Ved addering legges grader til eller multipliseres. Grad og dens egenskaper

I forrige artikkel forklarte vi hva monomialer er. I dette materialet skal vi se på hvordan man løser eksempler og problemer der de brukes. Her vil vi vurdere slike operasjoner som subtraksjon, addisjon, multiplikasjon, deling av monomer og heve dem til en potens med naturlig indikator. Vi vil vise hvordan slike operasjoner er definert, skissere de grunnleggende reglene for gjennomføringen og hva som bør være resultatet. Alle teoretiske begreper vil som vanlig bli illustrert med eksempler på problemer med beskrivelser av løsninger.

Det er mest praktisk å jobbe med standardnotasjonen for monomialer, så vi presenterer alle uttrykk som vil bli brukt i artikkelen i standardform. Hvis de opprinnelig ble spesifisert annerledes, anbefales det først å bringe dem til en generelt akseptert form.

Regler for å legge til og subtrahere monomialer

Mest enkle trinn som kan gjøres med monomialer er subtraksjon og addisjon. I generell sak resultatet av disse handlingene vil være et polynom (et monomial er mulig i noen spesielle tilfeller).

Når vi legger til eller subtraherer monomer, skriver vi først ned den tilsvarende summen og differansen i den allment aksepterte formen, og forenkler deretter det resulterende uttrykket. Hvis det er lignende termer, må de siteres, og parentesene bør åpnes. La oss forklare med et eksempel.

Eksempel 1

Betingelse: utfør tilsetningen av monomialene − 3 x og 2, 72 x 3 y 5 z.

Løsning

La oss skrive ned summen av de opprinnelige uttrykkene. La oss legge til parenteser og sette et plusstegn mellom dem. Vi får følgende:

(− 3 x) + (2, 72 x 3 y 5 z)

Når vi utvider parentesen, får vi - 3 x + 2, 72 x 3 y 5 z. Dette er et polynom skrevet i standard skjema, som vil være resultatet av å legge til disse monomiene.

Svar:(− 3 x) + (2,72 x 3 y 5 z) = − 3 x + 2,72 x 3 y 5 z.

Hvis vi har tre, fire eller flere terminer, utfører vi denne handlingen på nøyaktig samme måte.

Eksempel 2

Betingelse: utføre de angitte operasjonene med polynomer i riktig rekkefølge

3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

Løsning

La oss starte med å åpne parentesene.

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

Vi ser at det resulterende uttrykket kan forenkles ved å legge til lignende termer:

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = = (3 a 2 + a 2 - 7 a 2) + 4 a c - 2 2 3 a c + 4 9 = = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

Vi har et polynom som vil være resultatet av denne handlingen.

Svar: 3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

I prinsippet kan vi addere og subtrahere to monomialer, med noen begrensninger, slik at vi ender opp med en monomial. For å gjøre dette må du oppfylle noen betingelser angående tillegg og subtraherte monomer. Vi vil fortelle deg hvordan dette gjøres i en egen artikkel.

Regler for multiplisering av monomer

Multiplikasjonshandlingen legger ingen begrensninger på faktorene. Monomialene som multipliseres trenger ikke oppfylle noen tilleggsbetingelser for at resultatet skal bli et monomial.

For å utføre multiplikasjon av monomer, må du følge disse trinnene:

Skriv ned stykket riktig.
Utvid parentesene i det resulterende uttrykket.
Hvis mulig, grupper faktorer med de samme variablene og numeriske faktorer separat.
Utfør de nødvendige operasjonene med tall og bruk egenskapen multiplikasjon av potenser med de samme basene på de gjenværende faktorene.

La oss se hvordan dette gjøres i praksis.

Eksempel 3

Betingelse: multipliser monomialene 2 x 4 y z og - 7 16 t 2 x 2 z 11.

Løsning

La oss starte med å komponere verket.

Vi åpner brakettene i den og får følgende:

2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11

Alt vi trenger å gjøre er å multiplisere tallene i de første parentesene og bruke egenskapen potenser for den andre. Som et resultat får vi følgende:

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11 = - 7 8 t 2 x 4 + 2 y z 3 + 11 = = - 7 8 t 2 x 6 y z 14

Svar: 2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11 = - 7 8 t 2 x 6 y z 14 .

Hvis betingelsen vår inneholder tre eller flere polynomer, multipliserer vi dem med nøyaktig samme algoritme. Vi vil vurdere spørsmålet om å multiplisere monomialer mer detaljert i et eget materiale.

Regler for å heve en monomial til en makt

Vi vet at en potens med en naturlig eksponent er produktet av et visst antall identiske faktorer. Nummeret deres er angitt med nummeret i indikatoren. I henhold til denne definisjonen er det å heve et monomial til en potens ekvivalent med å multiplisere det spesifiserte antallet identiske monomialer. La oss se hvordan det gjøres.

Eksempel 4

Betingelse: heve monomialen − 2 · a · b 4 til potensen 3 .

Løsning

Vi kan erstatte eksponentiering med multiplikasjon av 3 monomialer − 2 · a · b 4 . La oss skrive det ned og få ønsket svar:

(− 2 · a · b 4) 3 = (− 2 · a · b 4) · (− 2 · a · b 4) · (− 2 · a · b 4) = = ((− 2) · (− 2) · (− 2)) · (a · a · a) · (b 4 · b 4 · b 4) = − 8 · a 3 · b 12

Svar:(− 2 · a · b 4) 3 = − 8 · a 3 · b 12 .

Men hva om graden har en stor indikator? Det er upraktisk å registrere et stort antall faktorer. Så, for å løse et slikt problem, må vi bruke egenskapene til en grad, nemlig egenskapen til en produktgrad og egenskapen til en grad innenfor en grad.

La oss løse problemet vi presenterte ovenfor ved å bruke den angitte metoden.

Eksempel 5

Betingelse: heve − 2 · a · b 4 til tredje potens.

Løsning

Når vi kjenner kraft-til-grad-egenskapen, kan vi gå videre til et uttrykk av følgende form:

(− 2 · a · b 4) 3 = (− 2) 3 · a 3 · (b 4) 3 .

Etter dette hever vi til makten - 2 og bruker maktens eiendom på makter:

(− 2) 3 · (a) 3 · (b 4) 3 = − 8 · a 3 · b 4 · 3 = − 8 · a 3 · b 12 .

Svar:− 2 · a · b 4 = − 8 · a 3 · b 12 .

Vi viet også en egen artikkel til å heve en monomial til en makt.

Regler for deling av monomer

Den siste handlingen med monomialer, som vi vil analysere i dette materialet, – deling av en monomial med en monomial. Som et resultat bør vi oppnå en rasjonell (algebraisk) brøk (i noen tilfeller er det mulig å oppnå en monomial). La oss umiddelbart klargjøre at divisjon med null monomial ikke er definert, siden divisjon med 0 ikke er definert.

For å utføre divisjon må vi skrive ned de angitte monomiene i form av en brøk og redusere den, hvis mulig.

Eksempel 6

Betingelse: del monomialet − 9 · x 4 · y 3 · z 7 med − 6 · p 3 · t 5 · x 2 · y 2 .

Løsning

La oss starte med å skrive monomer i brøkform.

9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2

Denne brøkdelen kan reduseres. Etter å ha utført denne handlingen får vi:

3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5

Svar:- 9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2 = 3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5.

Betingelsene som, som et resultat av å dele monomialer, oppnår en monomial, er gitt i en egen artikkel.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

Hvordan multiplisere potenser? Hvilke potenser kan multipliseres og hvilke kan ikke? Hvordan multiplisere et tall med en potens?

I algebra kan du finne et produkt av potenser i to tilfeller:

1) hvis gradene har samme base;

2) hvis gradene har samme indikatorer.

Når du multipliserer potenser med de samme grunnene, må grunntallet være det samme, og eksponentene må legges til:

Når du multipliserer potenser med de samme eksponentene generell indikator kan tas ut av parentes:

La oss se på hvordan du multipliserer potenser med spesifikke eksempler.

Enheten er ikke skrevet i eksponenten, men når du multipliserer potenser, tar de hensyn til:

Når du multipliserer, kan det være et hvilket som helst antall potenser. Det bør huskes at du ikke trenger å skrive multiplikasjonstegnet før bokstaven:

I uttrykk gjøres eksponentisering først.

Hvis du trenger å multiplisere et tall med en potens, bør du først utføre eksponentieringen, og først deretter multiplikasjonen:

www.algebraclass.ru

Addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og deling av potenser

Addisjon og subtraksjon av potenser

Det er åpenbart at tall med potenser kan legges til som andre størrelser , ved å legge dem etter hverandre med deres tegn.

Så summen av a 3 og b 2 er a 3 + b 2.
Summen av a 3 - b n og h 5 -d 4 er a 3 - b n + h 5 - d 4.

Odds like potenser av like variabler kan legges til eller trekkes fra.

Så summen av 2a 2 og 3a 2 er lik 5a 2.

Det er også åpenbart at hvis du tar to ruter a, eller tre ruter a, eller fem ruter a.

Men grader ulike variabler Og ulike grader identiske variabler, må komponeres ved å legge dem til med deres tegn.

Så summen av en 2 og en 3 er summen av en 2 + en 3.

Det er åpenbart at kvadratet av a, og terningen av a, ikke er lik to ganger kvadratet av a, men to ganger terningen av a.

Summen av a 3 b n og 3a 5 b 6 er a 3 b n + 3a 5 b 6.

Subtraksjon krefter utføres på samme måte som addisjon, bortsett fra at tegnene til subtrahendene må endres tilsvarende.

Eller:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3t 2 b 6 — 4t 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Multiplisere potenser

Tall med potenser kan multipliseres, som andre størrelser, ved å skrive dem etter hverandre, med eller uten multiplikasjonstegn mellom dem.

Dermed er resultatet av å multiplisere a 3 med b 2 a 3 b 2 eller aaabb.

Eller:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Resultatet i det siste eksemplet kan bestilles ved å legge til identiske variabler.
Uttrykket vil ha formen: a 5 b 5 y 3.

Ved å sammenligne flere tall (variabler) med potenser, kan vi se at hvis to av dem multipliseres, så er resultatet et tall (variabel) med potens lik beløp grader av termer.

Så, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Her er 5 potensen til multiplikasjonsresultatet, som er lik 2 + 3, summen av potensene til leddene.

Så, a n.a m = a m+n.

For a n tas a som en faktor like mange ganger som potensen til n;

Og en m tas som en faktor like mange ganger som graden m er lik;

Derfor, potenser med samme grunntall kan multipliseres ved å legge til potensens eksponenter.

Så a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Og x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Eller:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Multipliser (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Svar: x 4 - y 4.
Multipliser (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Denne regelen gjelder også for tall hvis eksponenter er negativ.

1. Altså a -2 .a -3 = a -5 . Dette kan skrives som (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n.y-m = y-n-m.

3. a -n .a m = a m-n .

Hvis a + b multipliseres med a - b, blir resultatet a 2 - b 2: altså

Resultatet av å multiplisere summen eller differansen av to tall er lik summen eller differansen av kvadratene deres.

Hvis summen og differansen av to tall hevet til torget, vil resultatet være lik summen eller differansen av disse tallene i fjerde grader.

Så, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Inndeling av grader

Tall med potenser kan deles som andre tall, ved å trekke fra utbyttet, eller ved å plassere dem i brøkform.

Dermed er a 3 b 2 delt på b 2 lik a 3.

Å skrive en 5 delt på en 3 ser ut som $\frac $. Men dette er lik en 2 . I en rekke tall
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
ethvert tall kan deles på et annet, og eksponenten vil være lik forskjell indikatorer på delbare tall.

Når du deler grader med samme grunntall, trekkes eksponentene deres fra..

Så, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Det vil si $\frac = y$.

Og a n+1:a = a n+1-1 = a n . Det vil si $\frac = a^n$.

Eller:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

Regelen gjelder også for tall med negativ verdier av grader.
Resultatet av å dele en -5 med en -3 er en -2.
Også $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 eller $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

Det er nødvendig å mestre multiplikasjon og deling av potenser veldig godt, siden slike operasjoner er veldig mye brukt i algebra.

Eksempler på å løse eksempler med brøker som inneholder tall med potenser

1. Reduser eksponentene med $\frac $ Svar: $\frac $.

2. Reduser eksponenter med $\frac$. Svar: $\frac$ eller 2x.

3. Reduser eksponentene a 2 /a 3 og a -3 /a -4 og kom med til en fellesnevner.
a 2 .a -4 er en -2 den første telleren.
a 3 .a -3 er a 0 = 1, den andre telleren.
a 3 .a -4 er en -1 , den vanlige telleren.
Etter forenkling: a -2 /a -1 og 1/a -1 .

4. Reduser eksponentene 2a 4 /5a 3 og 2 /a 4 og kom med til en fellesnevner.
Svar: 2a 3 /5a 7 og 5a 5 /5a 7 eller 2a 3 /5a 2 og 5/5a 2.

5. Multipliser (a 3 + b)/b 4 med (a - b)/3.

6. Multipliser (a 5 + 1)/x 2 med (b 2 - 1)/(x + a).

7. Multipliser b 4 /a -2 med h -3 /x og a n /y -3 .

8. Del a 4 /y 3 med a 3 /y 2 . Svar: a/y.

Gradens egenskaper

Vi minner deg om at i denne leksjonen vil vi forstå egenskaper til grader med naturlige indikatorer og null. Potenser med rasjonelle eksponenter og deres egenskaper vil bli diskutert i leksjoner for 8. klasse.

En potens med naturlig eksponent har flere viktige egenskaper som gjør at vi kan forenkle beregninger i eksempler med potenser.

Eiendom nr. 1
Produkt av makter

Når potenser multipliseres med de samme grunnene, forblir grunntallet uendret, og potensenes eksponenter adderes.

a m · a n = a m + n, der "a" er et hvilket som helst tall, og "m", "n" er alle naturlige tall.

Denne egenskapen til potenser gjelder også produktet av tre eller flere potenser.

Forenkle uttrykket.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15

Presenter det som en grad.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

Presenter det som en grad.
(0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Vær oppmerksom på at i den spesifiserte egenskapen snakket vi bare om multiplikasjon av potenser med de samme basene. Det gjelder ikke tillegget deres.

Du kan ikke erstatte summen (3 3 + 3 2) med 3 5. Dette er forståelig hvis
beregn (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36, og 3 5 = 243

Eiendom nr. 2
Delgrader

Når du deler potenser med samme grunntall, forblir grunntallet uendret, og eksponenten til divisoren trekkes fra eksponenten til utbyttet.

Skriv kvotienten som en potens
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2

Regne ut.

11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
Eksempel. Løs ligningen. Vi bruker egenskapen til kvotekrefter.
3 8: t = 3 4

Svar: t = 3 4 = 81

Ved å bruke egenskap nr. 1 og nr. 2 kan du enkelt forenkle uttrykk og utføre beregninger.

Eksempel. Finn verdien av et uttrykk ved å bruke egenskapene til eksponenter.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Vær oppmerksom på at i Eiendom 2 snakket vi kun om å dele potenser med samme grunnlag.

Du kan ikke erstatte differansen (4 3 −4 2) med 4 1. Dette er forståelig hvis du regner ut (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48, og 4 1 = 4

Eiendom nr. 3
Å heve en grad til en makt

Når du hever en grad til en potens, forblir basisen til graden uendret, og eksponentene multipliseres.

(a n) m = a n · m, der "a" er et hvilket som helst tall, og "m", "n" er alle naturlige tall.

Vær oppmerksom på at egenskap nr. 4, i likhet med andre egenskaper for grader, også brukes i omvendt rekkefølge.

(a n b n)= (a b) n

Det vil si at for å multiplisere potenser med de samme eksponentene, kan du multiplisere basene, men la eksponenten være uendret.

Eksempel. Regne ut.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000

Eksempel. Regne ut.
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

I mer komplekse eksempler Det kan være tilfeller hvor multiplikasjon og divisjon må utføres over potenser med forskjellige grunner og forskjellige indikatorer. I dette tilfellet anbefaler vi deg å gjøre følgende.

For eksempel, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Et eksempel på å heve en desimal til en potens.

4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

Egenskaper 5
Kraften til en kvotient (brøk)

For å heve en kvotient til en potens, kan du heve utbyttet og divisoren separat til denne potensen, og dele det første resultatet med det andre.

(a: b) n = a n: b n, hvor "a", "b" er alle rasjonelle tall, b ≠ 0, n - et hvilket som helst naturlig tall.

Eksempel. Presenter uttrykket som en maktkvotient.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Vi minner om at en kvotient kan representeres som en brøk. Derfor vil vi dvele ved temaet å heve en brøk til en potens mer detaljert på neste side.

Krafter og røtter

Operasjoner med krefter og røtter. Grad med negativ ,

null og brøk indikator. Om uttrykk som ikke har noen betydning.

Operasjoner med grader.

1. Når potenser multipliseres med samme grunntall, legges deres eksponenter til:

en m · a n = a m + n .

2. Når du deler grader med samme base, deres eksponenter er trukket fra .

3. Graden av produktet av to eller flere faktorer er lik produktet av gradene av disse faktorene.

4. Graden av et forholdstall (brøk) er lik forholdet mellom gradene av utbytte (teller) og divisor (nevner):

(a/b) n = a n/b n .

5. Når du hever en potens til en potens, multipliseres eksponentene deres:

Alle formlene ovenfor leses og utføres i begge retninger fra venstre til høyre og omvendt.

EKSEMPEL (2 3 5 / 15)² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

Operasjoner med røtter. I alle formlene nedenfor betyr symbolet aritmetisk rot(det radikale uttrykket er positivt).

1. Roten til produktet av flere faktorer er lik produktet av røttene til disse faktorene:

2. Roten av et forholdstall er lik forholdet mellom røttene til utbyttet og divisoren:

3. Når du hever en rot til en makt, er det nok å heve til denne makten radikalt tall:

4. Hvis du øker graden av roten med m ganger og samtidig hever det radikale tallet til mth potens, vil verdien av roten ikke endres:

5. Hvis du reduserer graden av roten med m ganger og samtidig trekker ut månedsroten av radikaltallet, vil verdien av roten ikke endres:

Utvide gradsbegrepet. Så langt har vi vurdert grader kun med naturlige eksponenter; men operasjoner med krefter og røtter kan også føre til negativ, null Og brøkdel indikatorer. Alle disse eksponentene krever ytterligere definisjon.

En grad med negativ eksponent. Potensen til et visst tall med en negativ (heltalls) eksponent er definert som en dividert med potensen til samme tall med en eksponent lik den absolutte verdien av den negative eksponenten:

Nå formelen en m : en n = a m - n kan brukes ikke bare til m, mer enn n, men også med m, mindre enn n .

EKSEMPEL en 4: en 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

Hvis vi vil ha formelen en m : en n = en m — n var rettferdig når m = n, trenger vi en definisjon av grad null.

En grad med nullindeks. Potensen til ethvert tall som ikke er null med eksponent null er 1.

EKSEMPLER. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Grad med en brøkeksponent. For å heve et reelt tall a til potensen m / n, må du trekke ut den n-te roten av m-potensen til dette tallet a:

Om uttrykk som ikke har noen betydning. Det finnes flere slike uttrykk.

Hvor en ≠ 0 , eksisterer ikke.

Faktisk, hvis vi antar det x er et visst tall, så har vi i samsvar med definisjonen av divisjonsoperasjonen: en = 0· x, dvs. en= 0, som motsier betingelsen: en ≠ 0

— hvilket som helst tall.

Faktisk, hvis vi antar at dette uttrykket er lik et eller annet tall x, så har vi i henhold til definisjonen av divisjonsoperasjonen: 0 = 0 · x. Men denne likheten oppstår når et hvilket som helst tall x, som var det som måtte bevises.

0 0 — hvilket som helst tall.

Løsning La oss vurdere tre hovedsaker:

1) x = 0 – denne verdien tilfredsstiller ikke denne ligningen

2) når x> 0 får vi: x/x= 1, dvs. 1 = 1, som betyr

Hva x– et hvilket som helst tall; men tatt i betraktning det i

i vårt tilfelle x> 0 , er svaret x > 0 ;

Regler for å multiplisere potenser med forskjellige baser

GRAD MED RASJONELL INDIKATOR,

STRØMFUNKSJON IV

§ 69. Multiplikasjon og deling av potenser med samme grunntall

Teorem 1. For å multiplisere potenser med de samme grunnene, er det nok å legge til eksponentene og la grunntallet være det samme, dvs.

Bevis. Etter definisjon av grad

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

Vi så på produktet av to potenser. Faktisk er den påviste egenskapen sann for et hvilket som helst antall krefter med samme baser.

Teorem 2. For å dele potenser med samme grunnlag, når indeksen til utbyttet er større enn indeksen til divisor, er det nok å trekke indeksen til divisor fra indeksen for utbytte, og la grunnlaget være det samme, dvs. på t > s

(en =/= 0)

Bevis. Husk at kvotienten for å dele ett tall med et annet er tallet som, multiplisert med divisoren, gir utbyttet. Bevis derfor formelen hvor en =/= 0, det er det samme som å bevise formelen

Hvis t > s , deretter nummeret t - s vil være naturlig; derfor ved teorem 1

Teorem 2 er bevist.

Det skal bemerkes at formelen

vi har bevist det bare under antagelsen om at t > s . Derfor, fra det som er bevist, er det ennå ikke mulig å trekke for eksempel følgende konklusjoner:

I tillegg har vi ennå ikke vurdert grader med negative eksponenter, og vi vet ennå ikke hvilken betydning som kan gis til uttrykk 3 - 2 .

Teorem 3. For å heve en grad til en potens, er det nok å multiplisere eksponentene, slik at bunnen av graden er den samme, det er

Bevis. Ved å bruke definisjonen av grad og teorem 1 i denne delen får vi:

Q.E.D.

For eksempel, (2 3) 2 = 2 6 = 64;

518 (Muntlig) Bestem X fra ligningene:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .

519. (Sett nr.) Forenkle:

520. (Sett nr.) Forenkle:

521. Presenter disse uttrykkene i form av grader med samme grunnlag:

1) 32 og 64; 3) 8 5 og 16 3; 5) 4 100 og 32 50;

2) -1000 og 100; 4) -27 og -243; 6) 81 75 8 200 og 3 600 4 150.

Hvis vi ignorerer åttende potens, hva ser vi her? La oss huske programmet for 7. klasse. Så, husker du? Dette er formelen for forkortet multiplikasjon, nemlig forskjellen på kvadrater! Vi får:

La oss se nøye på nevneren. Det ser mye ut som en av tellerfaktorene, men hva er galt? Rekkefølgen på begrepene er feil. Hvis de ble omvendt, kan regelen gjelde.

Men hvordan gjøre det? Det viser seg at det er veldig enkelt: den jevne graden av nevneren hjelper oss her.

På magisk vis endret begrepene plass. Dette "fenomenet" gjelder alle uttrykk i jevn grad: vi kan enkelt endre tegnene i parentes.

Men det er viktig å huske: alle tegn endres samtidig!

La oss gå tilbake til eksemplet:

Og igjen formelen:

Hel vi kaller de naturlige tallene, deres motsetninger (det vil si tatt med tegnet " ") og tallet.

positivt heltall, og det er ikke forskjellig fra naturlig, så ser alt ut akkurat som i forrige seksjon.

La oss nå se på nye saker. La oss starte med en indikator lik.

Ethvert tall i null potens er lik en:

Som alltid, la oss spørre oss selv: hvorfor er det slik?

La oss vurdere en viss grad med en base. Ta for eksempel og multipliser med:

Så vi multipliserte tallet med, og vi fikk det samme som det var - . Hvilket tall skal du gange med slik at ingenting endres? Det stemmer, på. Midler.

Vi kan gjøre det samme med et vilkårlig tall:

La oss gjenta regelen:

Ethvert tall i null potens er lik en.

Men det finnes unntak fra mange regler. Og her er det også der - dette er et tall (som en base).

På den ene siden må det være lik i hvilken som helst grad - uansett hvor mye du multipliserer null med seg selv, vil du fortsatt få null, dette er klart. Men på den annen side, som et hvilket som helst tall til null potens, må det være likt. Så hvor mye av dette er sant? Matematikerne bestemte seg for ikke å bli involvert og nektet å heve null til null potens. Det vil si at nå kan vi ikke bare dele med null, men også heve den til null potens.

La oss gå videre. I tillegg til naturlige tall og tall inkluderer heltall også negative tall. For å forstå hva en negativ potens er, la oss gjøre som forrige gang: multiplisere et normalt tall med det samme tallet til en negativ potens:

Herfra er det enkelt å uttrykke hva du leter etter:

La oss nå utvide den resulterende regelen til en vilkårlig grad:

Så la oss formulere en regel:

Et tall med negativ potens er det gjensidige av det samme tallet med positiv potens. Men samtidig Basen kan ikke være null:(fordi du ikke kan dele med).

La oss oppsummere:

I. Uttrykket er ikke definert i saken. Hvis da.

II. Ethvert tall i nullpotens er lik én: .

III. Nummer, ikke lik null, i negativ grad er inversen av samme tall i positiv grad: .

Oppgaver for selvstendig løsning:

Vel, som vanlig, eksempler på uavhengige løsninger:

Analyse av problemer for uavhengig løsning:

Jeg vet, jeg vet, tallene er skumle, men på Unified State-eksamenen må du være forberedt på hva som helst! Løs disse eksemplene eller analyser løsningene deres hvis du ikke kunne løse dem, og du vil lære å takle dem enkelt i eksamen!

La oss fortsette å utvide rekkevidden av tall "egnet" som eksponent.

La oss nå vurdere rasjonelle tall. Hvilke tall kalles rasjonelle?

Svar: alt som kan representeres som en brøk, hvor og er heltall, og.

For å forstå hva det er "brøkdel grad", tenk på brøken:

La oss heve begge sider av ligningen til en potens:

La oss nå huske regelen om "grad til grad":

Hvilket tall må heves til en makt for å få?

Denne formuleringen er definisjonen av roten til th grad.

La meg minne deg på: roten av den te potensen til et tall () er et tall som, når det heves til en potens, er lik.

Det vil si at roten til th potens er den omvendte operasjonen av å heve til en potens: .

Det viser seg at. Tydeligvis dette spesielt tilfelle kan utvides: .

Nå legger vi til telleren: hva er det? Svaret er enkelt å få ved å bruke makt-til-kraft-regelen:

Men kan basen være et hvilket som helst tall? Tross alt kan ikke roten trekkes ut fra alle tall.

Ingen!

La oss huske regelen: ethvert tall hevet til en partall er et positivt tall. Det vil si at det er umulig å trekke ut jevne røtter fra negative tall!

Dette betyr at slike tall ikke kan heves til en brøkpotens med en jevn nevner, det vil si at uttrykket ikke gir mening.

Hva med uttrykket?

Men her oppstår et problem.

Tallet kan representeres i form av andre, reduserbare brøker, for eksempel, eller.

Og det viser seg at det eksisterer, men ikke eksisterer, men dette er bare to forskjellige poster med samme nummer.

Eller et annet eksempel: en gang, så kan du skrive det ned. Men hvis vi skriver ned indikatoren annerledes, vil vi igjen få problemer: (det vil si at vi fikk et helt annet resultat!).

For å unngå slike paradokser, vurderer vi bare positiv baseeksponent med brøkeksponent.

Så hvis:

- naturlig tall;
- heltall;

Eksempler:

Rasjonelle eksponenter er veldig nyttige for å transformere uttrykk med røtter, for eksempel:

5 eksempler å øve på

Analyse av 5 eksempler for trening

1. Ikke glem de vanlige egenskapene til grader:

2. . Her husker vi at vi glemte å lære oss gradertabellen:

tross alt - dette er eller. Løsningen blir funnet automatisk: .

Vel, nå kommer den vanskeligste delen. Nå skal vi finne ut av det grad med irrasjonell eksponent.

Alle reglene og egenskapene til grader her er nøyaktig de samme som for en grad med en rasjonell eksponent, med unntak

Tross alt, per definisjon, er irrasjonelle tall tall som ikke kan representeres som en brøk, hvor og er heltall (det vil si at irrasjonelle tall er alle reelle tall unntatt rasjonelle).

Når vi studerer grader med naturlige, heltalls og rasjonelle eksponenter, skapte vi hver gang et bestemt "bilde", "analogi" eller beskrivelse i mer kjente termer.

For eksempel er en grad med en naturlig eksponent et tall multiplisert med seg selv flere ganger;

...tall til null potens- dette er som det var et tall multiplisert med seg selv en gang, det vil si at de ennå ikke har begynt å multiplisere det, noe som betyr at selve tallet ikke en gang har dukket opp ennå - derfor er resultatet bare et visst "tomt tall" , nemlig et tall;

...negativ heltallsgrad- det er som om noe har skjedd" omvendt prosess", det vil si at tallet ikke ble multiplisert med seg selv, men delt.

Forresten, i vitenskapen brukes ofte en grad med en kompleks eksponent, det vil si at eksponenten ikke engang er et reelt tall.

Men på skolen tenker vi ikke på slike vanskeligheter, du vil ha muligheten til å forstå disse nye konseptene ved instituttet.

HVOR ER VI SIKRE AT DU GÅR! (hvis du lærer å løse slike eksempler :))

For eksempel:

Bestem selv:

Analyse av løsninger:

1. La oss starte med den vanlige regelen for å heve en makt til en makt:

Se nå på indikatoren. Minner han deg ikke om noe? La oss huske formelen for forkortet multiplikasjon av forskjellen av kvadrater:

I dette tilfellet,

Det viser seg at:

Svar: .

2. Vi reduserer brøker i eksponenter til samme form: enten begge desimaler eller begge ordinære. Vi får for eksempel:

Svar: 16

3. Ikke noe spesielt, vi bruker de vanlige egenskapene til grader:

AVANSERT NIVÅ

Fastsettelse av grad

En grad er et uttrykk for formen: , hvor:

— grad base;
- eksponent.

Grad med naturlig indikator (n = 1, 2, 3,...)

Å heve et tall til den naturlige potensen n betyr å multiplisere tallet med seg selv ganger:

Grad med en heltallseksponent (0, ±1, ±2,...)

Hvis eksponenten er positivt heltall Antall:

Konstruksjon til null grad:

Uttrykket er ubestemt, fordi på den ene siden, i en hvilken som helst grad er dette, og på den annen side, et hvilket som helst tall i den th grad er dette.

Hvis eksponenten er negativt heltall Antall:

(fordi du ikke kan dele med).

Nok en gang om nuller: uttrykket er ikke definert i kasus. Hvis da.

Eksempler:

Kraft med rasjonell eksponent

- naturlig tall;
- heltall;

Eksempler:

Egenskaper til grader

For å gjøre det lettere å løse problemer, la oss prøve å forstå: hvor kom disse egenskapene fra? La oss bevise dem.

La oss se: hva er og?

A-priory:

Så på høyre side av dette uttrykket får vi følgende produkt:

Men per definisjon er det en potens av et tall med en eksponent, det vil si:

Q.E.D.

Eksempel : Forenkle uttrykket.

Løsning : .

Eksempel : Forenkle uttrykket.

Løsning : Det er viktig å merke seg at i vår regel Nødvendigvis det må være de samme grunnene. Derfor kombinerer vi kreftene med basen, men det er fortsatt en egen faktor:

En annen viktig merknad: denne regelen - bare for produkt av makter!

Du kan ikke under noen omstendigheter skrive det.

Akkurat som med den forrige egenskapen, la oss gå til definisjonen av grad:

La oss omgruppere dette arbeidet slik:

Det viser seg at uttrykket multipliseres med seg selv ganger, det vil si, i henhold til definisjonen, er dette den tredje potensen til tallet:

I hovedsak kan dette kalles "å ta indikatoren ut av parentes." Men du kan aldri gjøre dette totalt: !

La oss huske de forkortede multiplikasjonsformlene: hvor mange ganger ønsket vi å skrive? Men dette er tross alt ikke sant.

Kraft med negativ base.

Til nå har vi bare diskutert hvordan det skal være indeks grader. Men hva skal ligge til grunn? I kraft av naturlig indikator grunnlaget kan være hvilket som helst tall .

Faktisk kan vi multiplisere alle tall med hverandre, enten de er positive, negative eller partall. La oss tenke på hvilke tegn ("" eller "") som vil ha kraften til positive og negative tall?

For eksempel, er tallet positivt eller negativt? EN? ?

Med den første er alt klart: uansett hvor mange positive tall vi multipliserer med hverandre, vil resultatet være positivt.

Men de negative er litt mer interessante. Vi husker den enkle regelen fra 6. klasse: "minus for minus gir et pluss." Det vil si eller. Men hvis vi multipliserer med (), får vi - .

Og så videre i det uendelige: med hver påfølgende multiplikasjon vil tegnet endres. Vi kan formulere følgende enkle regler:

til og med grad, - antall positivt.
Negativt tall hevet til merkelig grad, - antall negativ.
Et positivt tall i en hvilken som helst grad er et positivt tall.
Null til enhver potens er lik null.

Bestem selv hvilket tegn følgende uttrykk vil ha:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Klarte du deg? Her er svarene:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

I de fire første eksemplene håper jeg at alt er klart? Vi ser ganske enkelt på basen og eksponenten og bruker den passende regelen.

I eksempel 5) er ikke alt så skummelt som det ser ut til: tross alt spiller det ingen rolle hva basen er lik - graden er jevn, noe som betyr at resultatet alltid vil være positivt. Vel, bortsett fra når basen er null. Grunnlaget er ikke likt, er det? Åpenbart ikke, siden (fordi).

Eksempel 6) er ikke lenger så enkelt. Her må du finne ut hva som er mindre: eller? Hvis vi husker det, blir det klart det, som betyr at basen er mindre enn null. Det vil si at vi bruker regel 2: resultatet blir negativt.

Og igjen bruker vi definisjonen av grad:

Alt er som vanlig - vi skriver ned definisjonen av grader og deler dem på hverandre, deler dem i par og får:

Før vi ser på den siste regelen, la oss løse noen eksempler.

Regn ut uttrykkene:

Løsninger :

Hvis vi ignorerer åttende potens, hva ser vi her? La oss huske programmet for 7. klasse. Så, husker du? Dette er formelen for forkortet multiplikasjon, nemlig forskjellen på kvadrater!

Vi får:

La oss se nøye på nevneren. Det ser mye ut som en av tellerfaktorene, men hva er galt? Rekkefølgen på begrepene er feil. Hvis de ble omvendt, kunne regel 3 gjelde. Det viser seg at det er veldig enkelt: den jevne graden av nevneren hjelper oss her.

Hvis du ganger det med, endres ingenting, ikke sant? Men nå blir det slik:

På magisk vis endret begrepene plass. Dette "fenomenet" gjelder alle uttrykk i jevn grad: vi kan enkelt endre tegnene i parentes. Men det er viktig å huske: Alle tegn endres samtidig! Du kan ikke erstatte den med ved å endre bare én ulempe vi ikke liker!

La oss gå tilbake til eksemplet:

Og igjen formelen:

Så nå siste regel:

Hvordan skal vi bevise det? Selvfølgelig, som vanlig: la oss utvide begrepet grad og forenkle det:

Vel, la oss nå åpne parentesene. Hvor mange bokstaver er det totalt? ganger med multiplikatorer - hva minner dette deg om? Dette er ikke annet enn en definisjon av en operasjon multiplikasjon: Det var bare multiplikatorer der. Det vil si at dette per definisjon er en potens av et tall med en eksponent:

Eksempel:

Grad med irrasjonell eksponent

I tillegg til informasjon om grader for gjennomsnittsnivået, vil vi analysere graden med en irrasjonell eksponent. Alle reglene og egenskapene til grader her er nøyaktig de samme som for en grad med en rasjonell eksponent, med unntak - tross alt, per definisjon, er irrasjonelle tall tall som ikke kan representeres som en brøk, hvor og er heltall (det vil si , irrasjonelle tall er alle reelle tall unntatt rasjonelle tall).

Når vi studerer grader med naturlige, heltalls og rasjonelle eksponenter, skapte vi hver gang et bestemt "bilde", "analogi" eller beskrivelse i mer kjente termer. For eksempel er en grad med en naturlig eksponent et tall multiplisert med seg selv flere ganger; et tall til null potens er så å si et tall multiplisert med seg selv en gang, det vil si at de ennå ikke har begynt å multiplisere det, noe som betyr at selve tallet ikke en gang har dukket opp enda - derfor er resultatet bare et visst "blankt nummer", nemlig et tall; en grad med en heltalls negativ eksponent - det er som om en "omvendt prosess" hadde skjedd, det vil si at tallet ikke ble multiplisert med seg selv, men delt.

Det er ekstremt vanskelig å forestille seg en grad med en irrasjonell eksponent (akkurat som det er vanskelig å forestille seg et 4-dimensjonalt rom). Det er snarere et rent matematisk objekt som matematikere skapte for å utvide gradsbegrepet til hele tallrommet.

Forresten, i vitenskapen brukes ofte en grad med en kompleks eksponent, det vil si at eksponenten ikke engang er et reelt tall. Men på skolen tenker vi ikke på slike vanskeligheter, du vil ha muligheten til å forstå disse nye konseptene ved instituttet.

Så hva gjør vi hvis vi ser en irrasjonell eksponent? Vi prøver så godt vi kan å bli kvitt det! :)

For eksempel:

Bestem selv:

Svar:

La oss huske formelen for forskjellen på kvadrater. Svar: .
Vi reduserer brøkene til samme form: enten begge desimaler eller begge vanlige. Vi får for eksempel: .
Ikke noe spesielt, vi bruker de vanlige egenskapene til grader:

SAMMENDRAG AV SEKSJONEN OG GRUNNLEGGENDE FORMLER

Grad kalt et uttrykk for formen: , hvor:

Grad med en heltallseksponent

en grad hvis eksponent er et naturlig tall (dvs. heltall og positivt).

Kraft med rasjonell eksponent

grad, hvis eksponent er negative tall og brøktall.

Grad med irrasjonell eksponent

en grad hvis eksponent er en uendelig desimalbrøk eller rot.

Egenskaper til grader

Funksjoner av grader.

Negativt tall hevet til til og med grad, - antall positivt.
Negativt tall hevet til merkelig grad, - antall negativ.
Et positivt tall i en hvilken som helst grad er et positivt tall.
Null er lik enhver potens.
Ethvert tall i nullpotens er lik.

NÅ HAR DU ORDET...

Hvordan liker du artikkelen? Skriv nedenfor i kommentarfeltet om du likte det eller ikke.

Fortell oss om din erfaring med å bruke gradsegenskaper.

Kanskje du har spørsmål. Eller forslag.

Skriv i kommentarfeltet.

Og lykke til med eksamen!

Artikler om naturfag og matematikk

Egenskaper til makter med samme grunnlag

Det er tre egenskaper for grader med samme baser og naturlige eksponenter. Dette

Arbeid sum

Privat to potenser med samme grunntall er lik uttrykket der grunntallet er likt og eksponenten er forskjell indikatorer på de opprinnelige faktorene.

Å heve et tall til en makt er lik et uttrykk der grunntallet er det samme tallet og eksponenten er arbeid to grader.

Vær forsiktig! Regler vedr addisjon og subtraksjon grader med samme base eksisterer ikke.

La oss skrive disse egenskapsreglene i form av formler:

a m × a n = a m+n

a m ÷ a n = a m–n

(a m) n = a mn

La oss nå se på dem ved å bruke spesifikke eksempler og prøve å bevise dem.

5 2 × 5 3 = 5 5 - her brukte vi regelen; La oss nå forestille oss hvordan vi ville løse dette eksemplet hvis vi ikke kjente reglene:

5 2 × 5 3 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 5 5 - fem i andre er fem ganger fem, og terninger er produktet av tre femmere. Resultatet er produktet av fem femmere, men dette er noe annet enn fem til femte potens: 5 5 .

3 9 ÷ 3 5 = 3 9–5 = 3 4. La oss skrive inndelingen som en brøk:

Den kan forkortes:

Som et resultat får vi:

Dermed beviste vi at når man deler to potenser med samme base, må eksponentene deres trekkes fra.

Men når du deler, kan ikke divisor være lik null (siden du ikke kan dele med null). I tillegg, siden vi vurderer grader bare med naturlige eksponenter, kan vi ikke, som et resultat av å trekke fra eksponenter, få et tall mindre enn 1. Derfor pålegges begrensninger på formelen a m ÷ a n = a m–n: a ≠ 0 og m > n.

La oss gå videre til den tredje egenskapen:
(2 2) 4 = 2 2×4 = 2 8

La oss skrive det i utvidet form:
(2 2) 4 = (2 × 2) 4 = (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2 8

Du kan komme til denne konklusjonen ved å resonnere logisk. Du må gange to i annen fire ganger. Men det er to toere i hver rute, noe som betyr at det blir åtte toere totalt.

scienceland.info