hvis multiplikatoren er inneholdt i eller , så lengden på vektoren avtar. Dermed er lengden på vektoren halvparten av lengden på vektoren. Hvis modulen til multiplikatoren er større enn én, så lengden på vektoren øker i tide.

3) Vær oppmerksom på at alle vektorer er kollineære, mens en vektor uttrykkes gjennom en annen, for eksempel . Det motsatte er også sant: hvis en vektor kan uttrykkes gjennom en annen, så er slike vektorer nødvendigvis kollineære. Dermed: hvis vi multipliserer en vektor med et tall, får vi kollineær(i forhold til originalen) vektor.

4) Vektorene er co-dirigert. Vektorer og er også co-regissert. Enhver vektor i den første gruppen er motsatt rettet med hensyn til enhver vektor i den andre gruppen.

Hvilke vektorer er like?

To vektorer er like hvis de er i samme retning og har samme lengde. Merk at kodireksjonalitet innebærer kollinearitet av vektorer. Definisjonen ville være unøyaktig (overflødig) hvis vi sa: "To vektorer er like hvis de er kollineære, kodireksjonelle og har samme lengde."

Fra synspunktet til konseptet med en fri vektor, er like vektorer den samme vektoren, som diskutert i forrige avsnitt.

Vektorkoordinater på flyet og i verdensrommet

Det første punktet er å vurdere vektorer på planet. La oss skildre et kartesisk rektangulært koordinatsystem og plotte det fra opprinnelsen til koordinatene enkelt vektorer og:

Vektorer og ortogonal. Ortogonal = vinkelrett. Jeg anbefaler at du sakte venne deg til begrepene: i stedet for parallellitet og perpendikularitet bruker vi ordene hhv. kolinearitet Og ortogonalitet.

Betegnelse: Ortogonaliteten til vektorer skrives med det vanlige perpendikularitetssymbolet, for eksempel: .

Vektorene som vurderes kalles koordinatvektorer eller orts. Disse vektorene dannes basis på overflaten. Hva et grunnlag er, tror jeg, er intuitivt klart for mange, flere detaljert informasjon finner du i artikkelen Lineær (ikke) avhengighet av vektorer. Grunnlag for vektorer Med enkle ord definerer grunnlaget og opprinnelsen til koordinatene hele systemet - dette er et slags grunnlag som et fullt og rikt geometrisk liv koker på.

Noen ganger kalles det konstruerte grunnlaget ortonormal basis av planet: "orto" - fordi koordinatvektorene er ortogonale, betyr adjektivet "normalisert" enhet, dvs. lengdene på basisvektorene er lik én.

Betegnelse: grunnlaget er vanligvis skrevet i parentes, innenfor hvilke i streng rekkefølge basisvektorer er listet opp, for eksempel: . Koordinatvektorer det er forbudt omorganisere.

Noen plan vektor den eneste måten uttrykt som:
, Hvor - tall som kalles vektorkoordinater på dette grunnlaget. Og selve uttrykket kalt vektor nedbrytningpå grunnlag .

Middag servert:

La oss starte med den første bokstaven i alfabetet: . Tegningen viser tydelig at når en vektor dekomponeres til en basis, brukes de som nettopp er diskutert:
1) regelen for å multiplisere en vektor med et tall: og ;
2) addisjon av vektorer etter trekantregelen: .

Plot nå vektoren mentalt fra et hvilket som helst annet punkt på flyet. Det er ganske åpenbart at hans forfall vil «følge ham nådeløst». Her er det, vektorens frihet - vektoren "bærer alt med seg selv." Denne egenskapen er selvfølgelig sann for enhver vektor. Det er morsomt at selve basisvektorene (gratis) ikke trenger å være plottet fra origo, den ene kan for eksempel tegnes nederst til venstre, og den andre øverst til høyre, og ingenting vil endre seg! Det er sant at du ikke trenger å gjøre dette, siden læreren også vil vise originalitet og trekke deg en "kreditt" på et uventet sted.

Vektorer illustrerer nøyaktig regelen for å multiplisere en vektor med et tall, vektoren er samrettet med grunnvektoren, vektoren er rettet motsatt av grunnvektoren. For disse vektorene er en av koordinatene lik null, du kan omhyggelig skrive den slik:


Og basisvektorene er forresten slik: (faktisk uttrykkes de gjennom seg selv).

Og endelig: , . Forresten, hva er vektorsubtraksjon, og hvorfor snakket jeg ikke om subtraksjonsregelen? Et sted i lineær algebra, jeg husker ikke hvor, jeg la merke til at subtraksjon er spesielt tilfelle addisjon. Dermed kan utvidelsene til vektorene "de" og "e" lett skrives som en sum: , . Følg tegningen for å se hvor tydelig den gode gamle addisjonen av vektorer i henhold til trekantregelen fungerer i disse situasjonene.

Den vurderte dekomponeringen av skjemaet noen ganger kalt vektordekomponering i ort-systemet(dvs. i et system av enhetsvektorer). Men dette er ikke den eneste måten å skrive en vektor på;

Eller med likhetstegn:

Selve basisvektorene er skrevet som følger: og

Det vil si at koordinatene til vektoren er angitt i parentes. I praktiske problemer Alle tre opptaksalternativene brukes.

Jeg tvilte på om jeg skulle snakke, men jeg sier det likevel: vektorkoordinater kan ikke omorganiseres. Strengt på første plass vi skriver ned koordinaten som tilsvarer enhetsvektoren, strengt tatt på andreplass vi skriver ned koordinaten som tilsvarer enhetsvektoren. Faktisk, og er to forskjellige vektorer.

Vi fant ut koordinatene på flyet. La oss nå se på vektorer i tredimensjonalt rom, nesten alt er likt her! Det vil bare legge til en koordinat til. Det er vanskelig å lage tredimensjonale tegninger, så jeg vil begrense meg til én vektor, som jeg for enkelhets skyld setter til side fra opprinnelsen:

Noen 3D romvektor den eneste måten ekspandere over ortonormal basis:
, hvor er koordinatene til vektoren (tallet) i dette grunnlaget.

Eksempel fra bildet: . La oss se hvordan vektorreglene fungerer her. Først multipliserer du en vektor med et tall: (rød pil), ( grønn pil) og (rød pil). For det andre, her er et eksempel på å legge til flere, i dette tilfelle av tre, vektorer: . Sumvektoren begynner ved det opprinnelige utgangspunktet (begynnelsen av vektoren) og slutter ved det endelige ankomstpunktet (enden av vektoren).

Alle vektorer av tredimensjonalt rom er naturligvis også frie for å mentalt sette vektoren til side fra et hvilket som helst annet punkt, og du vil forstå at dens nedbrytning "vil forbli med den."

I likhet med den flate saken, i tillegg til å skrive versjoner med braketter er mye brukt: enten .

Hvis en (eller to) koordinatvektorer mangler i utvidelsen, settes nuller i stedet. Eksempler:
vektor (omhyggelig ) - la oss skrive ;
vektor (omhyggelig ) - la oss skrive ;
vektor (omhyggelig ) - la oss skrive .

Basisvektorene er skrevet som følger:

Dette er kanskje all den minimale teoretiske kunnskapen som er nødvendig for å løse problemer med analytisk geometri. Det kan være mange begreper og definisjoner, så jeg anbefaler at tekanner leser og forstår denne informasjonen på nytt. Og det vil være nyttig for enhver leser å referere til den grunnleggende leksjonen fra tid til annen for å bedre assimilere materialet. Kollinearitet, ortogonalitet, ortonormal basis, vektordekomponering - disse og andre konsepter vil ofte bli brukt i fremtiden. Jeg vil merke meg at nettstedets materialer ikke er nok til å bestå en teoretisk test eller et kollokvium i geometri, siden jeg krypterer nøye alle teoremer (og uten bevis) - til skade for vitenskapelig stil presentasjon, men et pluss for din forståelse av emnet. For å motta detaljert teoretisk informasjon, vennligst bøy deg for professor Atanasyan.

Og vi går videre til den praktiske delen:

De enkleste problemene med analytisk geometri.
Handlinger med vektorer i koordinater

Det er sterkt tilrådelig å lære hvordan du løser oppgavene som vil bli vurdert helautomatisk, og formlene huske, du trenger ikke engang å huske det med vilje, de vil huske det selv =) Dette er veldig viktig, siden andre problemer med analytisk geometri er basert på de enkleste elementære eksemplene, og det vil være irriterende å bruke ekstra tid på å spise bønder . Det er ikke nødvendig å feste de øverste knappene på skjorten din, mange ting er kjent for deg fra skolen.

Presentasjonen av materialet vil følge et parallelt forløp – både for flyet og for rommet. Av den grunn at alle formlene... vil du se selv.

Hvordan finne en vektor fra to punkter?

Hvis to punkter på planet og er gitt, har vektoren følgende koordinater:

Hvis to punkter i rommet og er gitt, har vektoren følgende koordinater:

Det er, fra koordinatene til enden av vektoren du må trekke fra de tilsvarende koordinatene begynnelsen av vektoren.

Trening: For de samme punktene, skriv ned formlene for å finne koordinatene til vektoren. Formler på slutten av leksjonen.

Eksempel 1

Gitt to punkter av flyet og . Finn vektorkoordinater

Løsning: i henhold til passende formel:

Alternativt kan følgende oppføring brukes:

Esteter avgjør dette:

Personlig er jeg vant til den første versjonen av innspillingen.

Svar:

I henhold til betingelsen var det ikke nødvendig å konstruere en tegning (som er typisk for problemer med analytisk geometri), men for å avklare noen punkter for dummies, vil jeg ikke være lat:

Du må definitivt forstå forskjellen mellom punktkoordinater og vektorkoordinater:

Punktkoordinater– dette er vanlige koordinater i et rektangulært koordinatsystem. Jeg tror alle vet hvordan man plotter punkter på et koordinatplan fra 5.-6. klasse. Hvert punkt har en streng plass på flyet, og de kan ikke flyttes hvor som helst.

Koordinatene til vektoren– dette er dens utvidelse i henhold til grunnlaget, i dette tilfellet. Enhver vektor er gratis, så hvis ønskelig eller nødvendig, kan vi enkelt flytte den bort fra et annet punkt på flyet. Det er interessant at for vektorer trenger du ikke å bygge akser eller et rektangulært koordinatsystem i det hele tatt, du trenger bare en basis, i dette tilfellet en ortonormal basis av planet.

Registreringene av koordinater til punkter og koordinater til vektorer ser ut til å være like: , og betydningen av koordinater absolutt annerledes, og du bør være godt klar over denne forskjellen. Denne forskjellen gjelder selvfølgelig også plass.

Mine damer og herrer, la oss fylle hendene våre:

Eksempel 2

a) Poeng og gis. Finn vektorer og .
b) Poeng gis Og . Finn vektorer og .
c) Poeng og gis. Finn vektorer og .
d) Poeng gis. Finn vektorer .

Kanskje det er nok. Dette er eksempler for deg å bestemme selv, prøv å ikke forsømme dem, det vil lønne seg ;-). Det er ikke nødvendig å lage tegninger. Løsninger og svar på slutten av leksjonen.

Hva er viktig når man løser analytiske geometriproblemer? Det er viktig å være EKSTREMT FORSIKTIG for å unngå å gjøre den mesterlige feilen "to pluss to er lik null". Jeg beklager med en gang hvis jeg har gjort en feil et sted =)

Hvordan finne lengden på et segment?

Lengden, som allerede nevnt, er indikert med modultegnet.

Hvis to punkter på planet er gitt og , kan lengden på segmentet beregnes ved hjelp av formelen

Hvis to punkter i rommet og er gitt, kan lengden på segmentet beregnes ved hjelp av formelen

Merk: Formlene forblir korrekte hvis de tilsvarende koordinatene byttes: og , men det første alternativet er mer standard

Eksempel 3

Løsning: i henhold til passende formel:

Svar:

For klarhetens skyld vil jeg lage en tegning

Linjestykke - dette er ikke en vektor, og du kan selvfølgelig ikke flytte den hvor som helst. I tillegg, hvis du tegner i målestokk: 1 enhet. = 1 cm (to notatbokceller), så kan det resulterende svaret kontrolleres med en vanlig linjal ved direkte å måle lengden på segmentet.

Ja, løsningen er kort, men det er et par flere i den viktige poeng som jeg ønsker å presisere:

For det første setter vi i svaret dimensjonen: "enheter". Tilstanden sier ikke HVA det er, millimeter, centimeter, meter eller kilometer. Derfor vil en matematisk korrekt løsning være den generelle formuleringen: "enheter" - forkortet som "enheter."

For det andre, la oss gjenta skolemateriellet, som ikke bare er nyttig for oppgaven som vurderes:

Følg med på viktig teknikk – fjerne multiplikatoren fra under roten. Som et resultat av beregningene har vi et resultat og god matematisk stil innebærer å fjerne faktoren fra under roten (hvis mulig). Mer detaljert ser prosessen slik ut: . Å la svaret være slik det er, ville selvsagt ikke være en feil – men det ville absolutt være en mangel og et tungtveiende argument for å krangle fra lærerens side.

Her er andre vanlige tilfeller:

Ofte produserer roten et ganske stort antall, for eksempel . Hva skal man gjøre i slike tilfeller? Ved hjelp av kalkulatoren sjekker vi om tallet er delelig med 4: . Ja, det var helt delt, slik: . Eller kanskje tallet kan deles på 4 igjen? . Dermed: . Det siste sifferet i tallet er oddetall, så å dele med 4 for tredje gang vil åpenbart ikke fungere. La oss prøve å dele på ni: . Som et resultat:
Klar.

Konklusjon: hvis vi under roten får et tall som ikke kan trekkes ut som en helhet, så prøver vi å fjerne faktoren fra under roten - ved hjelp av en kalkulator sjekker vi om tallet er delelig med: 4, 9, 16, 25, 36, 49 osv.

Når du løser ulike problemer, støter du ofte på røtter, prøv alltid å trekke ut faktorer under roten for å unngå en lavere karakter og unødvendige problemer med å sluttføre løsninger basert på lærerens kommentarer.

La oss også gjenta kvadratrøtter og andre krefter:

Regler for handlinger med grader i generelt syn finnes i en skolebok om algebra, men jeg tror fra eksemplene gitt, alt eller nesten alt er allerede klart.

Oppgave for uavhengig løsning med et segment i rommet:

Eksempel 4

Poeng og gis. Finn lengden på segmentet.

Løsningen og svaret er på slutten av leksjonen.

Hvordan finne lengden på en vektor?

Hvis en planvektor er gitt, beregnes lengden ved hjelp av formelen.

Hvis en romvektor er gitt, beregnes lengden ved hjelp av formelen .

Å finne koordinatene til en vektor er en ganske vanlig betingelse for mange problemer i matematikk. Evnen til å finne vektorkoordinater vil hjelpe deg i andre, mer komplekse problemer med lignende emner. I denne artikkelen skal vi se på formelen for å finne vektorkoordinater og flere problemer.

Finne koordinatene til en vektor i et plan

Hva er et fly? Et plan anses å være et todimensjonalt rom, et rom med to dimensjoner (x-dimensjonen og y-dimensjonen). For eksempel er papir flatt. Overflaten på bordet er flat. Enhver ikke-volumetrisk figur (kvadrat, trekant, trapes) er også et plan. Derfor, hvis du i problemformuleringen trenger å finne koordinatene til en vektor som ligger på et plan, husker vi umiddelbart om x og y. Du kan finne koordinatene til en slik vektor som følger: Koordinatene AB til vektoren = (xB – xA; yB – xA). Formelen viser at du må trekke koordinatene til startpunktet fra koordinatene til sluttpunktet.

Eksempel:

  • Vektor-CD har innledende (5; 6) og siste (7; 8) koordinater.
  • Finn koordinatene til selve vektoren.
  • Ved å bruke formelen ovenfor får vi følgende uttrykk: CD = (7-5; 8-6) = (2; 2).
  • Dermed er koordinatene til CD-vektoren = (2; 2).
  • Følgelig er x-koordinaten lik to, y-koordinaten er også to.

Finne koordinatene til en vektor i rommet

Hva er plass? Rommet er allerede en tredimensjonal dimensjon, hvor 3 koordinater er gitt: x, y, z. Hvis du trenger å finne en vektor som ligger i rommet, endres formelen praktisk talt ikke. Bare én koordinat legges til. For å finne en vektor må du trekke koordinatene til begynnelsen fra sluttkoordinatene. AB = (xB – xA; yB – yA; zB – zA)

Eksempel:

  • Vektor DF har initial (2; 3; 1) og siste (1; 5; 2).
  • Ved å bruke formelen ovenfor får vi: Vektorkoordinater DF = (1-2; 5-3; 2-1) = (-1; 2; 1).
  • Husk at koordinatverdien kan være negativ, det er ikke noe problem.


Hvordan finne vektorkoordinater på nettet?

Hvis du av en eller annen grunn ikke vil finne koordinatene selv, kan du bruke en online kalkulator. For å begynne, velg vektordimensjonen. Dimensjonen til en vektor er ansvarlig for dens dimensjoner. Dimensjon 3 betyr at vektoren er i rommet, dimensjon 2 betyr at den er på planet. Deretter setter du inn koordinatene til punktene i de aktuelle feltene, og programmet vil bestemme koordinatene til selve vektoren for deg. Alt er veldig enkelt.


Ved å klikke på knappen vil siden automatisk rulle ned og gi deg riktig svar sammen med løsningstrinnene.


Det anbefales å studere dette emnet godt, fordi konseptet med en vektor finnes ikke bare i matematikk, men også i fysikk. Fakultetsstudenter Informasjonsteknologier De studerer også temaet vektorer, men på et mer komplekst nivå.

Overskrift: Brannmann jobb
Dele