Kan tas ut som skilt derivat:
(af(x)" =af " (x).
For eksempel:
Derivat av en algebraisk sum flere funksjoner (tatt i konstante tall) er lik den algebraiske summen av dem derivater:
(f 1 (x) + f 2 (x) - f 3 (x))" = f 1" (x) + f 2 " (x) - f 3" (x).
For eksempel:
(0,3 x 2 - 2 x + 0,8)" = (0,3 x 2)" - (2 x)" + (0,8)" = 0,6 x - 2 ( derivat siste begrep ligningen er null).
Hvis avledet av en funksjon g er ikke null, da har forholdet f/g også endelig derivat. Denne egenskapen kan skrives som:
.
La funksjoner y = f(x) og y = g(x) har endelige derivater ved punkt x 0. Deretter funksjoner f ± g og f g har også endelige derivater i dette punkt. Da får vi:
(f ± g) ′ = f ′ ± g ′,
(f g) ′ = f ′ g + f g ′.
Derivat av en kompleks funksjon.
La funksjon y = f(x) har endelig derivert i et punkt x 0 , funksjonen z = s(y) har en endelig derivert i punktet y 0 = f(x 0).
Deretter kompleks funksjon z = s (f(x)) har også en endelig derivert på dette punktet. Ovenstående kan skrives i formen:
.
Derivert av den inverse funksjonen.
La funksjonen y = f(x) ha invers funksjon x = g(y) på noen intervall(a, b) og det er en ikke-null endelig derivat denne funksjonen ved punkt x 0, tilhørende definisjonsdomene, dvs. x 0 ∈ (a, b).
Deretter invers funksjon Det har derivat ved punkt y 0 = f(x 0):
.
Avledet av en implisitt funksjon.
Hvis funksjon y = f(x) er gitt implisitt ligning F(x, y(x)) = 0, så dens derivat er funnet fra tilstanden:
.
De sier det funksjon y = f(x) er spesifisert implisitt, Om hun identisk tilfredsstiller forholdet:
hvor F(x, y) er en funksjon av to argumenter.
Derivert av en funksjon definert parametrisk.
Hvis funksjon y = f(x) spesifiseres parametrisk ved å bruke den betraktede
Å løse fysiske problemer eller eksempler i matematikk er helt umulig uten kunnskap om den deriverte og metoder for å regne den ut. Den deriverte er et av de viktigste begrepene i matematisk analyse. Vi bestemte oss for å vie dagens artikkel til dette grunnleggende emnet. Hva er et derivat, hva er dets fysiske og geometrisk betydning hvordan beregne den deriverte av en funksjon? Alle disse spørsmålene kan kombineres til ett: hvordan forstå den deriverte?
Geometrisk og fysisk betydning av derivat
La det være en funksjon f(x) , spesifisert i et visst intervall (a, b) . Punktene x og x0 tilhører dette intervallet. Når x endres, endres selve funksjonen. Endring av argumentet - forskjellen i verdiene x-x0 . Denne forskjellen er skrevet som delta x og kalles argumentøkning. En endring eller økning av en funksjon er forskjellen mellom verdiene til en funksjon ved to punkter. Definisjon av derivat:
Den deriverte av en funksjon i et punkt er grensen for forholdet mellom økningen av funksjonen ved et gitt punkt og økningen av argumentet når sistnevnte har en tendens til null.
Ellers kan det skrives slik:
Hva er vitsen med å finne en slik grense? Og her er hva det er:
den deriverte av en funksjon i et punkt er lik tangenten til vinkelen mellom OX-aksen og tangenten til grafen til funksjonen i et gitt punkt.
Fysisk betydning av derivatet: den deriverte av banen med hensyn til tid er lik hastigheten på rettlinjet bevegelse.
Faktisk, siden skoledagene vet alle at hastighet er en spesiell vei x=f(t) og tid t . Gjennomsnittlig hastighet over en viss tidsperiode:
For å finne ut bevegelseshastigheten på et øyeblikk t0 du må beregne grensen:
Regel én: sett en konstant
Konstanten kan tas ut av det deriverte tegnet. Dessuten må dette gjøres. Når du løser eksempler i matematikk, ta det som en regel - Hvis du kan forenkle et uttrykk, sørg for å forenkle det .
Eksempel. La oss beregne den deriverte:
Regel to: derivert av summen av funksjoner
Den deriverte av summen av to funksjoner er lik summen av de deriverte av disse funksjonene. Det samme gjelder for den deriverte av funksjonsforskjellen.
Vi vil ikke gi et bevis på denne teoremet, men heller vurdere et praktisk eksempel.
Finn den deriverte av funksjonen:
Regel tre: derivert av produktet av funksjoner
Den deriverte av produktet av to differensierbare funksjoner beregnes med formelen:
Eksempel: finn den deriverte av en funksjon:
Løsning: 
Det er viktig å snakke om beregning av deriverte av komplekse funksjoner her. Derivat kompleks funksjon er lik produktet av den deriverte av denne funksjonen med hensyn til det mellomliggende argumentet og den deriverte av det mellomliggende argumentet med hensyn til den uavhengige variabelen.
I eksemplet ovenfor kommer vi over uttrykket:
I i dette tilfellet mellomargumentet er 8x i femte potens. For å beregne den deriverte av et slikt uttrykk, beregner vi først den deriverte ekstern funksjon med det mellomliggende argumentet, og multipliser deretter med den deriverte av selve mellomargumentet med hensyn til den uavhengige variabelen.
Regel fire: derivert av kvotienten til to funksjoner
Formel for å bestemme den deriverte av kvotienten til to funksjoner:
Vi prøvde å snakke om derivater for dummies fra bunnen av. Dette emnet er ikke så enkelt som det ser ut til, så vær advart: det er ofte fallgruver i eksemplene, så vær forsiktig når du beregner derivater.
Ved spørsmål om dette og andre temaer kan du kontakte studenttjenesten. Bak kortsiktig Vi hjelper deg med å løse de vanskeligste testene og løse problemer, selv om du aldri har gjort derivatberegninger før.
Den deriverte av en funksjon er en av vanskelige temaer V skolepensum. Ikke alle nyutdannede vil svare på spørsmålet om hva et derivat er.
Denne artikkelen forklarer på en enkel og tydelig måte hva et derivat er og hvorfor det er nødvendig.. Vi skal nå ikke etterstrebe matematisk strenghet i presentasjonen. Det viktigste er å forstå meningen.
La oss huske definisjonen:
Den deriverte er endringshastigheten til en funksjon.
Figuren viser grafer over tre funksjoner. Hvilken tror du vokser raskere?
Svaret er åpenbart - det tredje. Den har den høyeste endringshastigheten, det vil si det største derivatet.
Her er et annet eksempel.
Kostya, Grisha og Matvey fikk jobb samtidig. La oss se hvordan inntektene deres endret seg i løpet av året:
Grafen viser alt på en gang, ikke sant? Kostyas inntekt mer enn doblet seg på seks måneder. Og Grishas inntekt økte også, men bare litt. Og Matveys inntekt sank til null. Startbetingelsene er de samme, men endringshastigheten til funksjonen, altså derivat, - annerledes. Når det gjelder Matvey, er inntektsderivatet hans generelt negativt.
Intuitivt estimerer vi enkelt endringshastigheten til en funksjon. Men hvordan gjør vi dette?
Det vi egentlig ser på er hvor bratt grafen til en funksjon går opp (eller ned). Med andre ord, hvor raskt endres y når x endres? Tydeligvis samme funksjon i forskjellige punkter kan ha annen betydning derivat - det vil si at den kan endre seg raskere eller langsommere.
Den deriverte av en funksjon er betegnet .
Vi viser deg hvordan du finner den ved hjelp av en graf.
Det er tegnet en graf over en funksjon. La oss ta et poeng med en abscisse på. La oss tegne en tangent til grafen til funksjonen på dette punktet. Vi ønsker å beregne hvor bratt grafen til en funksjon går opp. En praktisk verdi for dette er tangent til tangentvinkelen.
Den deriverte av en funksjon i et punkt er lik tangenten til tangentvinkelen tegnet til grafen til funksjonen i dette punktet.
Vær oppmerksom på at som helningsvinkelen til tangenten tar vi vinkelen mellom tangenten og den positive retningen til aksen.
Noen ganger spør elevene hva en tangent til grafen til en funksjon er. Dette er en rett linje som har et enkelt felles punkt med grafen i denne delen, og som vist i figuren vår. Det ser ut som en tangent til en sirkel.
La oss finne den. Vi husker at tangenten til en spiss vinkel i høyre trekant lik forholdet mellom motsatt side og tilstøtende side. Fra trekanten:
Vi fant den deriverte ved å bruke en graf uten engang å vite formelen til funksjonen. Slike problemer finnes ofte i Unified State Examination i matematikk under nummeret.
Det er et annet viktig forhold. Husk at den rette linjen er gitt av ligningen
Mengden i denne ligningen kalles hellingen av en rett linje. Det er lik tangenten til helningsvinkelen til den rette linjen til aksen.
.
Det skjønner vi
La oss huske denne formelen. Det uttrykker den geometriske betydningen av derivatet.
Den deriverte av funksjonen i et punkt er lik skråningen tangent trukket til grafen til funksjonen på dette punktet.
Med andre ord er den deriverte lik tangenten til tangentvinkelen.
Vi har allerede sagt at samme funksjon kan ha forskjellige deriverte på forskjellige punkter. La oss se hvordan den deriverte er relatert til funksjonen til funksjonen.
La oss tegne en graf over en funksjon. La denne funksjonen øke på noen områder og avta på andre, og med forskjellige hastigheter. Og la denne funksjonen ha maksimum og minimum poeng.
På et tidspunkt øker funksjonen. Tangenten til grafen tegnet ved punktet dannes skarpt hjørne med positiv akseretning. Dette betyr at den deriverte på punktet er positiv.
På det tidspunktet reduseres funksjonen vår. Tangenten på dette punktet danner en stump vinkel med den positive retningen til aksen. Siden tangenten til en stump vinkel er negativ, er den deriverte i punktet negativ.
Her er hva som skjer:
Hvis en funksjon øker, er dens deriverte positiv.
Hvis den avtar, er dens deriverte negativ.
Hva vil skje ved maksimums- og minimumspoeng? Vi ser at i punktene (maksimumspunktet) og (minimumspunktet) er tangenten horisontal. Derfor er tangenten til tangenten i disse punktene null, og den deriverte er også null.
Punkt - maksimum poeng. På dette tidspunktet erstattes økningen i funksjonen med en reduksjon. Følgelig endres tegnet på den deriverte ved punktet fra "pluss" til "minus".
På punktet - minimumspunktet - er den deriverte også null, men tegnet endres fra "minus" til "pluss".
Konklusjon: ved hjelp av den deriverte kan vi finne ut alt som interesserer oss om oppførselen til en funksjon.
Hvis den deriverte er positiv, øker funksjonen.
Hvis den deriverte er negativ, reduseres funksjonen.
Ved maksimumspunktet er den deriverte null og skifter fortegn fra "pluss" til "minus".
Ved minimumspunktet er den deriverte også null og skifter fortegn fra "minus" til "pluss".
La oss skrive disse konklusjonene i form av en tabell:
| øker | maksimum poeng | avtar | minimumspoeng | øker | |
| + | 0 | - | 0 | + |
La oss gjøre to små avklaringer. Du trenger en av dem når du skal løse Unified State Exam problemer. En annen - i det første året, med en mer seriøs studie av funksjoner og derivater.
Det er mulig at den deriverte av en funksjon på et tidspunkt er lik null, men funksjonen har verken et maksimum eller et minimum på dette punktet. Dette er den såkalte :
I et punkt er tangenten til grafen horisontal og den deriverte er null. Men før punktet økte funksjonen - og etter punktet fortsetter den å øke. Tegnet til den deriverte endres ikke - det forblir positivt som det var.
Det hender også at ved punktet for maksimum eller minimum eksisterer ikke derivatet. På grafen tilsvarer dette et skarpt brudd, når det er umulig å tegne en tangent i et gitt punkt.
Hvordan finne den deriverte hvis funksjonen ikke er gitt av en graf, men av en formel? I dette tilfellet gjelder det
FØRSTE DERIVAT
FØRSTE DERIVAT
(første avledet) Hastigheten som verdien av en funksjon øker når argumentet øker på et hvilket som helst tidspunkt, hvis funksjonen i seg selv er definert på det punktet. På grafen viser den første deriverte av en funksjon dens helning. Hvis y=f(x), dens første deriverte på punktet x0 er grensen den har en tendens til f(x0+а)–f(x0)/а som EN har en tendens til en uendelig liten verdi. Den første deriverte kan betegnes dy/dx eller y´(x). Funksjon y(x) har en konstant verdi i et punkt x0, Hvis dy/dx på punktet x0 er lik null. Lik null den første deriverte er en nødvendig, men ikke tilstrekkelig betingelse for at funksjonen skal nå sitt maksimum eller minimum ved et gitt punkt.
Økonomi. Ordbok. - M.: "INFRA-M", Forlag "Ves Mir". J. Black. Generell redaktør: Doktor i økonomi Osadchaya I.M.. 2000 .
Økonomisk ordbok. 2000 .
Se hva "FØRSTE DERIVATIV" er i andre ordbøker:
- (derivert) Hastigheten som verdien av en funksjon øker når argumentet økes på et hvilket som helst tidspunkt, hvis funksjonen selv er definert på dette punktet. På grafen viser den første deriverte av en funksjon dens helning. Hvis y=f(x), dens førstederiverte ved punktet ... ... Økonomisk ordbok
Dette begrepet har andre betydninger, se Avledet . Illustrasjon av konseptet avledet Derivative ... Wikipedia
Derivativ er det grunnleggende konseptet for differensialregning, som karakteriserer endringshastigheten til en funksjon. Definert som grensen for forholdet mellom økningen av en funksjon og økningen av argumentet, da økningen av argumentet har en tendens til null, hvis en slik grense... ... Wikipedia
Grenseverdiproblem spesiell type; består i å finne, i domenet D av variablene x = (x1,..., x n), en løsning på differensialligningen (1) av jevn orden 2m for gitte verdier av alle deriverte av orden ikke høyere enn m på grensen S for domenet D (eller dets del) ... Matematisk leksikon
- (andre deriverte) Den første deriverte av den første deriverte av funksjonen. Den første deriverte måler helningen til funksjonen; Den andre deriverte måler hvordan helningen endres etter hvert som argumentet øker. Andrederiverte av y = f(x)… … Økonomisk ordbok
Denne artikkelen eller delen trenger revisjon. Vennligst forbedre artikkelen i samsvar med reglene for å skrive artikler. Brøk om ... Wikipedia
- (kryss partiell derivert) Effekten av å endre ett argument av en funksjon fra to eller flere variabler på den deriverte av en gitt funksjon tatt med hensyn til et annet argument. Hvis y=f(x,z), så er dens deriverte, eller den første deriverte av funksjonen y med hensyn til argumentet x, lik... ... Økonomisk ordbok
analog med punkthastighet- Den første deriverte av bevegelsen til et punkt langs den generaliserte koordinaten til mekanismen ...
analog av koblingsvinkelhastighet- Den første deriverte av koblingsrotasjonsvinkelen med hensyn til den generaliserte koordinaten til mekanismen ... Polyteknisk terminologisk forklarende ordbok
generalisert hastighet på mekanismen- Den første deriverte av den generaliserte koordinaten til mekanismen med hensyn til tid... Polyteknisk terminologisk forklarende ordbok
Bøker
- Samling av problemer om differensialgeometri og topologi, Mishchenko A.S.. Denne problemsamlingen er ment å reflektere så mye som mulig de eksisterende kravene til kurs i differensialgeometri og topologi, både fra nye programmer og fra andre kurs...
- Mine vitenskapelige artikler. Bok 3. Metoden for tetthetsmatriser i kvanteteorier om en laser, et vilkårlig atom, Bondarev Boris Vladimirovich. Denne boken gjennomgår publiserte vitenskapelige artikler som bruker tetthetsmatrisemetoden for å forklare nye kvanteteorier om laseren, det vilkårlige atomet og den dempede kvanteoscillatoren.…
Å løse fysiske problemer eller eksempler i matematikk er helt umulig uten kunnskap om den deriverte og metoder for å regne den ut. Den deriverte er et av de viktigste begrepene i matematisk analyse. Vi bestemte oss for å vie dagens artikkel til dette grunnleggende emnet. Hva er en derivert, hva er dens fysiske og geometriske betydning, hvordan beregner man den deriverte av en funksjon? Alle disse spørsmålene kan kombineres til ett: hvordan forstå den deriverte?
Geometrisk og fysisk betydning av derivat
La det være en funksjon f(x) , spesifisert i et visst intervall (a, b) . Punktene x og x0 tilhører dette intervallet. Når x endres, endres selve funksjonen. Endring av argumentet - forskjellen i verdiene x-x0 . Denne forskjellen er skrevet som delta x og kalles argumentøkning. En endring eller økning av en funksjon er forskjellen mellom verdiene til en funksjon ved to punkter. Definisjon av derivat:
Den deriverte av en funksjon i et punkt er grensen for forholdet mellom økningen av funksjonen ved et gitt punkt og økningen av argumentet når sistnevnte har en tendens til null.
Ellers kan det skrives slik:
Hva er vitsen med å finne en slik grense? Og her er hva det er:
den deriverte av en funksjon i et punkt er lik tangenten til vinkelen mellom OX-aksen og tangenten til grafen til funksjonen i et gitt punkt.
Fysisk betydning av derivatet: den deriverte av banen med hensyn til tid er lik hastigheten på rettlinjet bevegelse.
Faktisk, siden skoledagene vet alle at hastighet er en spesiell vei x=f(t) og tid t . Gjennomsnittlig hastighet over en viss tidsperiode:
For å finne ut bevegelseshastigheten på et øyeblikk t0 du må beregne grensen:
Regel én: sett en konstant
Konstanten kan tas ut av det deriverte tegnet. Dessuten må dette gjøres. Når du løser eksempler i matematikk, ta det som en regel - Hvis du kan forenkle et uttrykk, sørg for å forenkle det .
Eksempel. La oss beregne den deriverte:
Regel to: derivert av summen av funksjoner
Den deriverte av summen av to funksjoner er lik summen av de deriverte av disse funksjonene. Det samme gjelder for den deriverte av funksjonsforskjellen.
Vi vil ikke gi et bevis på denne teoremet, men heller vurdere et praktisk eksempel.
Finn den deriverte av funksjonen:
Regel tre: derivert av produktet av funksjoner
Den deriverte av produktet av to differensierbare funksjoner beregnes med formelen:
Eksempel: finn den deriverte av en funksjon:
Løsning:
Det er viktig å snakke om beregning av deriverte av komplekse funksjoner her. Den deriverte av en kompleks funksjon er lik produktet av den deriverte av denne funksjonen med hensyn til det mellomliggende argumentet og den deriverte av det mellomliggende argumentet med hensyn til den uavhengige variabelen.
I eksemplet ovenfor kommer vi over uttrykket:
I dette tilfellet er det mellomliggende argumentet 8x til femte potens. For å beregne den deriverte av et slikt uttrykk, beregner vi først den deriverte av den eksterne funksjonen med hensyn til det mellomliggende argumentet, og deretter multiplisere med den deriverte av selve det mellomliggende argumentet med hensyn til den uavhengige variabelen.
Regel fire: derivert av kvotienten til to funksjoner
Formel for å bestemme den deriverte av kvotienten til to funksjoner:
Vi prøvde å snakke om derivater for dummies fra bunnen av. Dette emnet er ikke så enkelt som det ser ut til, så vær advart: det er ofte fallgruver i eksemplene, så vær forsiktig når du beregner derivater.
Ved spørsmål om dette og andre temaer kan du kontakte studenttjenesten. I løpet av kort tid vil vi hjelpe deg med å løse den vanskeligste testen og forstå oppgavene, selv om du aldri har gjort derivatberegninger før.
