La to poeng gis M 1 (x 1, y 1) Og M 2 (x 2, y 2). La oss skrive ligningen til den rette linjen i formen (5), hvor k fortsatt ukjent koeffisient:
Siden punktet M 2 tilhører en gitt linje, så tilfredsstiller dens koordinater ligning (5): . Ved å uttrykke herfra og erstatte den i ligning (5), får vi den nødvendige ligningen:
Hvis 
denne ligningen kan skrives om i en form som er mer praktisk for memorering:
(6)
Eksempel. Skriv ned ligningen til en rett linje som går gjennom punktene M 1 (1,2) og M 2 (-2,3)
Løsning. 
. Ved å bruke proporsjonsegenskapen og utføre de nødvendige transformasjonene får vi den generelle ligningen for en rett linje:
Vinkel mellom to rette linjer
Tenk på to rette linjer l 1 Og l 2:
l 1: , , Og
l 2: , ,
φ er vinkelen mellom dem (). Fra fig. 4 er det tydelig: .
 |
Herfra 
, eller
Ved hjelp av formel (7) kan du bestemme en av vinklene mellom rette linjer. Den andre vinkelen er lik .
Eksempel. To linjer er gitt av ligningene y=2x+3 og y=-3x+2. Finn vinkelen mellom disse linjene.
Løsning. Fra ligningene er det klart at k 1 =2, og k 2 =-3. Ved å erstatte disse verdiene i formel (7), finner vi
. Dermed er vinkelen mellom disse linjene lik .
Betingelser for parallellitet og perpendikularitet av to linjer
Hvis rett l 1 Og l 2 er parallelle altså φ=0 Og tgφ=0. fra formel (7) følger det at , hvorfra k 2 = k 1. Dermed er betingelsen for parallellitet til to linjer likheten av deres vinkelkoeffisienter.
Hvis rett l 1 Og l 2 er vinkelrette, da φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 . 
. Dermed er betingelsen for perpendikulæriteten til to rette linjer at deres vinkelkoeffisienter er invers i størrelse og motsatt i fortegn.
Avstand fra punkt til linje
Teorem. Hvis et punkt M(x 0, y 0) er gitt, bestemmes avstanden til linjen Ax + Bу + C = 0 som
Bevis. La punktet M 1 (x 1, y 1) være bunnen av perpendikulæren som faller fra punkt M til en gitt rett linje. Da er avstanden mellom punktene M og M 1:
Koordinatene x 1 og y 1 kan bli funnet ved å løse likningssystemet:
Den andre ligningen i systemet er ligningen for den rette linjen som går gjennom dette punktet M 0 er vinkelrett på en gitt rett linje.
Hvis vi transformerer den første ligningen i systemet til formen:
A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + Ved 0 + C = 0,
så når vi løser, får vi:
Ved å erstatte disse uttrykkene i ligning (1), finner vi:
Teoremet er bevist.
Eksempel. Bestem vinkelen mellom linjene: y = -3x + 7; y = 2x + 1.
k 1 = -3; k2 = 2 tanj=; j = p/4.
Eksempel. Vis at linjene 3x – 5y + 7 = 0 og 10x + 6y – 3 = 0 er vinkelrette.
Vi finner: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, derfor er linjene vinkelrette.
Eksempel. Oppgitt er toppunktene til trekanten A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Finn ligningen for høyden trukket fra toppunktet C.
Vi finner ligningen til siden AB: ; 4x = 6y – 6;
2x – 3y + 3 = 0;
Den nødvendige høydeligningen har formen: Ax + By + C = 0 eller y = kx + b.
k= . Da er y = . Fordi høyden går gjennom punktet C, så tilfredsstiller dens koordinater denne ligningen: hvorav b = 17. Totalt: .
Svar: 3x + 2y – 34 = 0.
Avstanden fra et punkt til en linje bestemmes av lengden på vinkelrett tegnet fra punktet til linjen.
Hvis linjen er parallell med projeksjonsplanet (h | | P 1), deretter for å bestemme avstanden fra punktet EN til en rett linje h det er nødvendig å senke vinkelrett fra punktet EN til det horisontale h.
La oss vurdere et mer komplekst eksempel, når den rette linjen tar generell stilling. La det være nødvendig å bestemme avstanden fra et punkt M til en rett linje EN generell stilling.
Bestemmelsesoppgave avstander mellom parallelle linjer løses på samme måte som den forrige. Et punkt tas på en linje og en perpendikulær slippes fra den til en annen linje. Lengden på en perpendikulær er lik avstanden mellom parallelle linjer.
Andre ordens kurve er en linje definert av en ligning av andre grad i forhold til gjeldende kartesiske koordinater. I generell sak Axe 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey +F = 0,
hvor A, B, C, D, E, F er reelle tall og minst ett av tallene A 2 + B 2 + C 2 ≠0.
Sirkel
Sirkel sentrum– dette er det geometriske stedet for punkter i planet like langt fra et punkt i planet C(a,b).
Sirkelen er gitt ved følgende ligning:
Der x,y er koordinatene til et vilkårlig punkt på sirkelen, er R radiusen til sirkelen.
Tegn på ligningen til en sirkel
1. Ledet med x, y mangler
2. Koeffisientene for x 2 og y 2 er like
Ellipse
Ellipse kalles det geometriske stedet for punkter i et plan, summen av avstandene til hver av dem fra to gitte punkter i dette planet kalles foci (en konstant verdi).
Den kanoniske ligningen til ellipsen:
X og y tilhører ellipsen.
a – semimajor akse av ellipsen
b – ellipsens halv-mollakse
Ellipsen har 2 symmetriakser OX og OU. Symmetriaksene til en ellipse er dens akser, skjæringspunktet er midten av ellipsen. Aksen som brennpunktene er plassert på kalles brennakse. Skjæringspunktet mellom ellipsen og aksene er ellipsens toppunkt.
Kompresjonsforhold (spenningsforhold): ε = s/a– eksentrisitet (karakteriserer formen på ellipsen), jo mindre den er, jo mindre strekker ellipsen seg langs fokalaksen.
Hvis sentrene til ellipsen ikke er i sentrum C(α, β)
Hyperbel
Overdrivelse kalles det geometriske stedet for punkter i et plan, absolutt verdi forskjellene i avstander, som hver fra to gitte punkter i dette planet, kalt foci, er en konstant verdi forskjellig fra null.
Kanonisk hyperbelligning
En hyperbel har 2 symmetriakser:
a – ekte halvakse av symmetri
b – imaginær symmetrihalvakse
Asymptoter av en hyperbel:
Parabel
Parabel er lokuset til punkter i planet like langt fra et gitt punkt F, kalt fokus, og en gitt linje, kalt retningslinjen.
Den kanoniske ligningen til en parabel:
У 2 =2рх, der р er avstanden fra fokus til retningslinjen (parabelparameter)
Hvis toppunktet til parablen er C (α, β), så er ligningen til parablen (y-β) 2 = 2р(x-α)
Hvis fokalaksen tas som ordinataksen, vil ligningen til parablen ha formen: x 2 =2qу
Tenk på ligningen av en rett linje som går gjennom et punkt og en normalvektor. La et punkt og en ikke-null vektor gis i koordinatsystemet (fig. 1).
Definisjon
Som vi kan se, er det en enkelt rett linje som går gjennom punktet vinkelrett på retningen til vektoren (i dette tilfellet kalles det normal vektor rett ).
Ris. 1
La oss bevise det lineær ligning
dette er en likning av en linje, det vil si at koordinatene til hvert punkt på linjen tilfredsstiller likning (1), men koordinatene til et punkt som ikke ligger på, tilfredsstiller ikke likning (1).
For å bevise dette, la oss merke oss at skalarproduktet av vektorer og = i koordinatform sammenfaller med venstre side av ligning (1).
Deretter bruker vi den åpenbare egenskapen til linjen: vektorene og er vinkelrette hvis og bare hvis punktet ligger på . Og forutsatt at begge vektorene er vinkelrette, blir deres skalarprodukt (2) til for alle punkter som ligger på, og bare for dem. Dette betyr (1) er ligningen til den rette linjen.
Definisjon
Ligning (1) kalles ligningen for linjen som går gjennom et gitt punktmed normalvektor = .
La oss transformere ligning (1)
Betegner = , vi får
Dermed tilsvarer en lineær ligning av formen (3) en rett linje. Tvert imot, ved å bruke en gitt ligning av formen (3), hvor minst én av koeffisientene ikke er lik null, kan en rett linje konstrueres.
Faktisk, la et tallpar tilfredsstille ligning (3), det vil si
Trekker vi sistnevnte fra (3), får vi relasjonen som bestemmer den rette linjen bak vektoren og punktet.
Studie av linjens generelle ligning
Det er nyttig å vite funksjonene ved å plassere en linje i visse tilfeller når ett eller to av tallene er lik null.
1. Den generelle ligningen ser slik ut: . Punktet tilfredsstiller det, noe som betyr at linjen går gjennom origo. Det kan skrives: = – x (se fig. 2).
Ris. 2
Vi tror at:
Hvis vi setter , så får vi et annet poeng (se fig. 2).
2. , så ser ligningen slik ut, hvor = –. Normalvektoren ligger på aksen, en rett linje. Dermed er den rette linjen vinkelrett ved punktet , eller parallell med aksen (se fig. 3). Spesielt hvis og , da og ligningen er ligningen til ordinataksen.
Ris. 3
3. På samme måte, når ligningen er skrevet, hvor . Vektoren tilhører aksen. Rett linje ved et punkt (fig. 4).
Hvis, så er ligningen for aksen .
Studien kan formuleres i denne formen: den rette linjen er parallell med koordinataksen, hvis endring i den generelle ligningen til den rette linjen er fraværende.
For eksempel:
La oss konstruere en rett linje ved å bruke den generelle ligningen, forutsatt at - ikke er lik null. For å gjøre dette er det nok å finne to punkter som ligger på denne linjen. Noen ganger er det mer praktisk å finne slike punkter på koordinatakser.
La oss da = –.
Når, så = –.
La oss betegne – = , – = . Poeng og ble funnet. La oss plotte og på aksene og tegne en rett linje gjennom dem (se fig. 5).
Ris. 5
Fra det generelle kan du gå videre til en ligning som inkluderer tallene og:
Og så viser det seg:
Eller, ifølge notasjonen, får vi ligningen
Som kalles ligning av en rett linje i segmenter. Tallene og, nøyaktig for tegnet, er lik segmentene som er avskåret av en rett linje på koordinataksene.
Ligning av en rett linje med helning
For å finne ut hva ligningen til en rett linje med en helning er, tenk på ligning (1):
Betegner – = , vi får
ligning av en linje som går gjennom et punkt i en gitt retning. Det geometriske innholdet i koeffisienten er tydelig fra fig. 6.
B = = , hvor er den minste vinkelen som den positive retningen til aksen må roteres med rundt fellespunktet til den er på linje med den rette linjen. Selvfølgelig, hvis vinkelen er spiss, så title="Gengitt av QuickLaTeX.com" height="17" width="97" style="vertical-align: -4px;">; если же – !} stump vinkel, Deretter .
La oss åpne parentesene i (5) og forenkle det:
Hvor . Relasjon (6) – ligning rett linje med skråning. Når , er et segment som skjærer av en rett linje på aksen (se fig. 6).
Merk!
For å gå fra en generell rettlinjeligning til en ligning med en helningskoeffisient, må du først løse for .
Ris. 6
= – x + – =
der angitt = –, = –. Hvis, så fra studiet av den generelle ligningen er det allerede kjent at en slik rett linje er vinkelrett på aksen.
La oss se på den kanoniske ligningen til en rett linje ved å bruke et eksempel.
La et punkt og en ikke-nullvektor spesifiseres i koordinatsystemet (fig. 7).
Ris. 7
Det er nødvendig å lage en ligning for en rett linje som går gjennom et punkt parallelt med vektoren, som kalles retningsvektoren. Et vilkårlig punkt hører til denne linjen hvis og bare hvis . Siden vektoren er gitt, og vektoren er , er koordinatene til disse vektorene proporsjonale, i henhold til parallellitetsbetingelsen, det vil si:
Definisjon
Relasjon (7) kalles ligningen til en linje som går gjennom et gitt punkt i en gitt retning eller den kanoniske ligningen til en linje.
La oss merke oss at vi kan flytte til en ligning av formen (7), for eksempel fra ligningen til en blyant av linjer (4)
eller fra ligningen av en rett linje gjennom et punkt og en normalvektor (1):
Det ble antatt ovenfor at retningsvektoren er ikke-null, men det kan hende at en av dens koordinater, for eksempel, . Da vil uttrykk (7) formelt skrives:
som ikke gir mening i det hele tatt. Imidlertid aksepterer og får vi ligningen til den rette linjen vinkelrett på aksen. Faktisk, fra ligningen er det klart at den rette linjen er definert av et punkt og en retningsvektor vinkelrett på aksen. Hvis vi fjerner nevneren fra denne ligningen, får vi:
Eller - ligningen til en rett linje vinkelrett på aksen. Et lignende resultat vil bli oppnådd for vektoren.
Parametrisk ligning for en linje
For å forstå hva en parametrisk ligning av en linje er, må du gå tilbake til ligning (7) og likestille hver brøk (7) til en parameter. Siden minst én av nevnerne i (7) ikke er lik null, og den tilsvarende telleren kan oppnå vilkårlige verdier, er området for parameterendring hele den numeriske aksen.
Definisjon
Ligning (8) kalles den parametriske ligningen for en rett linje.
Eksempler på problemer med rett linje
Selvfølgelig er det vanskelig å løse noe utelukkende basert på definisjoner, fordi du må løse minst noen få eksempler eller problemer på egen hånd som vil bidra til å konsolidere materialet du har dekket. La oss derfor analysere hovedoppgavene i en rett linje, siden lignende oppgaver ofte kommer over i eksamener og tester.
Kanonisk og parametrisk ligning
Eksempel 1
På en rett linje gitt av ligningen, finn punkter som er plassert i en avstand på 10 enheter fra punktet til denne rette linjen.
Løsning:
La ettertraktet punktet på en rett linje, så skriver vi for avstanden . Gitt at . Siden punktet tilhører en linje som har en normalvektor, kan linjens ligning skrives: = = og så viser det seg:
Så avstanden. Med forbehold om , eller . Fra den parametriske ligningen:
Eksempel 2
Oppgave
Punktet beveger seg jevnt med hastighet i retning av vektoren fra startpunktet. Finn koordinatene til punktet til og med fra begynnelsen av bevegelsen.
Løsning
Først må du finne enhetsvektoren. Koordinatene er retningskosinus:
Da er hastighetsvektoren:
X = x = .
Linjens kanoniske ligning vil nå bli skrevet:
= = , = – parametrisk ligning. Etter dette må du bruke den parametriske ligningen til den rette linjen ved .
Løsning:
Ligningen til en linje som går gjennom et punkt finner du ved å bruke formelen for en blyant med linjer, der skråningen for en rett linje og = for en rett linje.
Med tanke på figuren, hvor du kan se at mellom rette linjer og - er det to vinkler: den ene er spiss, og den andre er stump. I henhold til formel (9) er dette vinkelen mellom de rette linjene og som du må rotere den rette linjen mot klokken i forhold til skjæringspunktet til den er på linje med den rette linjen .
Så vi husket formelen, vi fant ut vinklene og nå kan vi gå tilbake til eksemplet vårt. Dette betyr, med tanke på formel (9), at vi først finner ligningene til benet.
Siden rotering av den rette linjen med en vinkel mot klokken i forhold til punktet fører til justering med den rette linjen, så i formel (9), en . Fra ligningen:
Ved å bruke stråleformelen vil ligningen til en rett linje skrives:
På samme måte finner vi , og ,
Linjeligning:
Ligning av en linje - typer ligning for en linje: passerer gjennom et punkt, generell, kanonisk, parametrisk, etc. oppdatert: 22. november 2019 av: Vitenskapelige artikler.Ru
Denne artikkelen fortsetter emnet for ligningen til en linje på et plan: vi vil vurdere denne typen ligninger som den generelle ligningen til en linje. La oss definere teoremet og gi dets bevis; La oss finne ut hva en ufullstendig generell ligning av en linje er, og hvordan man gjør overganger fra en generell ligning til andre typer ligninger av en linje. Vi vil forsterke hele teorien med illustrasjoner og løsninger på praktiske problemer.
La et rektangulært koordinatsystem O x y gis på planet.
Teorem 1
Enhver ligning av første grad, med formen A x + B y + C = 0, hvor A, B, C er noen reelle tall (A og B er ikke lik null samtidig), definerer en rett linje i et rektangulært koordinatsystem på et plan. På sin side bestemmes enhver rett linje i et rektangulært koordinatsystem på et plan av en ligning som har formen A x + B y + C = 0 for et visst sett med verdier A, B, C.
Bevis
Denne teoremet består av to punkter vi skal bevise hvert av dem.
- La oss bevise at ligningen A x + B y + C = 0 definerer en rett linje på planet.
La det være et punkt M 0 (x 0 , y 0) hvis koordinater tilsvarer ligningen A x + B y + C = 0. Altså: A x 0 + B y 0 + C = 0. Trekk fra venstre og høyre side av ligningen A x + B y + C = 0 venstre og høyre side av ligningen A x 0 + B y 0 + C = 0, får vi en ny ligning som ser ut som A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . Det tilsvarer A x + B y + C = 0.
Den resulterende ligningen A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 er nødvendig og tilstrekkelig tilstand perpendikularitet av vektorer n → = (A, B) og M 0 M → = (x - x 0, y - y 0). Dermed definerer settet med punkter M (x, y) en rett linje i et rektangulært koordinatsystem vinkelrett på retningen til vektoren n → = (A, B). Vi kan anta at dette ikke er tilfelle, men da ville ikke vektorene n → = (A, B) og M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) vært vinkelrett, og likheten A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 ville ikke være sant.
Følgelig definerer ligningen A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 en bestemt linje i et rektangulært koordinatsystem på planet, og derfor definerer den ekvivalente ligningen A x + B y + C = 0 samme linje. Slik beviste vi den første delen av teoremet.
- La oss gi et bevis på at enhver rett linje i et rektangulært koordinatsystem på et plan kan spesifiseres med en ligning av første grad A x + B y + C = 0.
La oss definere en rett linje a i et rektangulært koordinatsystem på et plan; punktet M 0 (x 0 , y 0) som denne linjen går gjennom, samt normalvektoren til denne linjen n → = (A, B) .
La det også være et punkt M (x, y) - et flytende punkt på en linje. I dette tilfellet er vektorene n → = (A, B) og M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) vinkelrett på hverandre, og deres skalarprodukt er null:
n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0
La oss omskrive ligningen A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0, definere C: C = - A x 0 - B y 0 og som et endelig resultat får vi ligningen A x + B y + C = 0.
Så vi har bevist den andre delen av teoremet, og vi har bevist hele teoremet som en helhet.
Definisjon 1
En formlikning A x + B y + C = 0 - Dette generell ligning av en linje på et plan i et rektangulært koordinatsystemOksy.
Basert på det påviste teoremet kan vi konkludere med at en rett linje og dens generelle ligning definert på et plan i et fast rektangulært koordinatsystem er uløselig forbundet. Med andre ord tilsvarer den opprinnelige linjen dens generelle ligning; den generelle ligningen til en linje tilsvarer en gitt linje.
Av beviset for teoremet følger det også at koeffisientene A og B for variablene x og y er koordinatene til normalvektoren til linjen, som er gitt av den generelle ligningen til linjen A x + B y + C = 0.
La oss vurdere spesifikt eksempel generell ligning av en rett linje.
La ligningen 2 x + 3 y - 2 = 0 gis, som tilsvarer en rett linje i et gitt rektangulært koordinatsystem. Normalvektoren til denne linjen er vektoren n → = (2, 3). La oss tegne den gitte rette linjen i tegningen.
Vi kan også slå fast følgende: den rette linjen som vi ser på tegningen er bestemt av den generelle ligningen 2 x + 3 y - 2 = 0, siden koordinatene til alle punktene på en gitt rett linje tilsvarer denne ligningen.
Vi kan få ligningen λ A x + λ B y + λ C = 0 ved å multiplisere begge sider av den generelle ligningen til linjen med tallet λ, ikke lik null. Den resulterende ligningen er ekvivalent med den opprinnelige generelle ligningen, derfor vil den beskrive den samme rette linjen på planet.
Definisjon 2Fullfør generell ligning av en linje– en slik generell ligning av den rette linjen A x + B y + C = 0, der tallene A, B, C er forskjellige fra null. Ellers er ligningen ufullstendig.
La oss analysere alle variasjoner av den ufullstendige generelle ligningen til en linje.
- Når A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0, har den generelle ligningen formen B y + C = 0. En slik ufullstendig generell ligning definerer en rett linje i det rektangulære koordinatsystemet O x y som er parallell med O x-aksen, siden for enhver reell verdi av x vil variabelen y ta verdien - C B . Med andre ord, den generelle ligningen til den rette linjen A x + B y + C = 0, når A = 0, B ≠ 0, spesifiserer lokuset til punktene (x, y), hvis koordinater er lik det samme tallet - C B .
- Hvis A = 0, B ≠ 0, C = 0, har den generelle ligningen formen y = 0. Denne ufullstendige ligningen definerer x-aksen O x .
- Når A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0, får vi en ufullstendig generell ligning A x + C = 0, som definerer en rett linje parallelt med ordinaten.
- La A ≠ 0, B = 0, C = 0, så vil den ufullstendige generelle ligningen ha formen x = 0, og dette er ligningen til koordinatlinjen O y.
- Til slutt, for A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0, har den ufullstendige generelle ligningen formen A x + B y = 0. Og denne ligningen beskriver en rett linje som går gjennom origo. Faktisk tilsvarer tallparet (0, 0) likheten A x + B y = 0, siden A · 0 + B · 0 = 0.
La oss grafisk illustrere alle de ovennevnte typene av ufullstendig generell ligning av en rett linje.
Eksempel 1
Det er kjent at den gitte rette linjen er parallell med ordinataksen og går gjennom punktet 2 7, - 11. Det er nødvendig å skrive ned den generelle ligningen til den gitte linjen.
Løsning
En rett linje parallelt med ordinataksen er gitt ved en ligning på formen A x + C = 0, hvor A ≠ 0. Betingelsen spesifiserer også koordinatene til punktet som linjen går gjennom, og koordinatene til dette punktet oppfyller betingelsene for den ufullstendige generelle ligningen A x + C = 0, dvs. likheten er sann:
A 2 7 + C = 0
Fra den er det mulig å bestemme C hvis vi gir A en verdi som ikke er null, for eksempel A = 7. I dette tilfellet får vi: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2. Vi kjenner begge koeffisientene A og C, bytter dem inn i ligningen A x + C = 0 og får den nødvendige rettlinjeligningen: 7 x - 2 = 0
Svar: 7 x - 2 = 0
Eksempel 2
Tegningen viser en rett linje du trenger for å skrive ned ligningen.
Løsning
Den gitte tegningen lar oss enkelt ta de første dataene for å løse problemet. Vi ser på tegningen at den gitte rette linjen er parallell med O x-aksen og går gjennom punktet (0, 3).
Den rette linjen, som er parallell med abscissen, bestemmes av den ufullstendige generelle ligningen B y + C = 0. La oss finne verdiene til B og C. Koordinatene til punktet (0, 3), siden den gitte linjen går gjennom det, vil tilfredsstille ligningen til linjen B y + C = 0, da er likheten gyldig: B · 3 + C = 0. La oss sette B til en annen verdi enn null. La oss si B = 1, i så fall fra likheten B · 3 + C = 0 kan vi finne C: C = - 3. Vi bruker kjente verdier B og C, får vi den nødvendige ligningen for den rette linjen: y - 3 = 0.
Svar: y - 3 = 0 .
Generell ligning for en linje som går gjennom et gitt punkt i et plan
La den gitte linjen passere gjennom punktet M 0 (x 0 , y 0), så tilsvarer dens koordinater den generelle ligningen til linjen, dvs. likheten er sann: A x 0 + B y 0 + C = 0. La oss trekke venstre og høyre side av denne ligningen fra venstre og høyre side av den generelle komplette ligningen til linjen. Vi får: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0, denne ligningen er ekvivalent med den opprinnelige generelle, går gjennom punktet M 0 (x 0, y 0) og har en normal vektor n → = (A, B).
Resultatet vi fikk gjør det mulig å skrive den generelle ligningen til den rette linjen med kjente koordinater normalvektoren til en linje og koordinatene til et bestemt punkt på denne linjen.
Eksempel 3
Gitt et punkt M 0 (- 3, 4) som en linje går gjennom, og normalvektoren til denne linjen n → = (1, - 2). Det er nødvendig å skrive ned ligningen til den gitte linjen.
Løsning
De innledende betingelsene lar oss få de nødvendige dataene for å komponere ligningen: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4. Deretter:
A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0
Problemet kunne vært løst annerledes. Den generelle ligningen for en linje er A x + B y + C = 0. Den gitte normalvektoren lar oss oppnå verdiene til koeffisientene A og B, da:
A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0
La oss nå finne verdien av C ved å bruke punktet M 0 (- 3, 4) spesifisert av tilstanden til problemet, som den rette linjen går gjennom. Koordinatene til dette punktet tilsvarer ligningen x - 2 · y + C = 0, dvs. - 3 - 2 4 + C = 0. Derfor C = 11. Den nødvendige rettlinjeligningen har formen: x - 2 · y + 11 = 0.
Svar: x - 2 y + 11 = 0 .
Eksempel 4
Gitt en linje 2 3 x - y - 1 2 = 0 og et punkt M 0 som ligger på denne linjen. Bare abscissen til dette punktet er kjent, og den er lik - 3. Det er nødvendig å bestemme ordinaten til et gitt punkt.
Løsning
La oss angi koordinatene til punktet M 0 som x 0 og y 0 . Kildedataene indikerer at x 0 = - 3. Siden punktet tilhører en gitt linje, tilsvarer dets koordinater den generelle ligningen til denne linjen. Da vil likheten være sann:
2 3 x 0 - y 0 - 1 2 = 0
Definer y 0: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2
Svar: - 5 2
Overgang fra den generelle ligningen til en linje til andre typer ligninger av en linje og tilbake
Som vi vet, er det flere typer ligninger for den samme rette linjen på et plan. Valget av ligningstype avhenger av forholdene til problemet; det er mulig å velge den som er mer praktisk for å løse det. Ferdigheten til å konvertere en ligning av en type til en ligning av en annen type er veldig nyttig her.
Tenk først på overgangen fra en generell ligning på formen A x + B y + C = 0 til kanonisk ligning x - x 1 a x = y - y 1 a y .
Hvis A ≠ 0, flytter vi begrepet B y til høyre side av den generelle ligningen. På venstre side tar vi A ut av parentes. Som et resultat får vi: A x + C A = - B y.
Denne likheten kan skrives som en proporsjon: x + C A - B = y A.
Hvis B ≠ 0, lar vi bare begrepet A x stå på venstre side av den generelle ligningen, overføre de andre til høyre side, vi får: A x = - B y - C. Vi tar – B ut av parentes, så: A x = - B y + C B .
La oss omskrive likheten i form av en proporsjon: x - B = y + C B A.
Selvfølgelig er det ikke nødvendig å huske de resulterende formlene. Det er nok å kjenne algoritmen til handlinger når man går fra en generell ligning til en kanonisk.
Eksempel 5
Den generelle ligningen for linjen 3 y - 4 = 0 er gitt. Det er nødvendig å transformere det til en kanonisk ligning.
Løsning
La oss skrive den opprinnelige ligningen som 3 y - 4 = 0. Deretter fortsetter vi i henhold til algoritmen: begrepet 0 x forblir på venstre side; og på høyre side legger vi - 3 ut av parentes; vi får: 0 x = - 3 y - 4 3 .
La oss skrive den resulterende likheten som en proporsjon: x - 3 = y - 4 3 0 . Dermed har vi fått en ligning av kanonisk form.
Svar: x - 3 = y - 4 3 0.
For å transformere den generelle likningen til en linje til parametriske, gjøres først en overgang til den kanoniske formen, og deretter en overgang fra den kanoniske likningen til en linje til parametriske likninger.
Eksempel 6
Den rette linjen er gitt av ligningen 2 x - 5 y - 1 = 0. Skriv ned de parametriske ligningene for denne linjen.
Løsning
La oss gjøre overgangen fra den generelle ligningen til den kanoniske:
2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2
Nå tar vi begge sider av den resulterende kanoniske ligningen lik λ, så:
x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R
Svar:x = 5 λ y = - 1 5 + 2 λ , λ ∈ R
Den generelle ligningen kan konverteres til en ligning av en rett linje med helning y = k · x + b, men bare når B ≠ 0. For overgangen lar vi begrepet B y stå på venstre side, resten overføres til høyre. Vi får: B y = - A x - C . La oss dele begge sider av den resulterende likheten med B, forskjellig fra null: y = - A B x - C B.
Eksempel 7
Linjens generelle ligning er gitt: 2 x + 7 y = 0. Du må konvertere den ligningen til en helningsligning.
Løsning
La oss utføre de nødvendige handlingene i henhold til algoritmen:
2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x
Svar: y = - 2 7 x .
Fra den generelle ligningen til en linje er det nok å bare få en ligning i segmenter av formen x a + y b = 1. For å gjøre en slik overgang flytter vi tallet C til høyre side av likheten, deler begge sider av den resulterende likheten med – C og overfører til slutt koeffisientene for variablene x og y til nevnerne:
A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1
Eksempel 8
Det er nødvendig å transformere den generelle ligningen til linjen x - 7 y + 1 2 = 0 til ligningen til linjen i segmenter.
Løsning
La oss flytte 1 2 til høyre side: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .
La oss dele begge sider av likheten med -1/2: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1 .
Svar: x - 1 2 + y 1 14 = 1 .
Generelt er den omvendte overgangen også enkel: fra andre typer ligninger til den generelle.
Ligningen til en linje i segmenter og en ligning med en vinkelkoeffisient kan enkelt konverteres til en generell ved ganske enkelt å samle alle leddene på venstre side av likheten:
x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0
Den kanoniske ligningen konverteres til en generell i henhold til følgende skjema:
x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0
For å gå fra parametriske, flytt først til den kanoniske, og deretter til den generelle:
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0
Eksempel 9
De parametriske ligningene til linjen x = - 1 + 2 · λ y = 4 er gitt. Det er nødvendig å skrive ned den generelle ligningen til denne linjen.
Løsning
La oss gjøre overgangen fra parametriske ligninger til kanoniske:
x = - 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0
La oss gå fra det kanoniske til det generelle:
x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0
Svar: y - 4 = 0
Eksempel 10
Ligningen for en rett linje i segmentene x 3 + y 1 2 = 1 er gitt. Det er nødvendig å gjøre en overgang til generelt utseende ligninger
Løsning:
Vi skriver ganske enkelt om ligningen i den nødvendige formen:
x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0
Svar: 1 3 x + 2 y - 1 = 0 .
Tegne en generell ligning for en linje
Vi sa ovenfor at den generelle ligningen kan skrives med kjente koordinater til normalvektoren og koordinatene til punktet som linjen går gjennom. En slik rett linje er definert av ligningen A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0. Der analyserte vi også det tilsvarende eksempelet.
La oss nå se på mer komplekse eksempler, hvor du først må bestemme koordinatene til normalvektoren.
Eksempel 11
Gitt en linje parallell med linjen 2 x - 3 y + 3 3 = 0. Punktet M 0 (4, 1) som den gitte linjen går gjennom er også kjent. Det er nødvendig å skrive ned ligningen til den gitte linjen.
Løsning
Startbetingelsene forteller oss at linjene er parallelle, så, som normalvektoren til linjen, hvis ligning må skrives, tar vi retningsvektoren til linjen n → = (2, - 3): 2 x - 3 år + 3 3 = 0. Nå vet vi alle nødvendige data for å lage den generelle ligningen for linjen:
A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0
Svar: 2 x - 3 y - 5 = 0 .
Eksempel 12
Den gitte linjen går gjennom origo vinkelrett på linjen x - 2 3 = y + 4 5. Det er nødvendig å lage en generell ligning for en gitt linje.
Løsning
Normalvektoren til en gitt linje vil være retningsvektoren til linjen x - 2 3 = y + 4 5.
Så n → = (3, 5) . Den rette linjen går gjennom origo, dvs. gjennom punkt O (0, 0). La oss lage en generell ligning for en gitt rett linje:
A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0
Svar: 3 x + 5 y = 0 .
Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter
Denne artikkelen er en del av emneligningen for en linje i et plan. Her skal vi se på det fra alle sider: vi starter med beviset for teoremet som spesifiserer formen til den generelle ligningen til en linje, så vil vi vurdere en ufullstendig generell ligning av en linje, vi vil gi eksempler på ufullstendige ligninger av en linje med grafiske illustrasjoner, og avslutningsvis vil vi dvele ved overgangen fra en generell likning av en linje til andre typer likninger av denne linjen og gi detaljerte løsninger på typiske problemer for å komponere den generelle likningen av en rett linje.
Sidenavigering.
Generell ligning av en rett linje - grunnleggende informasjon.
La oss analysere denne algoritmen når vi løser et eksempel.
Eksempel.
Skriv parametriske ligninger for en linje som er gitt av den generelle ligningen til en linje 
.
Løsning.
Først reduserer vi den opprinnelige generelle ligningen til linjen til den kanoniske ligningen til linjen:
Nå tar vi venstre og høyre side av den resulterende ligningen til å være lik parameteren. Vi har 
Svar:
Fra en generell ligning av en rett linje, er det mulig å få en ligning av en rett linje med en vinkelkoeffisient bare når . Hva må du gjøre for å gjøre overgangen? For det første, på venstre side av den generelle rettlinjeligningen, la bare begrepet være igjen, de resterende leddene må flyttes til høyre side med motsatt fortegn: 
. For det andre, del begge sider av den resulterende likheten med tallet B, som ikke er null, 
. Det er alt.
Eksempel.
En rett linje i et rektangulært koordinatsystem Oxy er gitt ved den generelle ligningen for en rett linje. Få ligningen av denne linjen med helningen.
Løsning.
La oss utføre de nødvendige handlingene: .
Svar:
Når en linje er gitt av den komplette generelle ligningen til linjen, er det lett å få likningen til linjen i segmenter av skjemaet. For å gjøre dette overfører vi tallet C til høyre side av likheten med motsatt fortegn, deler begge sider av den resulterende likheten med –C, og overfører til slutt koeffisientene for variablene x og y til nevnerne: 
Definisjon. I det kartesiske rektangulære koordinatsystemet er en vektor med komponenter (A, B) vinkelrett på den rette linjen gitt av ligningen Ax + By + C = 0.
Eksempel. Finn ligningen til linjen som går gjennom punktet A(1, 2) vinkelrett på vektoren (3, -1).
Løsning. Med A = 3 og B = -1, la oss komponere ligningen for den rette linjen: 3x – y + C = 0. For å finne koeffisienten C, erstatter vi koordinatene til det gitte punktet A i det resulterende uttrykket. 3 – 2 + C = 0, derfor C = -1. Totalt: den nødvendige ligningen: 3x – y – 1 = 0.
Ligning av en linje som går gjennom to punkter
La to punkter M 1 (x 1, y 1, z 1) og M 2 (x 2, y 2, z 2) gis i rommet, så er ligningen til linjen som går gjennom disse punktene:
Hvis noen av nevnerne er lik null, skal den tilsvarende telleren være lik null På planet er ligningen til linjen skrevet ovenfor forenklet:
hvis x 1 ≠ x 2 og x = x 1, hvis x 1 = x 2.
Brøken = k kalles skråningen rett.
Eksempel. Finn ligningen til linjen som går gjennom punktene A(1, 2) og B(3, 4).
Løsning. Ved å bruke formelen skrevet ovenfor får vi:
Ligning av en rett linje fra et punkt og en helning
Hvis den generelle ligningen for den rette linjen Ax + By + C = 0 reduseres til formen:
og utpeke 
, så kalles den resulterende ligningen ligning av en rett linje med helningk.
Ligning av en rett linje fra et punkt og en retningsvektor
I analogi med punktet som vurderer ligningen til en rett linje gjennom en normalvektor, kan du angi definisjonen av en rett linje gjennom et punkt og retningsvektoren til den rette linjen.
Definisjon. Hver vektor som ikke er null (α 1, α 2), hvis komponenter tilfredsstiller betingelsen A α 1 + B α 2 = 0, kalles en retningsvektor for linjen
Axe + Wu + C = 0.
Eksempel. Finn ligningen til en rett linje med en retningsvektor (1, -1) og passerer gjennom punktet A(1, 2).
Løsning. Vi vil se etter ligningen til ønsket linje i formen: Ax + By + C = 0. I henhold til definisjonen skal koeffisientene tilfredsstille betingelsene:
1 * A + (-1) * B = 0, dvs. A = B.
Da har ligningen til den rette linjen formen: Ax + Ay + C = 0, eller x + y + C / A = 0. for x = 1, y = 2 får vi C/ A = -3, dvs. nødvendig ligning:
Ligning av en linje i segmenter
Hvis i den generelle ligningen til den rette linjen Ах + Ву + С = 0 С≠0, så får vi, ved å dele med –С: 
eller
Den geometriske betydningen av koeffisientene er at koeffisienten EN er koordinaten til skjæringspunktet for linjen med okseaksen, og b – koordinaten til skjæringspunktet mellom den rette linjen og Oy-aksen.
Eksempel. Den generelle ligningen til linjen x – y + 1 = 0 er gitt. Finn ligningen til denne linjen i segmenter.
C = 1, , a = -1, b = 1.
Normal ligning av en linje
Hvis begge sider av ligningen Ax + By + C = 0 deles på tallet 
som kalles normaliserende faktor, så får vi
xcosφ + ysinφ - p = 0 -
normal ligning av en linje. Tegnet ± for normaliseringsfaktoren må velges slik at μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.
Eksempel. Den generelle ligningen til linjen 12x – 5y – 65 = 0 Det er påkrevd å skrive ulike typer ligninger for denne linjen.
ligningen for denne linjen i segmenter: 
ligning av denne linjen med helning: (del med 5)
normal ligning for en linje:
; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.
C Det skal bemerkes at ikke hver linje kan representeres av en ligning i segmenter, for eksempel linjer parallelle med akser eller som går gjennom origo.
Eksempel. Den rette linjen avskjærer like positive segmenter på koordinataksene. Skriv en ligning for en rett linje hvis arealet av trekanten dannet av disse segmentene er 8 cm 2.
Løsning. Ligningen til den rette linjen har formen: , ab /2 = 8; a = 4; -4. a = -4 er ikke egnet i henhold til forholdene for problemet. Totalt: eller x + y – 4 = 0.
Eksempel. Skriv en likning for en rett linje som går gjennom punktet A(-2, -3) og origo.
Løsning.
Ligningen for den rette linjen er: 
hvor xl = y1 = 0; x 2 = -2; y 2 = -3.
