Hva har skjedd faktorisering? Dette er en måte å gjøre et upraktisk og komplekst eksempel til et enkelt og søtt.) En veldig kraftig teknikk! Det finnes på hvert trinn i både grunnleggende og høyere matematikk.
Slike transformasjoner i matematisk språk kalles identiske transformasjoner av uttrykk. For de som ikke vet, ta en titt på linken. Det er veldig lite, enkelt og nyttig.) Betydningen av noen identitetstransformasjon er et opptak av uttrykket i en annen form samtidig som den beholder sin essens.
Betydning faktorisering ekstremt enkelt og oversiktlig. Rett fra selve navnet. Du kan glemme (eller ikke vite) hva en multiplikator er, men du kan finne ut at dette ordet kommer fra ordet "multipliser"?) Factoring betyr: representere et uttrykk i form av å multiplisere noe med noe. Måtte matematikk og russisk språk tilgi meg...) Det er alt.
Du må for eksempel utvide tallet 12. Du kan trygt skrive:
Så vi presenterte tallet 12 som en multiplikasjon av 3 med 4. Vær oppmerksom på at tallene til høyre (3 og 4) er helt annerledes enn til venstre (1 og 2). Men vi forstår godt at 12 og 3 4 samme. Essensen av tallet 12 fra transformasjon har ikke endret seg.
Er det mulig å dekomponere 12 annerledes? Enkelt!
12=3·4=2·6=3·2·2=0,5·24=........
Nedbrytningsalternativene er uendelige.
Å faktorisere tall er en nyttig ting. Det hjelper mye når man for eksempel jobber med røtter. Men å faktorisere algebraiske uttrykk er ikke bare nyttig, det er det nødvendig! Bare for eksempel:
Forenkle:
De som ikke vet hvordan de skal faktorisere et uttrykk, hviler på sidelinjen. De som vet hvordan - forenkle og få:
Effekten er fantastisk, ikke sant?) Løsningen er forresten ganske enkel. Du vil se selv nedenfor. Eller for eksempel denne oppgaven:
Løs ligningen:
x 5 - x 4 = 0
Det avgjøres i sinnet, forresten. Bruker faktorisering. Vi vil løse dette eksemplet nedenfor. Svar: x 1 = 0; x 2 = 1.
Eller, det samme, men for de eldre):
Løs ligningen:
I disse eksemplene viste jeg hovedhensikt faktorisering: forenkle brøkuttrykk og løse noen typer ligninger. Jeg anbefaler deg å huske tommelfingerregel:
Hvis vi har et skummelt brøkuttrykk foran oss, kan vi prøve å faktorisere telleren og nevneren. Svært ofte reduseres og forenkles fraksjonen.
Hvis vi har en ligning foran oss, hvor det til høyre er null, og til venstre - jeg forstår ikke hva, kan vi prøve å faktorisere venstre side. Noen ganger hjelper det).
Grunnleggende metoder for faktorisering.
Her er de mest populære metodene:
4. Utvidelse av et kvadratisk trinomium.
Disse metodene må huskes. Akkurat i den rekkefølgen. Komplekse eksempler er sjekket for alle mulige måter nedbrytning. Og det er bedre å sjekke i rekkefølge for ikke å bli forvirret... Så la oss starte i rekkefølge.)
1. Ta den felles faktoren ut av parentes.
Enkelt og pålitelig måte. Ingenting vondt kommer fra ham! Det er enten bra eller ikke i det hele tatt.) Det er derfor han kommer først. La oss finne ut av det.
Alle kjenner (tror jeg!) regelen:
a(b+c) = ab+ac
Eller mer generelt syn:
a(b+c+d+.....) = ab+ac+ad+....
Alle likheter fungerer både fra venstre til høyre og omvendt, fra høyre til venstre. Du kan skrive:
ab+ac = a(b+c)
ab+ac+ad+.... = a(b+c+d+.....)
Det er hele poenget med å ta den felles faktoren ut av parentes.
På venstre side EN - felles multiplikator for alle vilkår. Multiplisert med alt som finnes). Til høyre er det mest EN er allerede plassert utenfor parentesene.
Praktisk bruk La oss se på metoden ved å bruke eksempler. Til å begynne med er alternativet enkelt, til og med primitivt.) Men på dette alternativet vil jeg merke ( grønn) Veldig viktige poeng for enhver faktorisering.
Faktoriser:
ah+9x
Hvilken generell vises multiplikatoren i begge ledd? X, selvfølgelig! Vi tar den ut av parentesene. La oss gjøre dette. Vi skriver umiddelbart X utenfor parentes:
øks+9x=x(
Og i parentes skriver vi resultatet av divisjon hvert semester på akkurat denne X. I rekkefølge:
Det er alt. Selvfølgelig er det ikke nødvendig å beskrive det så detaljert, dette gjøres i tankene. Men det er tilrådelig å forstå hva som er hva). Vi registrerer i minnet:
Vi skriver fellesfaktoren utenfor parentesene. I parentes skriver vi resultatene av å dele alle ledd med denne felles faktoren. I rekkefølge.
Så vi har utvidet uttrykket ah+9x med multiplikatorer. Gjorde det til å multiplisere x med (a+9). Jeg legger merke til at i det opprinnelige uttrykket var det også en multiplikasjon, til og med to: a·x og 9·x. Men det ble ikke faktorisert! For i tillegg til multiplikasjon, inneholdt dette uttrykket også addisjon, "+"-tegnet! Og i uttrykket x(a+9) Det er ingenting annet enn multiplikasjon!
Hvordan det!? - Jeg hører den indignerte stemmen til folket - Og i parentes!?)
Ja, det er tillegg innenfor parentesen. Men trikset er at mens brakettene ikke er åpnet, vurderer vi dem som en bokstav. Og vi gjør alle handlingene med parenteser helt, som med en bokstav. Slik sett, i uttrykket x(a+9) Det er ingenting annet enn multiplikasjon. Dette er hele poenget med faktorisering.
Er det forresten mulig å på en eller annen måte sjekke om vi gjorde alt riktig? Enkelt! Det er nok å multiplisere tilbake det du legger ut (x) med parentes og se om det fungerte opprinnelig uttrykk? Hvis det fungerer, er alt flott!)
x(a+9)=ax+9x
Skjedde.)
Det er ingen problemer i dette primitive eksemplet. Men hvis det er flere vilkår, og selv med forskjellige tegn... Kort sagt, hver tredje elev roter til). Derfor:
Kontroller om nødvendig faktoriseringen ved invers multiplikasjon.
Faktoriser:
3ax+9x
Vi ser etter en felles faktor. Vel, alt er klart med X, den kan tas ut. Er det mer generell faktor? Ja! Dette er en treer. Du kan skrive uttrykket slik:
3ax+3 3x
Her er det umiddelbart klart at fellesfaktoren blir 3x. Her tar vi det ut:
3ax+3 3x=3x(a+3)
Spre ut.
Hva skjer hvis du tar den ut bare x? Ikke noe spesielt:
3ax+9x=x(3a+9)
Dette vil også være en faktorisering. Men i denne fascinerende prosessen er det vanlig å legge ut alt til det ytterste mens det er en mulighet. Her i parentes er det mulighet for å sette ut en treer. Det vil vise seg:
3ax+9x=x(3a+9)=3x(a+3)
Det samme, bare med én ekstra handling.) Husk:
Når vi tar fellesfaktoren ut av parentes, prøver vi å ta ut maksimum felles multiplikator.
Skal vi fortsette moroa?)
Faktor uttrykket:
3akh+9х-8а-24
Hva skal vi ta bort? Tre, X? Nei... Det kan du ikke. Jeg minner deg om at du bare kan ta ut generell multiplikator altså i alt vilkårene for uttrykket. Det er derfor han generell. Det er ingen slik multiplikator her ... Hva, du trenger ikke å utvide den!? Vel, ja, vi var så glade... Møt:
2. Gruppering.
Egentlig er det vanskelig å navngi gruppen på en uavhengig måte faktorisering. Det er mer en måte å komme seg ut på komplekst eksempel.) Vi må gruppere vilkårene slik at alt ordner seg. Dette kan kun vises ved eksempel. Så vi har uttrykket:
3akh+9х-8а-24
Det kan sees at det er noen vanlige bokstaver og tall. Men... Generell det er ingen multiplikator å være i alle termer. La oss ikke miste motet og bryte uttrykket i biter. La oss gruppere. Slik at hver brikke har en felles faktor, er det noe å ta av. Hvordan bryter vi det? Ja, vi setter bare parenteser.
La meg minne deg på at parenteser kan plasseres hvor som helst og som du vil. Bare essensen av eksemplet har ikke endret seg. Du kan for eksempel gjøre dette:
3akh+9х-8а-24=(3ах+9х)-(8а+24)
Vær oppmerksom på de andre parentesene! De er innledet med et minustegn, og 8a Og 24 ble positivt! Hvis vi for å sjekke åpner brakettene tilbake, vil skiltene endre seg, og vi får opprinnelig uttrykk. De. essensen av uttrykket fra parentes har ikke endret seg.
Men hvis du bare satte inn parenteser uten å ta hensyn til tegnendringen, for eksempel slik:
3akh+9х-8а-24=(3ax+9x) -(8a-24 )
det ville være en feil. Til høyre - allerede annen uttrykk. Åpne brakettene og alt vil bli synlig. Du trenger ikke bestemme deg videre, ja...)
Men la oss gå tilbake til faktorisering. La oss se på de første parentesene (3ax+9x) og vi tenker, er det noe vi kan ta ut? Vel, vi løste dette eksemplet ovenfor, vi kan ta det 3x:
(3ax+9x)=3x(a+3)
La oss studere de andre parentesene, vi kan legge til en åtte der:
(8a+24)=8(a+3)
Hele uttrykket vårt vil være:
(3ax+9x)-(8a+24)=3x(a+3)-8(a+3)
Faktorisert? Nei. Resultatet av dekomponering bør være bare multiplikasjon Men hos oss ødelegger minustegnet alt. Men... Begge begrepene har en felles faktor! Dette (a+3). Det var ikke for ingenting jeg sa at hele parentesen så å si er én bokstav. Dette betyr at disse brakettene kan tas ut av parentes. Ja, det er akkurat det det høres ut som.)
Vi gjør som beskrevet ovenfor. Vi skriver fellesfaktoren (a+3), i andre parentes skriver vi resultatene av å dele begrepene med (a+3):
3x(a+3)-8(a+3)=(a+3)(3x-8)
Alle! Det er ingenting til høyre bortsett fra multiplikasjon! Dette betyr at faktoriseringen er fullført!) Her er den:
3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)
La oss kort gjenta essensen av gruppen.
Hvis uttrykket ikke gjør det generell multiplikator for alle termer, bryter vi uttrykket i parentes slik at innenfor parentes den felles faktoren var. Vi tar den ut og ser hva som skjer. Hvis du er heldig og det er helt identiske uttrykk igjen i parentes, flytter vi disse parentesene ut av parentes.
Jeg vil legge til at gruppering er en kreativ prosess). Det er ikke alltid det går bra første gang. Det er greit. Noen ganger må du bytte vilkår og vurdere forskjellige varianter grupper til en vellykket er funnet. Det viktigste her er ikke å miste motet!)
Eksempler.
Nå, etter å ha beriket deg selv med kunnskap, kan du løse vanskelige eksempler.) I begynnelsen av leksjonen var det tre av disse...
Forenkle:
I hovedsak har vi allerede løst dette eksemplet. Ukjent for oss selv.) Jeg minner deg om: hvis vi får en forferdelig brøk, prøver vi å faktorisere telleren og nevneren. Andre forenklingsalternativer rett og slett nei.
Vel, nevneren her er ikke utvidet, men telleren... Vi har allerede utvidet telleren i løpet av leksjonen! Som dette:
3ax+9x-8a-24=(a+3)(3x-8)
Vi skriver resultatet av utvidelsen inn i telleren av brøken:
I henhold til regelen om å redusere brøker (hovedegenskapen til en brøk) kan vi dele (samtidig!) telleren og nevneren med samme tall, eller uttrykk. Brøkdel av dette endres ikke. Så vi deler telleren og nevneren på uttrykket (3x-8). Og her og der skal vi få en. Det endelige resultatet av forenklingen:
Jeg vil spesielt understreke: å redusere en brøk er mulig hvis og bare hvis i telleren og nevneren, i tillegg til å multiplisere uttrykk det er ingenting. Det er derfor transformasjonen av summen (forskjellen) til multiplikasjon så viktig for forenkling. Selvfølgelig, hvis uttrykkene annerledes, da blir ingenting redusert. Det vil skje. Men faktorisering gir en sjanse. Denne sjansen uten nedbrytning er rett og slett ikke der.
Eksempel med ligning:
Løs ligningen:
x 5 - x 4 = 0
Vi tar ut fellesfaktoren x 4 ut av parentes. Vi får:
x 4 (x-1)=0
Vi innser at produktet av faktorer er lik null da og bare da, når noen av dem lik null. Hvis du er i tvil, finn meg et par tall som ikke er null som, når multiplisert, vil gi null.) Så vi skriver først den første faktoren:
Med en slik likhet angår ikke den andre faktoren oss. Alle kan være det, men til slutt blir det fortsatt null. Hvilket tall i fjerde potens gir null? Bare null! Og ingen andre... Derfor:
Vi fant ut den første faktoren og fant én rot. La oss se på den andre faktoren. Nå bryr vi oss ikke om den første multiplikatoren.):
Her fant vi en løsning: x 1 = 0; x 2 = 1. Enhver av disse røttene passer til ligningen vår.
Veldig viktig merknad. Vær oppmerksom på at vi løste ligningen bit for bit! Hver faktor var lik null, uavhengig av andre faktorer. Forresten, hvis det i en slik ligning ikke er to faktorer, som vår, men tre, fem, så mange du vil, vil vi løse lignende. Bit for bit. For eksempel:
(x-1)(x+5)(x-3)(x+2)=0
Alle som åpner parentesene og multipliserer alt vil bli sittende fast på denne ligningen for alltid.) En korrekt elev vil umiddelbart se at det ikke er noe til venstre bortsett fra multiplikasjon, og null til høyre. Og han vil begynne (i tankene hans!) å likestille alle parenteser for å bli null. Og han vil motta (på 10 sekunder!) riktig avgjørelse: x 1 = 1; x 2 = -5; x 3 = 3; x 4 = -2.
Kult, ikke sant?) En slik elegant løsning er mulig hvis venstre side av ligningen faktorisert. Har du hintet?)
Vel, et siste eksempel, for de eldre):
Løs ligningen:
Den er litt lik den forrige, tror du ikke?) Selvfølgelig. Det er på tide å huske at i syvende klasse algebra kan sinus, logaritmer og alt annet skjules under bokstavene! Factoring fungerer gjennom hele matematikken.
Vi tar ut fellesfaktoren lg 4 x ut av parentes. Vi får:
log 4 x=0
Dette er én rot. La oss se på den andre faktoren.
Her er det endelige svaret: x 1 = 1; x 2 = 10.
Jeg håper du har skjønt kraften ved å faktorisere for å forenkle brøker og løse ligninger.)
I denne leksjonen lærte vi om felles factoring og gruppering. Det gjenstår å forstå formlene for forkortet multiplikasjon og kvadratisk trinomial.
Hvis du liker denne siden...
Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)
Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. La oss lære - med interesse!)
Du kan bli kjent med funksjoner og derivater.
Å opprettholde personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Se gjennom vår personvernpraksis og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.
Innsamling og bruk av personopplysninger
Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.
Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.
Nedenfor er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.
Hvilken personlig informasjon samler vi inn:
- Når du sender inn en forespørsel på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, adresse E-post etc.
Hvordan vi bruker dine personopplysninger:
- Personopplysningene vi samler inn lar oss kontakte deg med unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
- Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende viktige meldinger og kommunikasjoner.
- Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål som revisjon, dataanalyse og ulike studier for å forbedre tjenestene vi tilbyr og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
- Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende kampanje, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.
Utlevering av informasjon til tredjeparter
Vi utleverer ikke informasjonen mottatt fra deg til tredjeparter.
Unntak:
- Om nødvendig - i samsvar med loven, rettslig prosedyre, i prøve, og/eller basert på offentlige forespørsler eller forespørsler fra offentlige etater på den russiske føderasjonens territorium - oppgi din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre offentlig viktige formål.
- I tilfelle en omorganisering, fusjon eller salg, kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til gjeldende etterfølger tredjepart.
Beskyttelse av personopplysninger
Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.
Respekter personvernet ditt på bedriftsnivå
For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetsstandarder til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.
I generell sak denne oppgaven krever en kreativ tilnærming, siden det ikke finnes noen universell metode for å løse den. Men la oss prøve å gi noen tips.
I det overveldende flertallet av tilfellene er faktoriseringen av et polynom basert på en konsekvens av Bezouts teorem, det vil si at roten blir funnet eller valgt og graden av polynomet reduseres med én ved å dele med . Roten til det resulterende polynomet søkes og prosessen gjentas til fullstendig ekspansjon.
Hvis roten ikke kan bli funnet, brukes spesifikke ekspansjonsmetoder: fra gruppering til å introdusere ytterligere gjensidig utelukkende termer.
Videre presentasjon er basert på ferdighetene til å løse likninger høyere grader med heltallskoeffisienter.
Inneholder den felles faktoren.
La oss starte med det enkleste tilfellet, når frileddet er lik null, det vil si at polynomet har formen .
Det er klart at roten til et slikt polynom er , det vil si at vi kan representere polynomet i formen .
Denne metoden er ikke mer enn å sette fellesfaktoren utenfor parentes.
Eksempel.
Faktor et tredjegrads polynom.
Løsning.
Åpenbart, hva er roten til polynomet, det vil si X kan tas ut av parentes:
La oss finne røttene til det kvadratiske trinomialet 
Dermed, 
Toppen av siden
Faktorisering av et polynom med rasjonelle røtter.
Først, la oss vurdere en metode for å utvide et polynom med heltallskoeffisienter av formen , koeffisienten av høyeste grad er lik en.
I dette tilfellet, hvis et polynom har heltallsrøtter, er de divisorer av frileddet.
Eksempel.
Løsning.
La oss sjekke om det er intakte røtter. For å gjøre dette, skriv ned divisorene til tallet -18
: . Det vil si at hvis et polynom har heltallsrøtter, er de blant de skrevne tallene. La oss sjekke disse tallene sekvensielt ved å bruke Horners skjema. Dens bekvemmelighet ligger også i det faktum at vi til slutt får ekspansjonskoeffisientene til polynomet: 
Det er, x=2 Og x=-3 er røttene til det opprinnelige polynomet, og vi kan representere det som et produkt:
Det gjenstår å utvide det kvadratiske trinomialet.
Diskriminanten til denne trinomialen er negativ, derfor har den ingen reelle røtter.
Svar:
Kommentar:
I stedet for Horners skjema kunne man bruke valget av roten og påfølgende deling av polynomet med et polynom.
Vurder nå utvidelsen av et polynom med heltallskoeffisienter av formen , og koeffisienten av høyeste grad er ikke lik en.
I dette tilfellet kan polynomet ha fraksjonelt rasjonelle røtter.
Eksempel.
Faktor uttrykket.
Løsning.
Ved å utføre en variabel endring y=2x, la oss gå videre til et polynom med en koeffisient lik én ved høyeste grad. For å gjøre dette, multipliser først uttrykket med 4
.
Hvis den resulterende funksjonen har heltallsrøtter, er de blant divisorene til frileddet. La oss skrive dem ned:
La oss sekvensielt beregne verdiene til funksjonen g(y) på disse punktene til null er nådd. 
Vi vet allerede hvordan man delvis bruker faktorisering av potensforskjeller - når vi studerte emnet "Forskjellen på kvadrater" og "Forskjellen på terninger" lærte vi å representere som et produkt forskjellen på uttrykk som kan representeres som kvadrater eller som terninger av noen uttrykk eller tall.
Forkortede multiplikasjonsformler
Bruke forkortede multiplikasjonsformler:
forskjellen av kvadrater kan representeres som produktet av forskjellen mellom to tall eller uttrykk og summen deres
Forskjellen av terninger kan representeres som produktet av forskjellen mellom to tall ved det ufullstendige kvadratet av summen
Overgang til forskjellen av uttrykk til 4. potens
Basert på formelen for forskjellen på kvadrater, la oss prøve å faktorisere uttrykket $a^4-b^4$
La oss huske hvordan en grad heves til en grad - for dette forblir basen den samme, og eksponentene multipliseres, dvs. $((a^n))^m=a^(n*m)$
Da kan du tenke deg:
$a^4=(((a)^2))^2$
$b^4=(((b)^2))^2$
Dette betyr at uttrykket vårt kan representeres som $a^4-b^4=(((a)^2))^2$-$(((b)^2))^2$
Nå i den første parentesen mottok vi igjen forskjellen av tall, noe som betyr at vi igjen kan faktorisere den som produktet av forskjellen mellom to tall eller uttrykk med summen deres: $a^2-b^2=\left(a-b\right )(a+b)$.
La oss nå beregne produktet av andre og tredje parentes ved å bruke produktregelen for polynomer - multipliser hvert ledd i det første polynomet med hvert ledd i det andre polynomet og legg til resultatet. For å gjøre dette, multipliser først det første leddet i det første polynomet - $a$ - med det første og andre leddet i det andre (med $a^2$ og $b^2$), dvs. vi får $a\cdot a^2+a\cdot b^2$, og deretter multiplisere det andre leddet i det første polynomet -$b$- med det første og andre leddet i det andre polynomet (med $a^2$ og $b^2$), de. vi får $b\cdot a^2 + b\cdot b^2$ og komponerer summen av de resulterende uttrykkene
$\left(a+b\right)\left(a^2+b^2\right)=a\cdot a^2+a\cdot b^2+ b \cdot a^2 + b\cdot b^ 2 = a^3+ab^2+a^2b+b^3$
La oss skrive forskjellen mellom monomer av grad 4, ta hensyn til det beregnede produktet:
$a^4-b^4=(((a)^2))^2$-$(((b)^2))^2=((a)^2-b^2)(a^2) +b^2)$=$\ \venstre(a-b\høyre)(a+b)(a^2+b^2)\ $=
Overgang til forskjellen av uttrykk til 6. potens
Basert på formelen for forskjellen på kvadrater, la oss prøve å faktorisere uttrykket $a^6-b^6$
La oss huske hvordan en grad heves til en grad - for dette forblir basen den samme, og eksponentene multipliseres, dvs. $((a^n))^m=a^(n\cdot m)$
Da kan du tenke deg:
$a^6=(((a)^3))^2$
$b^6=(((b)^3))^2$
Dette betyr at uttrykket vårt kan representeres som $a^6-b^6=(((a)^3))^2-(((b)^3))^2$
I den første parentesen fikk vi forskjellen av terninger av monomer, i den andre summen av terninger av monomer, nå kan vi igjen faktorisere forskjellen av terninger av monomer som produktet av forskjellen mellom to tall med det ufullstendige kvadratet av summen $a^3-b^3=\venstre(a-b\høyre)( a^2+ab+b^2)$
Det opprinnelige uttrykket tar formen
$a^6-b^6=((a)^3-b^3)\venstre(a^3+b^3\høyre)=\venstre(a-b\høyre)(a^2+ab+b^ 2)(a^3+b^3)$
La oss beregne produktet av andre og tredje parentes ved å bruke regelen for produktet av polynomer - multipliser hvert ledd i det første polynomet med hvert ledd i det andre polynomet og legg til resultatet.
$(a^2+ab+b^2)(a^3+b^3)=a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+b^5$
La oss skrive forskjellen mellom monomer av grad 6 under hensyntagen til det beregnede produktet:
$a^6-b^6=((a)^3-b^3)\venstre(a^3+b^3\høyre)=\venstre(a-b\høyre)(a^2+ab+b^ 2)(a^3+b^3)=(a-b)(a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+b^5)$
Faktorisering av kraftforskjeller
La oss analysere formlene for forskjell på terninger, forskjell på $4$ grader, forskjell på $6$ grader
Vi ser at i hver av disse utvidelsene er det en viss analogi, som generaliserer som vi får:
Eksempel 1
Faktoriser $(32x)^(10)-(243y)^(15)$
Løsning: Først, la oss representere hver monomial som en monomial i 5. potens:
\[(32x)^(10)=((2x^2))^5\]\[(243y)^(15)=((3y^3))^5\]
Vi bruker kraftforskjellsformelen
Bilde 1.
I denne artikkelen finner du alt nødvendig informasjon svare på spørsmålet hvordan faktorisere et tall inn i primfaktorer. Først gis en generell idé om dekomponeringen av et tall til primfaktorer, og eksempler på dekomponeringer er gitt. Det følgende viser den kanoniske formen for å dekomponere et tall i primfaktorer. Etter dette er det gitt en algoritme for å dekomponere vilkårlige tall til primfaktorer og eksempler på dekomponerende tall ved bruk av denne algoritmen er gitt. Alternative metoder vurderes også som lar deg raskt faktorisere små heltall inn i primfaktorer ved hjelp av delebarhetstester og multiplikasjonstabeller.
Sidenavigering.
Hva betyr det å faktorisere et tall i primfaktorer?
La oss først se på hva hovedfaktorer er.
Det er klart at siden ordet "faktorer" er til stede i denne frasen, så er det et produkt av noen tall, og det kvalifiserende ordet "enkelt" betyr at hver faktor er et primtall. For eksempel, i et produkt av formen 2·7·7·23 er det fire primfaktorer: 2, 7, 7 og 23.
Hva betyr det å faktorisere et tall i primfaktorer?
Dette betyr at dette tallet må representeres som et produkt av primfaktorer, og verdien av dette produktet må være lik det opprinnelige tallet. Som et eksempel kan du vurdere produktet av tre primtall 2, 3 og 5, det er lik 30, og dermed er dekomponeringen av tallet 30 til primtall 2·3·5. Vanligvis skrives dekomponeringen av et tall til primfaktorer som en likhet i vårt eksempel vil det være slik: 30=2·3·5. Vi understreker særskilt at hovedfaktorer i utvidelsen kan gjentas. Dette er tydelig illustrert av følgende eksempel: 144=2·2·2·2·3·3. Men en representasjon av formen 45=3·15 er ikke en dekomponering til primfaktorer, siden tallet 15 er et sammensatt tall.
Følgende spørsmål oppstår: "Hvilke tall kan dekomponeres i primfaktorer?"
På jakt etter et svar på det presenterer vi følgende resonnement. Primtall er per definisjon blant de som er større enn ett. Tatt i betraktning dette faktum og , kan det hevdes at produktet av flere primfaktorer er et positivt heltall større enn én. Derfor skjer faktorisering til primfaktorer bare for positive heltall som er større enn 1.
Men kan alle heltall større enn ett tas med i primfaktorer?
Det er klart at det ikke er mulig å faktorisere enkle heltall inn i primfaktorer. Dette er fordi primtall bare har to positive faktorer - en og seg selv, så de kan ikke representeres som produktet av to eller flere primtall. Hvis heltall z kunne representeres som produktet av primtall a og b, ville begrepet delbarhet tillate oss å konkludere med at z er delelig med både a og b, noe som er umulig på grunn av enkelheten til tallet z. Imidlertid tror de at ethvert primtall i seg selv er en nedbrytning.
Hva med sammensatte tall? Bretter de seg ut? sammensatte tall inn i primfaktorer, og er alle sammensatte tall utsatt for slik dekomponering? Aritmetikkens grunnleggende teorem gir et bekreftende svar på en rekke av disse spørsmålene. Grunnsetningen for aritmetikk sier at ethvert heltall a som er større enn 1 kan dekomponeres til produktet av primfaktorer p 1, p 2, ..., p n, og dekomponeringen har formen a = p 1 · p 2 · … · p n, og denne utvidelsen er unik, hvis du ikke tar hensyn til rekkefølgen på faktorene
Kanonisk faktorisering av et tall til primfaktorer
Ved utvidelse av et tall kan primfaktorer gjentas. Repeterende primfaktorer kan skrives mer kompakt ved å bruke . La i dekomponeringen av et tall primfaktoren p 1 forekomme s 1 ganger, primfaktoren p 2 – s 2 ganger, og så videre, p n – s n ganger. Da kan primfaktoriseringen av tallet a skrives som a=p 1 s 1 ·p 2 s 2 ·…·p n s n. Denne formen for opptak er den såkalte kanonisk faktorisering av et tall til primfaktorer.
La oss gi et eksempel på kanonisk dekomponering av et tall til primfaktorer. Gi oss beskjed om nedbrytningen 609 840=2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, dens kanoniske notasjon har formen 609 840=2 4 3 2 5 7 11 2.
Den kanoniske faktoriseringen av et tall til primfaktorer lar deg finne alle divisorene til tallet og antall divisorer av tallet.
Algoritme for å faktorisere et tall i primfaktorer
For å lykkes med oppgaven med å dekomponere et tall til primtall, må du ha svært god kunnskap om informasjonen i artikkelen primtall og sammensatte tall.
Essensen av prosessen med å dekomponere et positivt heltall a som overstiger ett er klart fra beviset for aritmetikkens grunnleggende teorem. Poenget er å sekvensielt finne de minste primdivisorene p 1, p 2, ..., p n av tallene a, a 1, a 2, ..., a n-1, som lar oss oppnå en serie likheter a=p 1 ·a 1, hvor a 1 = a:p 1, a=p 1 ·a 1 =p 1 ·p 2 ·a 2, hvor a 2 =a 1:p 2, …, a=p 1 ·p 2 ·…·p n ·a n, hvor a n =a n-1:p n . Når det viser seg at a n =1, så vil likheten a=p 1 ·p 2 ·…·p n gi oss ønsket dekomponering av tallet a til primfaktorer. Det skal også her bemerkes at p 1 ≤p 2 ≤p 3 ≤…≤p n.
Det gjenstår å finne ut hvordan man finner de minste primfaktorene ved hvert trinn, og vi vil ha en algoritme for å dekomponere et tall til primfaktorer. En tabell med primtall vil hjelpe oss å finne primtall. La oss vise hvordan du bruker den for å få den minste primtall divisor av tallet z.
Vi tar sekvensielt primtall fra tabellen med primtall (2, 3, 5, 7, 11, og så videre) og deler det gitte tallet z med dem. Det første primtallet som z er jevnt delt med vil være dens minste primtallsdeler. Hvis tallet z er primtall, vil dets minste primtallsdeler være tallet z selv. Det bør også huskes her at hvis z ikke er det primtall, så overskrider ikke dens minste primtallsdivisor tallet , hvor er fra z. Så hvis blant primtallene som ikke overstiger , var det ikke en eneste divisor av tallet z, så kan vi konkludere med at z er et primtall (mer om dette er skrevet i teoridelen under overskriften Dette tallet er primtall eller sammensatt ).
Som et eksempel vil vi vise hvordan du finner den minste primtallsdeleren av tallet 87. La oss ta nummer 2. Del 87 med 2, vi får 87:2=43 (resterende 1) (om nødvendig, se artikkel). Det vil si at når man deler 87 med 2, er resten 1, så 2 er ikke en divisor av tallet 87. Vi tar neste primtall fra primtallstabellen, dette er tallet 3. Del 87 med 3, vi får 87:3=29. Dermed er 87 delelig med 3, derfor er tallet 3 den minste primtallsdeleren av tallet 87.
Merk at i det generelle tilfellet, for å faktorisere et tall a til primtall, trenger vi en tabell med primtall opp til et tall som ikke er mindre enn . Vi må referere til denne tabellen ved hvert trinn, så vi må ha den for hånden. For eksempel, for å faktorisere tallet 95 til primtall, trenger vi bare en tabell med primtall opp til 10 (siden 10 er større enn ). Og for å dekomponere tallet 846 653, trenger du allerede en tabell med primtall opp til 1000 (siden 1000 er større enn ).
Vi har nå nok informasjon til å skrive ned algoritme for å faktorisere et tall i primfaktorer. Algoritmen for å dekomponere tallet a er som følger:
- Ved å sortere sekvensielt gjennom tallene fra tabellen med primtall finner vi den minste primtallsdivisoren p 1 av tallet a, hvoretter vi beregner a 1 =a:p 1. Hvis a 1 =1, så er tallet a primtall, og det er i seg selv dets dekomponering til primfaktorer. Hvis a 1 ikke er lik 1, så har vi a=p 1 ·a 1 og går videre til neste trinn.
- Vi finner den minste primtallsdivisoren p 2 av tallet a 1 , for å gjøre dette sorterer vi sekvensielt gjennom tallene fra tabellen over primtall, starter med p 1 , og beregner deretter a 2 =a 1:p 2 . Hvis a 2 =1, har den nødvendige dekomponeringen av tallet a til primfaktorer formen a=p 1 ·p 2. Hvis a 2 ikke er lik 1, så har vi a=p 1 ·p 2 ·a 2 og går videre til neste trinn.
- Går vi gjennom tallene fra tabellen med primtall, starter med p 2, finner vi den minste primtallsdivisoren p 3 av tallet a 2, hvoretter vi beregner a 3 =a 2:p 3. Hvis a 3 =1, har den nødvendige dekomponeringen av tallet a til primfaktorer formen a=p 1 ·p 2 ·p 3. Hvis en 3 ikke er lik 1, så har vi a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3 og går videre til neste trinn.
- Vi finner den minste primtall divisor p n av tallet a n-1 ved å sortere gjennom primtallene, starter med p n-1, samt a n =a n-1:p n, og a n er lik 1. Dette trinnet er det siste trinnet i algoritmen; her får vi den nødvendige dekomponeringen av tallet a til primfaktorer: a=p 1 ·p 2 ·…·p n.
For klarhets skyld presenteres alle resultatene oppnådd ved hvert trinn i algoritmen for å dekomponere et tall i primfaktorer i form av følgende tabell, der tallene a, a 1, a 2, ..., a n er skrevet sekvensielt. i en kolonne til venstre for den vertikale linjen, og til høyre for linjen - de tilsvarende minste primdelere p 1, p 2, ..., p n.
Alt som gjenstår er å vurdere noen få eksempler på bruken av den resulterende algoritmen for å dekomponere tall i primfaktorer.
Eksempler på primfaktorisering
Nå skal vi se i detalj eksempler på faktorisering av tall til primfaktorer. Ved dekomponering vil vi bruke algoritmen fra forrige avsnitt. La oss starte med enkle tilfeller, og gradvis komplisere dem for å møte alle mulige nyanser som oppstår når de dekomponerer tall til primfaktorer.
Eksempel.
Faktor tallet 78 inn i primfaktorene.
Løsning.
Vi begynner letingen etter den første minste primtall divisor p 1 av tallet a=78. For å gjøre dette begynner vi å sekvensielt sortere gjennom primtall fra tabellen med primtall. Vi tar tallet 2 og deler 78 på det, vi får 78:2=39. Tallet 78 er delt på 2 uten en rest, så p 1 =2 er den første funnet primtallsdivisoren av tallet 78. I dette tilfellet, a 1 =a:p 1 =78:2=39. Så vi kommer til likheten a=p 1 ·a 1 med formen 78=2·39. Åpenbart er en 1 =39 forskjellig fra 1, så vi går videre til det andre trinnet i algoritmen.
Nå ser vi etter den minste primtall divisor p 2 av tallet a 1 =39. Vi begynner å telle opp tall fra tabellen med primtall, og starter med p 1 =2. Del 39 med 2, vi får 39:2=19 (rest 1). Siden 39 ikke er jevnt delelig med 2, så er ikke 2 en divisor. Så tar vi neste tall fra tabellen med primtall (tall 3) og deler 39 på det, vi får 39:3=13. Derfor er p 2 =3 den minste primtallsdeleren av tallet 39, mens a 2 =a 1:p 2 =39:3=13. Vi har likheten a=p 1 ·p 2 ·a 2 i formen 78=2·3·13. Siden en 2 =13 er forskjellig fra 1, går vi videre til neste trinn i algoritmen.
Her må vi finne den minste primtall divisor av tallet a 2 =13. På leting etter den minste primtallsdivisoren p 3 av tallet 13, vil vi sekvensielt sortere gjennom tallene fra tabellen med primtall, og starter med p 2 =3. Tallet 13 er ikke delelig med 3, siden 13:3=4 (rest. 1), også 13 er ikke delelig med 5, 7 og 11, siden 13:5=2 (rest. 3), 13:7=1 (rest. 6) og 13:11=1 (rest. 2). Det neste primtallet er 13, og 13 er delelig med det uten en rest, derfor er den minste primtallsdeleren p 3 av 13 selve tallet 13, og a 3 =a 2:p 3 =13:13=1. Siden en 3 =1 er dette trinnet i algoritmen det siste, og den nødvendige dekomponeringen av tallet 78 til primfaktorer har formen 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3 ).
Svar:
78=2·3·13.
Eksempel.
Uttrykk tallet 83 006 som et produkt av primfaktorer.
Løsning.
Ved det første trinnet i algoritmen for å dekomponere et tall i primfaktorer finner vi p 1 =2 og a 1 =a:p 1 =83,006:2=41,503, hvorav 83,006=2·41,503.
På det andre trinnet finner vi ut at 2, 3 og 5 ikke er primtallsdelere av tallet a 1 =41.503, men tallet 7 er det, siden 41.503:7=5.929. Vi har p 2 =7, a 2 =a 1:p 2 =41,503:7=5,929. Dermed 83 006=2 7 5 929.
Den minste primtallsdeleren av tallet a 2 =5 929 er tallet 7, siden 5 929:7 = 847. Således, p3 =7, a3 =a 2:p3 =5 929:7 = 847, hvorav 83 006 = 2·7·7·847.
Deretter finner vi at den minste primtall divisor p 4 av tallet a 3 =847 er lik 7. Så a 4 =a 3:p 4 =847:7=121, så 83 006=2·7·7·7·121.
Nå finner vi den minste primtall divisor av tallet a 4 =121, det er tallet p 5 =11 (siden 121 er delelig med 11 og ikke delelig med 7). Så a 5 =a 4:p 5 =121:11=11, og 83 006=2·7·7·7·11·11.
Til slutt er den minste primtall divisor av tallet a 5 =11 tallet p 6 =11. Så a 6 =a 5:p 6 =11:11=1. Siden en 6 =1 er dette trinnet i algoritmen for å dekomponere et tall i primfaktorer det siste, og den ønskede dekomponeringen har formen 83 006 = 2·7·7·7·11·11.
Det oppnådde resultatet kan skrives som den kanoniske dekomponeringen av tallet til primfaktorer 83 006 = 2·7 3 ·11 2.
Svar:
83 006=2 7 7 7 11 11=2 7 3 11 2 991 er et primtall. Den har faktisk ikke en enkelt primtallsdivisor som ikke overstiger ( kan grovt estimeres som , siden det er åpenbart at 991<40 2
), то есть, наименьшим делителем числа 991
является оно само. Тогда p 3 =991
и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1
. Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289
на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991
.
Svar:
897 924 289=937·967·991.
Bruke delebarhetstester for primfaktorisering
I enkle tilfeller kan du dekomponere et tall til primfaktorer uten å bruke dekomponeringsalgoritmen fra første avsnitt i denne artikkelen. Hvis tallene ikke er store, er det ofte nok å kjenne tegnene på delbarhet for å dekomponere dem i primfaktorer. La oss gi eksempler for avklaring.
For eksempel må vi faktorisere tallet 10 inn i primfaktorer. Fra multiplikasjonstabellen vet vi at 2·5=10, og tallene 2 og 5 er åpenbart primtall, så primtallsfaktoriseringen av tallet 10 ser ut som 10=2·5.
Et annet eksempel. Ved å bruke multiplikasjonstabellen vil vi faktorisere tallet 48 til primfaktorer. Vi vet at seks er åtte - førtiåtte, det vil si 48 = 6·8. Imidlertid er verken 6 eller 8 primtall. Men vi vet at to ganger tre er seks, og to ganger fire er åtte, det vil si 6=2·3 og 8=2·4. Så 48=6·8=2·3·2·4. Det gjenstår å huske at to og to er fire, da får vi ønsket dekomponering til primfaktorer 48 = 2·3·2·2·2. La oss skrive denne utvidelsen i kanonisk form: 48=2 4 ·3.
Men når du faktoriserer tallet 3400 i primfaktorer, kan du bruke delebarhetskriteriene. Tegnene på delbarhet med 10, 100 lar oss si at 3400 er delelig med 100, med 3400=34·100, og 100 er delelig med 10, med 100=10·10, derfor 3400=34·10·10. Og basert på testen av delbarhet med 2, kan vi si at hver av faktorene 34, 10 og 10 er delelig med 2, får vi 3 400=34 10 10=2 17 2 5 2 5. Alle faktorer i den resulterende utvidelsen er enkle, så denne utvidelsen er den ønskede. Det gjenstår bare å omorganisere faktorene slik at de går i stigende rekkefølge: 3 400 = 2·2·2·5·5·17. La oss også skrive ned den kanoniske dekomponeringen av dette tallet i primfaktorer: 3 400 = 2 3 ·5 2 ·17.
Når du dekomponerer et gitt tall i primfaktorer, kan du i sin tur bruke både delelighetstegn og multiplikasjonstabellen. La oss forestille oss tallet 75 som et produkt av primfaktorer. Testen av delbarhet med 5 lar oss fastslå at 75 er delelig med 5, og vi får at 75 = 5·15. Og fra multiplikasjonstabellen vet vi at 15=3·5, derfor 75=5·3·5. Dette er den nødvendige dekomponeringen av tallet 75 til primfaktorer.
Bibliografi.
- Vilenkin N.Ya. og andre. 6. klasse: lærebok for allmenne utdanningsinstitusjoner.
- Vinogradov I.M. Grunnleggende om tallteori.
- Mikhelovich Sh.H. Tallteori.
- Kulikov L.Ya. og andre Oppgavesamling i algebra og tallteori: Lærebok for elever i fysikk og matematikk. spesialiteter ved pedagogiske institutter.
