La oss dekomponere tallet 120 til primære faktorer
120 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5
Løsning
La oss utvide tallet 120
120:
2
= 60
60:
2
= 30
- delelig med primtall 2
30:
2
= 15
- delelig med primtall 2
15:
3
=
5
Vi fullfører inndelingen siden 5 er et primtall
Svar: 120 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5
La oss faktorisere tallet 246 inn i primfaktorer
246 = 2 ∙ 3 ∙ 41
Løsning
La oss bryte ned tallet 246 inn i hovedfaktorer og marker dem med grønt. Vi begynner å velge en divisor fra primtall, og starter med det minste primtall 2, til kvotienten viser seg å være et primtall
246:
2
= 123
- delelig med primtall 2
123:
3
=
41
- delelig med primtall 3.
Vi fullfører inndelingen siden 41 er et primtall
Svar: 246 = 2 ∙ 3 ∙ 41
La oss faktorisere tallet 1463 i primfaktorer
1463 = 7 ∙ 11 ∙ 19
Løsning
La oss utvide tallet 1463 inn i hovedfaktorer og marker dem med grønt. Vi begynner å velge en divisor fra primtall, og starter med det minste primtall 2, til kvotienten viser seg å være et primtall
1463:
7
= 209
- delelig med primtall 7
209:
11
=
19
Vi fullfører inndelingen siden 19 er et primtall
Svar: 1463 = 7 ∙ 11 ∙ 19
La oss faktorisere tallet 1268 inn i primfaktorer
1268 = 2 ∙ 2 ∙ 317
Løsning
La oss utvide tallet 1268 inn i hovedfaktorer og marker dem med grønt. Vi begynner å velge en divisor fra primtall, og starter med det minste primtall 2, til kvotienten viser seg å være et primtall
1268:
2
= 634
- delelig med primtall 2
634:
2
=
317
- delelig med primtall 2.
Vi fullfører inndelingen siden 317 er et primtall
Svar: 1268 = 2 ∙ 2 ∙ 317
La oss faktorere tallet 442464 inn i primfaktorer
442464
Løsning
La oss utvide nummeret 442464 inn i hovedfaktorer og marker dem med grønt. Vi begynner å velge en divisor fra primtall, og starter med det minste primtall 2, til kvotienten viser seg å være et primtall
442464:
2
= 221232
- delelig med primtall 2
221232:
2
= 110616
- delelig med primtall 2
110616:
2
= 55308
- delelig med primtall 2
55308:
2
= 27654
- delelig med primtall 2
27654:
2
= 13827
- delelig med primtall 2
13827:
3
= 4609
- delelig med primtall 3
4609:
11
=
419
- er delelig med primtall 11.
Vi fullfører inndelingen siden 419 er et primtall
Svar: 442464 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 419
Hva betyr factoring? Hvordan gjøre det? Hva kan du lære av å faktorisere et tall i primfaktorer? Svarene på disse spørsmålene er illustrert med konkrete eksempler.
Definisjoner:
Et tall som har nøyaktig to forskjellige divisorer kalles primtall.
Et tall som har mer enn to divisorer kalles sammensatt.
Utvide naturlig tallå faktor betyr å representere det som et produkt av naturlige tall.
Å faktorisere et naturlig tall i primtall betyr å representere det som et produkt av primtall.
Merknader:
- I utvidelsen av et primtall, en av faktorene lik en, og den andre - til dette nummeret selv.
- Det gir ingen mening å snakke om faktorisering av enhet.
- Et sammensatt tall kan faktoriseres i faktorer, som hver er forskjellig fra 1.
|
La oss faktorisere tallet 150. For eksempel er 150 15 ganger 10. 15 er et sammensatt tall. Det kan faktoriseres i primfaktorer på 5 og 3. 10 er et sammensatt tall. Det kan faktoriseres i primfaktorer på 5 og 2. Ved å skrive nedbrytningene deres i primfaktorer i stedet for 15 og 10, oppnådde vi dekomponeringen av tallet 150. |
|
|
|
Tallet 150 kan faktoriseres på en annen måte. For eksempel er 150 produktet av tallene 5 og 30. 5 er et primtall. 30 er et sammensatt tall. Det kan tenkes på som produktet av 10 og 3. 10 er et sammensatt tall. Det kan faktoriseres i primfaktorer på 5 og 2. Vi oppnådde faktoriseringen av 150 til primfaktorer på en annen måte. |
|
Merk at den første og andre utvidelsen er den samme. De skiller seg bare i rekkefølgen av faktorene. Det er vanlig å skrive faktorer i stigende rekkefølge. |
|
|
Hvert sammensatt tall kan faktoriseres til primfaktorer på en unik måte, opp til faktorenes rekkefølge. |
|
Under dekomponering store tall For primfaktorer, bruk kolonnenotasjon:
 |
Det minste primtallet som er delelig med 216 er 2. Del 216 med 2. Vi får 108. |
|
Det resulterende tallet 108 er delt på 2. La oss gjøre delingen. Vi får 54 som resultat. |
|
|
I følge testen av delbarhet med 2, er tallet 54 delelig med 2. Etter deling får vi 27. |
|
|
Tallet 27 slutter med oddetallssifferet 7. Den Ikke delelig med 2. Neste primtall er 3. Del 27 med 3. Vi får 9. Minste primtall Tallet som 9 er delelig med er 3. Tre er i seg selv et primtall det er delbart med seg selv og ett. La oss dele 3 med oss selv. Til slutt fikk vi 1. |
|
- Et tall er bare delelig med de primtallene som er en del av dets nedbrytning.
- Et tall er bare delbart i de sammensatte tallene hvis dekomponering i primfaktorer er fullstendig inneholdt i det.
La oss se på eksempler:
|
4900 er delelig med primtallene 2, 5 og 7 (de er inkludert i utvidelsen av tallet 4900), men er ikke delelig med for eksempel 13. |
|
|
11 550 75. Dette er slik fordi dekomponeringen av tallet 75 er fullstendig inneholdt i dekomponeringen av tallet 11550. Resultatet av deling vil være produktet av faktorene 2, 7 og 11. 11550 er ikke delelig med 4 fordi det er en ekstra to i utvidelsen av fire. |
Finn kvotienten for å dele tallet a med tallet b, hvis disse tallene dekomponeres i primfaktorer som følger: a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19
|
Dekomponeringen av tallet b er fullstendig inneholdt i dekomponeringen av tallet a. |
|
|
Resultatet av å dele a med b er produktet av de tre tallene som er igjen i utvidelsen av a. Så svaret er: 30. |
Bibliografi
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematikk 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
- Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematikk 6. klasse. - Gymnastikksal. 2006.
- Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Bak sidene i en lærebok i matematikk. - M.: Utdanning, 1989.
- Rurukin A.N., Tchaikovsky I.V. Oppgaver til matematikkkurset for 5.-6. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
- Rurukin A.N., Sochilov S.V., Tchaikovsky K.G. Matematikk 5-6. En manual for 6. klasseelever ved MEPhI korrespondanseskolen. - M.: ZSh MEPhI, 2011.
- Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematikk: Lærebok-samtaler for 5.-6 videregående skole. - M.: Utdanning, matematikklærerbibliotek, 1989.
- Internettportal Matematika-na.ru ().
- Internettportal Math-portal.ru ().
Hjemmelekser
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematikk 6. - M.: Mnemosyne, 2012. nr. 127, nr. 129, nr. 141.
- Andre oppgaver: nr. 133, nr. 144.
Å faktorisere et stort antall er ikke en lett oppgave. De fleste har problemer med å finne ut fire- eller femsifrede tall. For å gjøre prosessen enklere, skriv tallet over de to kolonnene.
- La oss faktorisere tallet 6552.
Del det gitte tallet med den minste primtallsdivisoren (annet enn 1) som deler det gitte tallet uten å etterlate en rest. Skriv denne divisoren i venstre kolonne, og skriv resultatet av delingen i høyre kolonne. Som nevnt ovenfor, partall lett å faktorisere, siden deres minste primfaktor alltid vil være tallet 2 (oddetall har forskjellige minste primfaktorer).
- I vårt eksempel er 6552 et partall, så 2 er den minste primfaktoren. 6552 ÷ 2 = 3276. Skriv 2 i venstre kolonne og 3276 i høyre kolonne.
Deretter deler du tallet i høyre kolonne med den minste primfaktoren (annet enn 1) som deler tallet uten en rest. Skriv denne divisor i venstre kolonne, og i høyre kolonne skriv resultatet av divisjonen (fortsett denne prosessen til det ikke er 1 igjen i høyre kolonne).
- I vårt eksempel: 3276 ÷ 2 = 1638. Skriv 2 i venstre kolonne, og 1638 i høyre kolonne. Neste: 1638 ÷ 2 = 819. Skriv 2 i venstre kolonne, og 819 i høyre kolonne.
Du har et oddetall; For slike tall er det vanskeligere å finne den minste primtallsdivisoren. Hvis du får et oddetall, prøv å dele det med de minste oddetallene: 3, 5, 7, 11.
- I vårt eksempel fikk du et oddetall 819. Del det med 3: 819 ÷ 3 = 273. Skriv 3 i venstre kolonne og 273 i høyre kolonne.
- Når du velger divisorer, prøv alle primtall opp til kvadratroten av største divisor, som du fant. Hvis ingen divisor deler tallet med en hel, så har du mest sannsynlig et primtall og kan slutte å regne.
Fortsett prosessen med å dele tall med primfaktorer til du sitter igjen med en 1 i høyre kolonne (hvis du får et primtall i høyre kolonne, del det på seg selv for å få 1).
- La oss fortsette beregningene i vårt eksempel:
- Del med 3: 273 ÷ 3 = 91. Det er ingen rest. Skriv 3 i venstre kolonne og 91 i høyre kolonne.
- Del med 3. 91 er delelig med 3 med en rest, så del på 5. 91 er delelig med 5 med en rest, så del med 7: 91 ÷ 7 = 13. Ingen rest. Skriv ned 7 i venstre kolonne og 13 i høyre kolonne.
- Del på 7. 13 er delelig med 7 med en rest, så del på 11. 13 er delelig med 11 med en rest, så del på 13: 13 ÷ 13 = 1. Ingen rest. Skriv 13 i venstre kolonne og 1 i høyre kolonne.
Den venstre kolonnen viser primfaktorene til det opprinnelige tallet. Med andre ord, når du multipliserer alle tallene i venstre kolonne, vil du få tallet skrevet over kolonnene. Hvis den samme faktoren vises mer enn én gang i listen over faktorer, bruk eksponenter for å indikere det. I vårt eksempel vises 2 4 ganger i listen over multiplikatorer; skriv disse faktorene som 2 4 i stedet for 2*2*2*2.
- I vårt eksempel er 6552 = 2 3 × 3 2 × 7 × 13. Du faktoriserte 6552 til primfaktorer (rekkefølgen på faktorene i denne notasjonen spiller ingen rolle).
I denne artikkelen finner du alt nødvendig informasjon svare på spørsmålet hvordan faktorisere et tall inn i primfaktorer. Først gis en generell idé om dekomponeringen av et tall til primfaktorer, og eksempler på dekomponeringer er gitt. Det følgende viser den kanoniske formen for å dekomponere et tall i primfaktorer. Etter dette er det gitt en algoritme for å dekomponere vilkårlige tall til primfaktorer og eksempler på dekomponerende tall ved bruk av denne algoritmen er gitt. Alternative metoder vurderes også som lar deg raskt faktorisere små heltall inn i primfaktorer ved hjelp av delebarhetstester og multiplikasjonstabeller.
Sidenavigering.
Hva betyr det å faktorisere et tall i primfaktorer?
La oss først se på hva hovedfaktorer er.
Det er klart at siden ordet "faktorer" er til stede i denne frasen, så er det et produkt av noen tall, og det kvalifiserende ordet "enkelt" betyr at hver faktor er et primtall. For eksempel, i et produkt av formen 2·7·7·23 er det fire primfaktorer: 2, 7, 7 og 23.
Hva betyr det å faktorisere et tall i primfaktorer?
Dette betyr at dette tallet må representeres som et produkt av primfaktorer, og verdien av dette produktet må være lik det opprinnelige tallet. Som et eksempel kan du vurdere produktet av tre primtall 2, 3 og 5, det er lik 30, og dermed er dekomponeringen av tallet 30 til primtall 2·3·5. Vanligvis skrives dekomponeringen av et tall til primfaktorer som en likhet i vårt eksempel vil det være slik: 30=2·3·5. Vi understreker særskilt at hovedfaktorer i utvidelsen kan gjentas. Dette er tydelig illustrert av følgende eksempel: 144=2·2·2·2·3·3. Men en representasjon av formen 45=3·15 er ikke en dekomponering til primfaktorer, siden tallet 15 er et sammensatt tall.
Følgende spørsmål oppstår: "Hvilke tall kan dekomponeres i primfaktorer?"
På jakt etter et svar på det presenterer vi følgende resonnement. Primtall, per definisjon, er blant de som er større enn én. Tatt i betraktning dette faktum og , kan det hevdes at produktet av flere primfaktorer er et positivt heltall større enn én. Derfor skjer faktorisering til primfaktorer bare for positive heltall som er større enn 1.
Men kan alle heltall større enn ett tas med i primfaktorer?
Det er klart at det ikke er mulig å faktorisere enkle heltall inn i primfaktorer. Dette er fordi primtall bare har to positive faktorer - en og seg selv, så de kan ikke representeres som produktet av to eller flere primtall. Hvis heltall z kunne representeres som produktet av primtall a og b, ville begrepet delbarhet tillate oss å konkludere med at z er delelig med både a og b, noe som er umulig på grunn av enkelheten til tallet z. Imidlertid tror de at ethvert primtall i seg selv er en nedbrytning.
Hva med sammensatte tall? Spaltes sammensatte tall til primfaktorer, og er alle sammensatte tall utsatt for slik dekomponering? Aritmetikkens grunnleggende teorem gir et bekreftende svar på en rekke av disse spørsmålene. Grunnsetningen for aritmetikk sier at ethvert heltall a som er større enn 1 kan dekomponeres til produktet av primfaktorer p 1, p 2, ..., p n, og dekomponeringen har formen a = p 1 · p 2 · … · p n, og denne utvidelsen er unik, hvis du ikke tar hensyn til rekkefølgen på faktorene
Kanonisk faktorisering av et tall til primfaktorer
Ved utvidelse av et tall kan primfaktorer gjentas. Repeterende primfaktorer kan skrives mer kompakt ved å bruke . La i dekomponeringen av et tall primfaktoren p 1 forekomme s 1 ganger, primfaktoren p 2 – s 2 ganger, og så videre, p n – s n ganger. Da kan primfaktoriseringen av tallet a skrives som a=p 1 s 1 ·p 2 s 2 ·…·p n s n. Denne formen for opptak er den såkalte kanonisk faktorisering av et tall til primfaktorer.
La oss gi et eksempel på kanonisk dekomponering av et tall til primfaktorer. Gi oss beskjed om nedbrytningen 609 840=2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, dens kanoniske notasjon har formen 609 840=2 4 3 2 5 7 11 2.
Den kanoniske faktoriseringen av et tall til primfaktorer lar deg finne alle divisorene til tallet og antall divisorer av tallet.
Algoritme for å faktorisere et tall i primfaktorer
For å lykkes med oppgaven med å dekomponere et tall til primtall, må du ha svært god kunnskap om informasjonen i artikkelen primtall og sammensatte tall.
Essensen av prosessen med å dekomponere et positivt heltall a som overstiger ett er klart fra beviset for aritmetikkens grunnleggende teorem. Poenget er å sekvensielt finne de minste primdivisorene p 1, p 2, ..., p n av tallene a, a 1, a 2, ..., a n-1, som lar oss oppnå en serie likheter a=p 1 ·a 1, hvor a 1 = a:p 1, a=p 1 ·a 1 =p 1 ·p 2 ·a 2, hvor a 2 =a 1:p 2, …, a=p 1 ·p 2 ·…·p n ·a n, hvor a n =a n-1:p n . Når det viser seg at a n =1, så vil likheten a=p 1 ·p 2 ·…·p n gi oss ønsket dekomponering av tallet a til primfaktorer. Det skal også her bemerkes at p 1 ≤p 2 ≤p 3 ≤…≤p n.
Det gjenstår å finne ut hvordan man finner de minste primfaktorene ved hvert trinn, og vi vil ha en algoritme for å dekomponere et tall til primfaktorer. En tabell med primtall vil hjelpe oss å finne primtall. La oss vise hvordan du bruker den for å få den minste primtall divisor av tallet z.
Vi tar sekvensielt primtall fra tabellen med primtall (2, 3, 5, 7, 11, og så videre) og deler det gitte tallet z med dem. Det første primtallet som z er jevnt delt med vil være dens minste primtallsdeler. Hvis tallet z er primtall, vil dets minste primtallsdeler være tallet z selv. Det bør huskes her at hvis z ikke er et primtall, så overskrider ikke den minste primtallsdivisor tallet , hvor er fra z. Så hvis blant primtallene som ikke overstiger , var det ikke en eneste divisor av tallet z, så kan vi konkludere med at z er et primtall (mer om dette er skrevet i teoridelen under overskriften Dette tallet er primtall eller sammensatt ).
Som et eksempel skal vi vise hvordan du finner den minste primtallsdeleren av tallet 87. La oss ta nummer 2. Del 87 med 2, vi får 87:2=43 (resterende 1) (om nødvendig, se artikkel). Det vil si at når man deler 87 med 2, er resten 1, så 2 er ikke en divisor av tallet 87. Vi tar neste primtall fra primtallstabellen, dette er tallet 3. Del 87 med 3, vi får 87:3=29. Dermed er 87 delelig med 3, derfor er tallet 3 den minste primtallsdivisoren av tallet 87.
Merk at i generell sak For å faktorisere tallet a til primfaktorer, trenger vi en tabell med primtall opp til et tall som ikke er mindre enn . Vi må referere til denne tabellen ved hvert trinn, så vi må ha den for hånden. For eksempel, for å faktorisere tallet 95 til primtall, trenger vi bare en tabell med primtall opp til 10 (siden 10 er større enn ). Og for å dekomponere tallet 846 653, trenger du allerede en tabell med primtall opp til 1000 (siden 1000 er større enn ).
Vi har nå nok informasjon til å skrive ned algoritme for å faktorisere et tall i primfaktorer. Algoritmen for å dekomponere tallet a er som følger:
- Ved å sortere sekvensielt gjennom tallene fra tabellen med primtall finner vi den minste primtallsdivisoren p 1 av tallet a, hvoretter vi beregner a 1 =a:p 1. Hvis a 1 =1, så er tallet a primtall, og det er i seg selv dets dekomponering til primfaktorer. Hvis a 1 ikke er lik 1, så har vi a=p 1 ·a 1 og går videre til neste trinn.
- Vi finner den minste primtallsdivisoren p 2 av tallet a 1 , for å gjøre dette sorterer vi sekvensielt gjennom tallene fra tabellen med primtall, starter med p 1 , og beregner deretter a 2 =a 1:p 2 . Hvis a 2 =1, har den nødvendige dekomponeringen av tallet a til primfaktorer formen a=p 1 ·p 2. Hvis a 2 ikke er lik 1, så har vi a=p 1 ·p 2 ·a 2 og går videre til neste trinn.
- Går vi gjennom tallene fra tabellen med primtall, starter med p 2, finner vi den minste primtallsdivisoren p 3 av tallet a 2, hvoretter vi beregner a 3 =a 2:p 3. Hvis a 3 =1, har den nødvendige dekomponeringen av tallet a til primfaktorer formen a=p 1 ·p 2 ·p 3. Hvis en 3 ikke er lik 1, så har vi a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3 og går videre til neste trinn.
- Vi finner den minste primtall divisor p n av tallet a n-1 ved å sortere gjennom primtallene, starter med p n-1, samt a n =a n-1:p n, og a n er lik 1. Dette trinnet er det siste trinnet i algoritmen; her får vi den nødvendige dekomponeringen av tallet a til primfaktorer: a=p 1 ·p 2 ·…·p n.
For klarhets skyld presenteres alle resultatene oppnådd ved hvert trinn i algoritmen for å dekomponere et tall i primfaktorer i form av følgende tabell, der tallene a, a 1, a 2, ..., a n er skrevet sekvensielt. i en kolonne til venstre for den vertikale linjen, og til høyre for linjen - de tilsvarende minste primdelere p 1, p 2, ..., p n.
Alt som gjenstår er å vurdere noen få eksempler på bruken av den resulterende algoritmen for å dekomponere tall i primfaktorer.
Eksempler på primfaktorisering
Nå skal vi se i detalj eksempler på faktorisering av tall til primfaktorer. Ved dekomponering vil vi bruke algoritmen fra forrige avsnitt. La oss starte med enkle tilfeller, og gradvis komplisere dem for å møte alle mulige nyanser som oppstår når de dekomponerer tall til primfaktorer.
Eksempel.
Faktor tallet 78 inn i primfaktorene.
Løsning.
Vi begynner letingen etter den første minste primtall divisor p 1 av tallet a=78. For å gjøre dette begynner vi å sekvensielt sortere gjennom primtall fra tabellen med primtall. Vi tar tallet 2 og deler 78 på det, vi får 78:2=39. Tallet 78 deles på 2 uten en rest, så p 1 =2 er den første funnet primtallsdivisoren av tallet 78. I dette tilfellet, a 1 =a:p 1 =78:2=39. Så vi kommer til likheten a=p 1 ·a 1 med formen 78=2·39. Åpenbart er en 1 =39 forskjellig fra 1, så vi går videre til det andre trinnet i algoritmen.
Nå ser vi etter den minste primtall divisor p 2 av tallet a 1 =39. Vi begynner å telle opp tall fra tabellen med primtall, og starter med p 1 =2. Del 39 med 2, vi får 39:2=19 (rest 1). Siden 39 ikke er jevnt delelig med 2, så er ikke 2 en divisor. Så tar vi neste tall fra tabellen med primtall (tall 3) og deler 39 på det, vi får 39:3=13. Derfor er p 2 =3 den minste primtallsdeleren av tallet 39, mens a 2 =a 1:p 2 =39:3=13. Vi har likheten a=p 1 ·p 2 ·a 2 i formen 78=2·3·13. Siden en 2 =13 er forskjellig fra 1, går vi videre til neste trinn i algoritmen.
Her må vi finne den minste primtall divisor av tallet a 2 =13. På leting etter den minste primtallsdivisoren p 3 av tallet 13, vil vi sekvensielt sortere gjennom tallene fra tabellen med primtall, og starter med p 2 =3. Tallet 13 er ikke delelig med 3, siden 13:3=4 (rest. 1), også 13 er ikke delelig med 5, 7 og 11, siden 13:5=2 (rest. 3), 13:7=1 (rest. 6) og 13:11=1 (rest. 2). Det neste primtallet er 13, og 13 er delelig med det uten en rest, derfor er den minste primtallsdeleren p 3 av 13 selve tallet 13, og a 3 =a 2:p 3 =13:13=1. Siden en 3 =1 er dette trinnet i algoritmen det siste, og den nødvendige dekomponeringen av tallet 78 til primfaktorer har formen 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3 ).
Svar:
78=2·3·13.
Eksempel.
Uttrykk tallet 83 006 som et produkt av primfaktorer.
Løsning.
Ved det første trinnet i algoritmen for å dekomponere et tall i primfaktorer finner vi p 1 =2 og a 1 =a:p 1 =83,006:2=41,503, hvorav 83,006=2·41,503.
På det andre trinnet finner vi ut at 2, 3 og 5 ikke er primtallsdelere av tallet a 1 =41.503, men tallet 7 er det, siden 41.503:7=5.929. Vi har p 2 =7, a 2 =a 1:p 2 =41,503:7=5,929. Dermed 83 006=2 7 5 929.
Den minste primtallsdeleren av tallet a 2 =5 929 er tallet 7, siden 5 929:7 = 847. Således, p3 =7, a3 =a 2:p3 =5 929:7 = 847, hvorav 83 006 = 2·7·7·847.
Deretter finner vi at den minste primtall divisor p 4 av tallet a 3 =847 er lik 7. Så a 4 =a 3:p 4 =847:7=121, så 83 006=2·7·7·7·121.
Nå finner vi den minste primtall divisor av tallet a 4 =121, det er tallet p 5 =11 (siden 121 er delelig med 11 og ikke delelig med 7). Så a 5 =a 4:p 5 =121:11=11, og 83 006=2·7·7·7·11·11.
Til slutt er den minste primtall divisor av tallet a 5 =11 tallet p 6 =11. Så a 6 =a 5:p 6 =11:11=1. Siden en 6 =1, er dette trinnet i algoritmen for å dekomponere et tall i primfaktorer det siste, og den ønskede dekomponeringen har formen 83 006 = 2·7·7·7·11·11.
Det oppnådde resultatet kan skrives som den kanoniske dekomponeringen av tallet til primfaktorer 83 006 = 2·7 3 ·11 2.
Svar:
83 006=2 7 7 7 11 11=2 7 3 11 2 991 er et primtall. Den har faktisk ikke en enkelt primtallsdivisor som ikke overstiger ( kan grovt estimeres som , siden det er åpenbart at 991<40 2
), то есть, наименьшим делителем числа 991
является оно само. Тогда p 3 =991
и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1
. Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289
на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991
.
Svar:
897 924 289 = 937 967 991 .
Bruke delebarhetstester for primfaktorisering
I enkle tilfeller kan du dekomponere et tall til primfaktorer uten å bruke dekomponeringsalgoritmen fra første avsnitt i denne artikkelen. Hvis tallene ikke er store, er det ofte nok å kjenne tegnene på delbarhet for å dekomponere dem i primfaktorer. La oss gi eksempler for avklaring.
For eksempel må vi faktorisere tallet 10 inn i primfaktorer. Fra multiplikasjonstabellen vet vi at 2·5=10, og tallene 2 og 5 er åpenbart primtall, så primtallsfaktoriseringen av tallet 10 ser ut som 10=2·5.
Et annet eksempel. Ved å bruke multiplikasjonstabellen vil vi faktorisere tallet 48 til primfaktorer. Vi vet at seks er åtte - førtiåtte, det vil si 48 = 6·8. Imidlertid er verken 6 eller 8 primtall. Men vi vet at to ganger tre er seks, og to ganger fire er åtte, det vil si 6=2·3 og 8=2·4. Så 48=6·8=2·3·2·4. Det gjenstår å huske at to og to er fire, da får vi ønsket dekomponering til primfaktorer 48 = 2·3·2·2·2. La oss skrive denne utvidelsen i kanonisk form: 48=2 4 ·3.
Men når du faktoriserer tallet 3400 i primfaktorer, kan du bruke delebarhetskriteriene. Tegnene på delbarhet med 10, 100 lar oss si at 3400 er delelig med 100, med 3400=34·100, og 100 er delelig med 10, med 100=10·10, derfor 3400=34·10·10. Og basert på testen av delbarhet med 2, kan vi si at hver av faktorene 34, 10 og 10 er delelig med 2, får vi 3 400=34 10 10=2 17 2 5 2 5. Alle faktorer i den resulterende utvidelsen er enkle, så denne utvidelsen er den ønskede. Det gjenstår bare å omorganisere faktorene slik at de går i stigende rekkefølge: 3 400 = 2·2·2·5·5·17. La oss også skrive ned den kanoniske dekomponeringen av dette tallet i primfaktorer: 3 400 = 2 3 ·5 2 ·17.
Når du dekomponerer et gitt tall i primfaktorer, kan du etter tur bruke både delelighetstegn og multiplikasjonstabellen. La oss forestille oss tallet 75 som et produkt av primfaktorer. Testen av delbarhet med 5 lar oss fastslå at 75 er delelig med 5, og vi får at 75 = 5·15. Og fra multiplikasjonstabellen vet vi at 15=3·5, derfor 75=5·3·5. Dette er den nødvendige dekomponeringen av tallet 75 til primfaktorer.
Bibliografi.
- Vilenkin N.Ya. og andre. 6. klasse: lærebok for allmennutdanningsinstitusjoner.
- Vinogradov I.M. Grunnleggende om tallteori.
- Mikhelovich Sh.H. Tallteori.
- Kulikov L.Ya. og andre Oppgavesamling i algebra og tallteori: Lærebok for elever i fysikk og matematikk. spesialiteter ved pedagogiske institutter.
Leksjon i 6. klasse om temaet
"Primtallsfaktorisering"
Leksjonens mål:
Pedagogisk:
Utvikle en forståelse av dekomponering av tall til primfaktorer, evnen til praktisk å bruke den tilsvarende algoritmen.
Å utvikle ferdigheter i å bruke delbarhetstegn ved dekomponering av tall til primfaktorer.
Pedagogisk:
Utvikle beregningsevner, evnen til å generalisere, analysere, identifisere mønstre og sammenligne.
Pedagogisk:
Å dyrke oppmerksomhet, en kultur for matematisk tenkning og en seriøs holdning til pedagogisk arbeid.
Leksjonens innhold:
1. Muntlig telling.
2. Repetisjon av materialet som dekkes.
3. Forklaring av nytt materiale.
4. Feste materialet.
5. Refleksjon.
6. Oppsummering av leksjonen.
I løpet av timene
Motivasjon (selvbestemmelse) for pedagogisk virksomhet.
Introduksjon:
Hei folkens. Temaet for leksjonen vår er "Faktorering av tall i primfaktorer." Du er allerede delvis kjent med det. Og for å bedre sette mål for timen, skal vi jobbe litt muntlig.
Følg trinnene (muntlig) .
Regne ut:
1. 15 x(325 -325) + 236x1 – 30:1 206
2. 207 – (0 x4376 -0:585) + 315: 315 208
3. (60 – 0:60) + (150:1 -48x0) 210
4. (707:707 +211x1):1 -0:123 212
Repetisjon av innlært materiale
Fortsett den resulterende raden for 3 tall
(206; 208;210; 212;214;216;218)
Velg delbare tall fra dem
til: 2 (206; 208; 210; 212; 214; 216; 218)
av 3: (210;216)
klokken 9: (216)
klokken 5: (210)
av 4: (208; 212; 216)
Formuler tegn på delbarhet
Spørsmål: 1. Hvilke tall kalles primtall?
2. Hvilke tall kalles sammensatte?
3. Hva slags tall er 1?
4. Nevn alle primtallene i de to første tiere.
5. Hvor mange primtall er det totalt?
6.Er tallet 32 primtall?
7.Er tallet 73 primtall?
Forklaring av nytt materiale.
La oss løse et veldig interessant problem.
Det var en gang bråk og en bestemor. De hadde kylling Ryaba. Høna legger hvert syvende egg er gull, og hver tredje er sølv. Kan dette være mulig?
(Svar: nei, fordi 21 egg kan være gull eller sølv) Hvorfor?
Hva bør vi lære i klassen i dag? (Dekomponer alle tall i primfaktorer)
Hvorfor tror du vi trenger dette? (for å løse mer komplekse eksempler og også redusere brøker)
I dag vil temaet for leksjonen vår hjelpe oss bedre å forstå og løse slike problemer.
Løs problemet: Du må velge en rektangulær tomt med et areal på 18 kvadratmeter. m., Hva kan dimensjonene til dette området være hvis de må uttrykkes i naturlige tall?
Løsning: 1. 18=1 x 18 = 2 x3 x3
2. 18= 2 x 9 = 2x3x3
3. 18=3 x 6 = 3 x2x 3
Arbeid i par.
Hva har vi gjort? (Presentert som et produkt eller faktorisert). Er det mulig å fortsette nedbrytningen? Men som? Hva fikk du?
Spørsmål: Hva med disse multiplikatorene?
Alle faktorer er primtall.
Åpne læreboken Hva bør jeg gjøre? Hvem kan forklare meg hvordan dette gjøres? (diskusjon i par)
Ved å bruke det analyserte eksemplet vil vi dekomponere tallet 84 til primfaktorer (dekomponeringsalgoritme):
84 2 756 2 - læreren viser på tavlen.
42 2 378 2
21 3 189 3 84 = 2x2∙3∙7 = 2 2 ∙3∙7
7 7 63 3
1 21 3 756= 2x2x3x3x3x3
Faktor tallet 756 inn i primfaktorene. Sammenlign med min løsning. Hva la du merke til?
Finn svaret på følgende spørsmål på side 194?
Et hvilket som helst tall kan utvides til et produkt av primfaktorer
den eneste måten.
Forsterkning av det lærte materialet .
1. Faktorer tallene inn i primfaktorer: 20; 188; 254.
vi sjekker Lysbilde 12
20 2 188 2 254 2
10 2 94 2 127 127
5 5 47 47 1 1
1 1 1
№ 1. 20 = 2 2 ∙5; 188 = 2²∙47; 254 = 2∙127.
Alle får tilbud om kort. Elevene bestemmer seg og sjekker med originalen, som ligger på lærerbordet. Hvis det gjøres riktig, gi deg selv et plusstegn i sammendragstabellen. (Løs med 3)
Kort nr. 2. Faktorer tallene inn i primfaktorer: 30; 136; 438.
Kort nummer 3. Faktorer tallene inn i primfaktorer: 40; 125; 326.
Kort nr. 4. Faktorer tallene inn i primfaktorer: 50; 78; 285.
Kort nr. 5. Faktorer tallene inn i primfaktorer: 60; 654; 99.
Kortnummer 6. Faktorer tallene inn i primfaktorer: 70; 65; 136.
Etter at arbeidet er fullført vil vi sjekke.
№ 2. 30 = 2∙3∙5; 136 = 2 3 ∙17; 438 =2∙3∙73.
№3. 40 = 2 3 ∙5; 125 = 5 3 ; 326 = 2 ∙163
№4. 50 = 2∙5²; 78 = 2∙3∙13; 285 = 3∙5∙9.
№ 5. 60 = 2²∙3∙5; 654 = 2∙3∙109; 99 = 3²∙11
№ 6. 70 = 2∙5∙7; 65 = 5∙13; 136 = 2 3 ∙17.
Bunnlinjen.
Hva betyr det å faktorisere et tall i primfaktorer?
(Å faktorisere et naturlig tall til primtall betyr å representere tallet som et produkt av primtall.)
2) Er det en unik dekomponering av et naturlig tall til primfaktorer?
(Uansett hvordan vi dekomponerer et naturlig tall til primfaktorer, får vi dets eneste dekomponering; rekkefølgen på faktorene tas ikke i betraktning.)
Hjemmelekser.
faktor 4 tall inn i primfaktorer.
