Oppgave 1 (om å beregne arealet til en buet trapes).
I det kartesiske rektangulære koordinatsystemet xOy, er en figur gitt (se figur) avgrenset av x-aksen, rette linjer x = a, x = b (a av en krumlinjet trapes. Det kreves for å beregne arealet til en krumlinjet form). trapes.
Løsning. Geometri gir oss oppskrifter for å beregne arealene til polygoner og noen deler av en sirkel (sektor, segment). Ved å bruke geometriske betraktninger kan vi bare finne en omtrentlig verdi av det nødvendige området, resonnement som følger.
La oss dele segmentet [a; b] (grunnlaget av en buet trapes) i n like deler; denne partisjonen utføres ved å bruke punktene x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. La oss tegne rette linjer gjennom disse punktene parallelt med y-aksen. Da vil den gitte kurvelinjeformede trapesen deles inn i n deler, i n smale søyler. Arealet av hele trapeset er lik summen av arealene til kolonnene.
La oss vurdere den k-te kolonnen separat, dvs. en buet trapes hvis base er et segment. La oss erstatte det med et rektangel med samme grunnflate og høyde lik f(x k) (se figur). Arealet av rektangelet er lik \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), hvor \(\Delta x_k \) er lengden på segmentet; Det er naturlig å betrakte det resulterende produktet som en omtrentlig verdi av arealet til den kth kolonnen. 
Hvis vi nå gjør det samme med alle de andre kolonnene, kommer vi til følgende resultat: arealet S av en gitt kurvelinjeformet trapes er omtrent lik arealet S n av en trinnformet figur som består av n rektangler (se figur):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Her antar vi for ensartethet i notasjonen at a = x 0, b = x n; \(\Delta x_0 \) - lengden på segmentet, \(\Delta x_1 \) - lengden på segmentet, etc.; i dette tilfellet, som vi ble enige om ovenfor, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)
Så, \(S \approx S_n \), og denne omtrentlige likheten er mer nøyaktig, jo større n.
Per definisjon antas det at det nødvendige området til en krumlinjet trapes er lik grensen for sekvensen (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$
Oppgave 2 (om å flytte et punkt)
Et materialpunkt beveger seg i en rett linje. Hastighetens avhengighet av tid uttrykkes med formelen v = v(t). Finn bevegelsen til et punkt over en tidsperiode [a; b].
Løsning. Hvis bevegelsen var ensartet, ville problemet være løst veldig enkelt: s = vt, dvs. s = v(b-a). For ujevn bevegelse må du bruke de samme ideene som løsningen på det forrige problemet var basert på.
1) Del tidsintervallet [a; b] i n like deler.
2) Betrakt et tidsrom og anta at hastigheten i denne tidsperioden var konstant, den samme som ved tidspunktet t k. Så vi antar at v = v(t k).
3) La oss finne den omtrentlige verdien av punktets bevegelse over en tidsperiode, vi betegner denne omtrentlige verdien som s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Finn den omtrentlige verdien av forskyvning s:
\(s \ca S_n \) hvor
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Den nødvendige forskyvningen er lik grensen for sekvensen (S n):
$$ s = \lim_(n \til \infty) S_n $$
La oss oppsummere. Løsninger på ulike problemer ble redusert til samme matematiske modell. Mange problemer fra ulike felt innen vitenskap og teknologi fører til den samme modellen i løsningsprosessen. Så dette matematisk modell må studeres spesielt.
Konseptet med en bestemt integralLa oss gi en matematisk beskrivelse av modellen som ble bygget i de tre betraktede oppgavene for funksjonen y = f(x), kontinuerlig (men ikke nødvendigvis ikke-negativ, slik det ble antatt i de betraktede oppgavene) på intervallet [a; b]:
1) del segmentet [a; b] i n like deler;
2) gjør opp summen $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) beregn $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$
I løpet av matematisk analyse ble det bevist at denne grensen eksisterer i tilfelle av en kontinuerlig (eller stykkevis kontinuerlig) funksjon. Det kalles det bestemte integralet til funksjonen y = f(x) over segmentet [a; b] og betegnet som følger:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Tallene a og b kalles integrasjonsgrensene (henholdsvis nedre og øvre).
La oss gå tilbake til oppgavene diskutert ovenfor. Definisjonen av området gitt i oppgave 1 kan nå skrives om som følger:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
her er S arealet av den krumlinjede trapesen vist i figuren ovenfor. Dette er den geometriske betydningen av det bestemte integralet.
Definisjonen av forskyvningen s til et punkt som beveger seg i en rett linje med en hastighet v = v(t) over tidsperioden fra t = a til t = b, gitt i oppgave 2, kan omskrives som følger:
La oss først svare på spørsmålet: hva er forbindelsen mellom det bestemte integralet og antideriverten?
Svaret finner du i oppgave 2. På den ene siden beregnes forskyvningen s av et punkt som beveger seg i en rett linje med en hastighet v = v(t) over tidsrommet fra t = a til t = b av formelen
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)
På den annen side er koordinaten til et bevegelig punkt en antiderivert for hastighet - la oss betegne det s(t); Dette betyr at forskyvningen s uttrykkes med formelen s = s(b) - s(a). Som et resultat får vi:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
hvor s(t) er antiderivatet av v(t).
Følgende teorem ble bevist i løpet av matematisk analyse.
Teorem. Hvis funksjonen y = f(x) er kontinuerlig på intervallet [a; b], så er formelen gyldig
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
hvor F(x) er antiderivatet av f(x).
Formelen ovenfor kalles vanligvis Newton-Leibniz-formelen til ære for den engelske fysikeren Isaac Newton (1643-1727) og den tyske filosofen Gottfried Leibniz (1646-1716), som oppnådde den uavhengig av hverandre og nesten samtidig.
I praksis, i stedet for å skrive F(b) - F(a), bruker de notasjonen \(\venstre. F(x)\right|_a^b \) (noen ganger kalt dobbel substitusjon) og omskriver følgelig Newtonen. -Leibniz formel på denne måten form:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \venstre. F(x)\høyre|_a^b \)
Når du beregner en bestemt integral, må du først finne antideriverten, og deretter utføre en dobbel substitusjon.
Basert på Newton-Leibniz-formelen kan vi få to egenskaper til det bestemte integralet.
Egenskap 1. Integralet av summen av funksjoner er lik summen av integralene:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)
Egenskap 2. Konstantfaktoren kan tas ut av integrertegnet:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)
Ved å bruke integralet kan du beregne arealene ikke bare av buede trapeser, men også av plane figurer av en mer kompleks type, for eksempel den som er vist på figuren. Figuren P er begrenset av rette linjer x = a, x = b og grafer for kontinuerlige funksjoner y = f(x), y = g(x), og på segmentet [a; b] ulikheten \(g(x) \leq f(x) \) gjelder. For å beregne arealet S av en slik figur, vil vi fortsette som følger:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
Så arealet S av en figur avgrenset av rette linjer x = a, x = b og grafer for funksjonene y = f(x), y = g(x), kontinuerlig på segmentet og slik at for enhver x fra segmentet [en; b] ulikheten \(g(x) \leq f(x) \) er oppfylt, beregnet med formelen
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
Anvendelse av integralen til løsning av anvendte problemer
Arealberegning
Det bestemte integralet til en kontinuerlig ikke-negativ funksjon f(x) er numerisk lik arealet til en kurvelinjeformet trapes avgrenset av kurven y = f(x), O x-aksen og de rette linjene x = a og x = b. I samsvar med dette er arealformelen skrevet som følger:
La oss se på noen eksempler på beregning av arealene til planfigurer.
Oppgave nr. 1. Regn ut arealet avgrenset av linjene y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.
Løsning. La oss konstruere en figur hvis areal vi må beregne.
y = x 2 + 1 er en parabel hvis grener er rettet oppover, og parabelen er forskjøvet oppover med én enhet i forhold til O y-aksen (Figur 1).
Figur 1. Graf over funksjonen y = x 2 + 1
Oppgave nr. 2. Regn ut arealet avgrenset av linjene y = x 2 – 1, y = 0 i området fra 0 til 1.
 |
Løsning. Grafen til denne funksjonen er en parabel av grener som er rettet oppover, og parablen er forskjøvet i forhold til O y-aksen ned med én enhet (Figur 2).
Figur 2. Graf over funksjonen y = x 2 – 1
Oppgave nr. 3. Lag en tegning og beregn arealet av figuren avgrenset av linjene
y = 8 + 2x – x 2 og y = 2x – 4.
Løsning. Den første av disse to linjene er en parabel med grenene rettet nedover, siden koeffisienten til x 2 er negativ, og den andre linjen er en rett linje som skjærer begge koordinataksene.
For å konstruere en parabel finner vi koordinatene til toppunktet: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – abscisse av toppunktet; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 er ordinaten, N(1;9) er toppunktet.
La oss nå finne skjæringspunktene til parabelen og den rette linjen ved å løse likningssystemet:
Sette likhetstegn mellom høyresidene av en ligning hvis venstre side er like.
Vi får 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 eller x 2 – 12 = 0, hvorfra 
.
Så punktene er skjæringspunktene til en parabel og en rett linje (Figur 1).
Figur 3 Grafer over funksjonene y = 8 + 2x – x 2 og y = 2x – 4
La oss konstruere en rett linje y = 2x – 4. Den går gjennom punktene (0;-4), (2;0) på koordinataksene.
For å konstruere en parabel kan du også bruke dens skjæringspunkt med 0x-aksen, det vil si røttene til ligningen 8 + 2x – x 2 = 0 eller x 2 – 2x – 8 = 0. Ved å bruke Vietas teorem er det enkelt for å finne røttene: x 1 = 2, x 2 = 4.
Figur 3 viser en figur (parabolsk segment M 1 N M 2) avgrenset av disse linjene.
Den andre delen av problemet er å finne arealet til denne figuren. Området kan bli funnet ved å bruke en bestemt integral i henhold til formelen 
.
I forhold til denne tilstanden får vi integralet: 
2 Beregning av volumet til et omdreiningslegeme
Volumet av legemet oppnådd fra rotasjonen av kurven y = f(x) rundt O x-aksen beregnes med formelen:
Når du roterer rundt O y-aksen, ser formelen slik ut:
Oppgave nr. 4. Bestem volumet av legemet oppnådd fra rotasjonen av en buet trapes avgrenset av rette linjer x = 0 x = 3 og kurve y = rundt O x-aksen.
Løsning. La oss tegne et bilde (Figur 4).
Figur 4. Graf over funksjonen y =
Det nødvendige volumet er 
Oppgave nr. 5. Beregn volumet av legemet oppnådd fra rotasjonen av en buet trapes avgrenset av kurven y = x 2 og rette linjer y = 0 og y = 4 rundt O y-aksen.
Løsning. Vi har:
Gjennomgå spørsmål
I denne artikkelen lærer du hvordan du finner arealet til en figur avgrenset av linjer ved hjelp av integralberegninger. For første gang møter vi formuleringen av et slikt problem på videregående, når vi nettopp har fullført studiet av bestemte integraler og det er på tide å begynne den geometriske tolkningen av den ervervede kunnskapen i praksis.
Så, hva kreves for å lykkes med å løse problemet med å finne arealet til en figur ved å bruke integraler:
- Evne til å lage kompetente tegninger;
- Evne til å løse en bestemt integral ved hjelp av kjent formel Newton-Leibniz;
- Evnen til å "se" mer lønnsomt alternativ løsninger – dvs. forstå hvordan det i ett eller annet tilfelle vil være mer praktisk å gjennomføre integrering? Langs x-aksen (OX) eller y-aksen (OY)?
- Vel, hvor ville vi vært uten korrekte beregninger?) Dette inkluderer å forstå hvordan man løser den andre typen integraler og riktige numeriske beregninger.
Algoritme for å løse problemet med å beregne arealet til en figur avgrenset av linjer:
1. Vi bygger en tegning. Det anbefales å gjøre dette på et rutete stykke papir, i stor skala. Vi signerer navnet på denne funksjonen med en blyant over hver graf. Signering av grafene gjøres utelukkende for å lette videre beregninger. Etter å ha mottatt en graf over ønsket figur, vil det i de fleste tilfeller være umiddelbart klart hvilke grenser for integrasjon som vil bli brukt. Dermed løser vi problemet grafisk. Imidlertid hender det at verdiene til grensene er brøkdeler eller irrasjonelle. Derfor kan du gjøre ytterligere beregninger, gå til trinn to.
2. Hvis grensene for integrasjon ikke er eksplisitt spesifisert, så finner vi skjæringspunktene til grafene med hverandre og ser om vår grafiske løsning sammenfaller med den analytiske.
3. Deretter må du analysere tegningen. Avhengig av hvordan funksjonsgrafene er ordnet, er det forskjellige tilnærminger til å finne arealet til en figur. La oss vurdere ulike eksempler på å finne arealet til en figur ved å bruke integraler.
3.1. Den mest klassiske og enkle versjonen av problemet er når du trenger å finne området til en buet trapes. Hva er en buet trapes? Dette er en flat figur begrenset av x-aksen (y = 0), rette linjer x = a, x = b og en hvilken som helst kurve som er kontinuerlig i intervallet fra a til b. Dessuten er denne figuren ikke-negativ og ligger ikke under x-aksen. I dette tilfellet er arealet til den krumlinjede trapesen numerisk lik en viss integral, beregnet ved hjelp av Newton-Leibniz-formelen:
Eksempel 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
Hvilke linjer er figuren avgrenset av? Vi har en parabel y = x2 - 3x + 3, som er plassert over OX-aksen, den er ikke-negativ, fordi alle punkter i denne parabelen har positive verdier. Deretter er de rette linjene x = 1 og x = 3 gitt, som går parallelt med aksen til op-ampen og er grenselinjene til figuren til venstre og høyre. Vel, y = 0, som også er x-aksen, som begrenser figuren nedenfra. Den resulterende figuren er skyggelagt, som du kan se fra figuren til venstre. I i dette tilfellet, kan du umiddelbart begynne å løse problemet. Foran oss er et enkelt eksempel på en buet trapes, som vi så løser ved hjelp av Newton-Leibniz-formelen.
3.2. I forrige avsnitt 3.1 undersøkte vi tilfellet når en buet trapes er plassert over x-aksen. Vurder nå tilfellet når betingelsene for problemet er de samme, bortsett fra at funksjonen ligger under x-aksen. Et minus legges til standard Newton-Leibniz-formelen. Vi vil vurdere hvordan du løser et slikt problem nedenfor.
Eksempel 2. Beregn arealet av figuren avgrenset av linjene y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.
I i dette eksemplet vi har en parabel y = x2 + 6x + 2, som stammer fra under OX-aksen, rette linjer x = -4, x = -1, y = 0. Her begrenser y = 0 ønsket tall ovenfra. De rette linjene x = -4 og x = -1 er grensene som det bestemte integralet vil bli beregnet innenfor. Prinsippet for å løse problemet med å finne arealet til en figur sammenfaller nesten fullstendig med eksempel nummer 1. Den eneste forskjellen er at gitt funksjon ikke positiv, og fortsatt kontinuerlig på intervallet [-4; -1] . Hva mener du ikke positivt? Som det fremgår av figuren, har figuren som ligger innenfor de gitte x-ene utelukkende "negative" koordinater, som er det vi må se og huske når vi løser problemet. Vi ser etter området til figuren ved å bruke Newton-Leibniz-formelen, bare med et minustegn i begynnelsen.
Artikkelen er ikke fullført.
Sikker integral. Hvordan beregne arealet til en figurLa oss gå videre til å vurdere anvendelser av integralregning. I denne leksjonen vil vi analysere det typiske og vanligste problemet - hvordan beregne arealet ved hjelp av en bestemt integral flat figur. Til slutt, de som leter etter mening i høyere matematikk - må de finne den. Du vet aldri. Vi må bringe det nærmere i livet hytteområde på landet elementære funksjoner og finne arealet ved hjelp av et bestemt integral.
For å lykkes med å mestre materialet, må du:
1) Forstå det ubestemte integralet i det minste på et mellomnivå. Dummies bør derfor først gjøre seg kjent med leksjonen Ikke.
2) Kunne anvende Newton-Leibniz-formelen og beregne det bestemte integralet. Sett opp varmt vennlige forhold med bestemte integraler finner du på Definite Integral-siden. Eksempler på løsninger.
Faktisk, for å finne arealet til en figur, trenger du ikke så mye kunnskap om det ubestemte og bestemte integralet. Oppgaven "beregn arealet ved hjelp av en bestemt integral" involverer alltid å konstruere en tegning, så dine kunnskaper og ferdigheter i å konstruere tegninger vil være et mye mer presserende spørsmål. I denne forbindelse er det nyttig å oppdatere minnet om grafene til grunnleggende elementære funksjoner, og i det minste å kunne konstruere en rett linje, parabel og hyperbel. Dette kan gjøres (for mange er det nødvendig) ved hjelp av metodisk materiale og artikler om geometriske transformasjoner av grafer.
Egentlig er alle kjent med oppgaven med å finne området ved hjelp av en bestemt integral siden skolen, og vi kommer ikke mye lenger fra skolepensum. Denne artikkelen har kanskje ikke eksistert i det hele tatt, men faktum er at problemet oppstår i 99 tilfeller av 100, når en elev lider av en forhat skole og entusiastisk mestrer et kurs i høyere matematikk.
Materialene til denne workshopen presenteres enkelt, detaljert og med et minimum av teori.
La oss starte med en buet trapes.
En buet trapes er en flat figur avgrenset av en akse, rette linjer og grafen til en funksjon kontinuerlig på et segment som ikke endrer fortegn på dette intervallet. La denne figuren være lokalisert ikke mindre x-akse:
Da er arealet til den krumlinjede trapesen numerisk lik det bestemte integralet. Enhver bestemt integral (som finnes) har en veldig god geometrisk betydning. I leksjonen Definite Integral. Eksempler på løsninger Jeg sa at et bestemt integral er et tall. Og nå er det på tide å si et annet nyttig faktum. Fra et geometrisk synspunkt er det definitive integralet AREA.
Det vil si at et visst integral (hvis det eksisterer) geometrisk tilsvarer arealet til en viss figur. Tenk for eksempel på den bestemte integralen. Integranden definerer en kurve på planet som ligger over aksen (de som ønsker det kan lage en tegning), og selve det bestemte integralet er numerisk lik arealet til den tilsvarende kurvelinjeformede trapesen.
Eksempel 1
Dette er en typisk oppgaveerklæring. Først og det viktigste øyeblikket løsninger - tegning. Dessuten må tegningen konstrueres RIKTIG.
Når du konstruerer en tegning anbefaler jeg neste bestilling: først er det bedre å konstruere alle rette linjer (hvis de finnes) og først da - parabler, hyperbler og grafer for andre funksjoner. Det er mer lønnsomt å konstruere grafer av funksjoner punktvis. teknikken for punktvis konstruksjon finnes i referansematerialet Grafer og egenskaper til elementære funksjoner. Der kan du også finne svært nyttig materiale til leksjonen vår – hvordan bygge en parabel raskt.
I dette problemet kan løsningen se slik ut.
La oss tegne tegningen (merk at ligningen definerer aksen):
Jeg vil ikke skyggelegge den buede trapesen det er åpenbart her hvilket område vi snakker om. Løsningen fortsetter slik:
På segmentet er grafen til funksjonen plassert over aksen, derfor:
Svar:
Som har problemer med å beregne det bestemte integralet og bruke Newton-Leibniz-formelen 
, se forelesningen Definite Integral. Eksempler på løsninger.
Etter at oppgaven er fullført, er det alltid nyttig å se på tegningen og finne ut om svaret er ekte. I dette tilfellet teller vi antall celler i tegningen "etter øye" - vel, det vil være omtrent 9, det ser ut til å være sant. Det er helt klart at hvis vi for eksempel fikk svaret: 20 kvadratenheter, så er det åpenbart at det ble gjort en feil et sted - 20 celler passer tydeligvis ikke inn i den aktuelle figuren, på det meste et dusin. Hvis svaret er negativt, så ble også oppgaven løst feil.
Eksempel 2
Beregn arealet til en figur avgrenset av linjer , , og akse
Dette er et eksempel for deg å løse på egen hånd. Full løsning og svar på slutten av timen.
Hva skal jeg gjøre hvis en buet trapes er plassert under aksen?
Eksempel 3
Beregn arealet av figuren avgrenset av linjer og koordinatakser.
Løsning: La oss lage en tegning: 
Hvis den buede trapesen er plassert under aksen (eller i det minste ikke høyere gitt akse), kan området bli funnet ved å bruke formelen:
I dette tilfellet: 
Merk følgende! De to typene oppgaver bør ikke forveksles:
1) Hvis du blir bedt om å løse ganske enkelt en bestemt integral uten noen geometrisk betydning, så kan det være negativt.
2) Hvis du blir bedt om å finne arealet til en figur ved å bruke en bestemt integral, er arealet alltid positivt! Det er derfor minus vises i formelen som nettopp ble diskutert.
I praksis er figuren oftest plassert i både øvre og nedre halvplan, og derfor går vi fra de enkleste skoleoppgavene videre til mer meningsfylte eksempler.
Eksempel 4
Finn arealet til en plan figur avgrenset av linjene, .
Løsning: Først må du lage en tegning. Generelt sett, når vi konstruerer en tegning i områdeproblemer, er vi mest interessert i skjæringspunktene mellom linjer. La oss finne skjæringspunktene til parabelen og den rette linjen. Dette kan gjøres på to måter. Den første metoden er analytisk. Vi løser ligningen:
Dette betyr at den nedre grensen for integrasjon er, den øvre grensen for integrasjon er.
Det er bedre, hvis mulig, å ikke bruke denne metoden.
Det er mye mer lønnsomt og raskere å konstruere linjer punkt for punkt, og grensene for integrasjon blir tydelige «av seg selv». Teknikken for punktvis konstruksjon for ulike grafer diskuteres i detalj i hjelpen Grafer og egenskaper til elementære funksjoner. Likevel må den analytiske metoden for å finne grenser fortsatt noen ganger brukes hvis for eksempel grafen er stor nok, eller den detaljerte konstruksjonen ikke avslørte grensene for integrasjon (de kan være brøkdeler eller irrasjonelle). Og vi vil også vurdere et slikt eksempel.
La oss gå tilbake til oppgaven vår: det er mer rasjonelt å først konstruere en rett linje og først deretter en parabel. La oss lage tegningen: 
Jeg gjentar at når man konstruerer punktvis, blir grensene for integrasjon oftest funnet ut "automatisk".
Og nå arbeidsformel: Hvis en kontinuerlig funksjon på et segment er større enn eller lik en eller annen kontinuerlig funksjon , kan arealet av figuren begrenset av grafene til disse funksjonene og rette linjene , , finnes av formelen: 
Her trenger du ikke lenger tenke på hvor figuren er plassert - over aksen eller under aksen, og grovt sett er det viktig hvilken graf som er HØYERE (i forhold til en annen graf) og hvilken som er UNDER.
I eksemplet under vurdering er det åpenbart at på segmentet er parabelen plassert over den rette linjen, og derfor er det nødvendig å trekke fra
Den ferdige løsningen kan se slik ut:
Den ønskede figuren er begrenset av en parabel over og en rett linje under.
På segmentet, i henhold til den tilsvarende formelen:
Svar:
Faktisk er skoleformelen for arealet til en kurvelinjeformet trapes i det nedre halvplanet (se enkelt eksempel nr. 3) spesielt tilfelle formler 
. Siden aksen er spesifisert av ligningen, og grafen til funksjonen er lokalisert ikke høyereøkser altså 
Og nå et par eksempler for din egen løsning
Eksempel 5
Eksempel 6
Finn arealet av figuren avgrenset av linjene, .
Når du løser problemer som involverer beregning av areal ved hjelp av en bestemt integral, skjer det noen ganger en morsom hendelse. Tegningen ble gjort riktig, beregningene var korrekte, men på grunn av uforsiktighet ... ble området med feil figur funnet, dette er nøyaktig hvordan din ydmyke tjener gikk galt flere ganger. Her er en sak fra det virkelige liv:
Eksempel 7
Beregn arealet av figuren avgrenset av linjene , , , .
Løsning: La oss først lage en tegning: 
...Eh, tegningen ble dritt, men alt ser ut til å være lesbart.
Figuren hvis område vi trenger å finne er skyggelagt i blått (se nøye på tilstanden - hvordan figuren er begrenset!). Men i praksis, på grunn av uoppmerksomhet, oppstår det ofte en "feil" som du trenger for å finne området til en figur som er skyggelagt grønn!
Dette eksemplet er også nyttig ved at det beregner arealet til en figur ved å bruke to bestemte integraler. Egentlig:
1) På segmentet over aksen er det en graf av en rett linje;
2) På segmentet over aksen er det en graf av en hyperbel.
Det er ganske åpenbart at områdene kan (og bør) legges til, derfor:
Svar:
La oss gå videre til en annen meningsfull oppgave.
Eksempel 8
Beregn arealet til en figur avgrenset av linjer,
La oss presentere likningene i "skole"-form og lage en punkt-for-punkt-tegning: 
Fra tegningen er det tydelig at vår øvre grense er "god": .
Men hva er nedre grense?! Det er klart at dette ikke er et heltall, men hva er det? Kan være ? Men hvor er garantien for at tegningen er laget med perfekt nøyaktighet, det kan godt vise seg at... Eller roten. Hva om vi bygde grafen feil?
I slike tilfeller må du bruke ekstra tid og avklare grensene for integrasjon analytisk.
La oss finne skjæringspunktene til en rett linje og en parabel.
For å gjøre dette løser vi ligningen: 
,
Egentlig, .
Den videre løsningen er triviell, det viktigste er å ikke bli forvirret i erstatninger og tegn, beregningene her er ikke de enkleste.
På segmentet 
, i henhold til den tilsvarende formelen: 
Svar: 
Vel, for å avslutte leksjonen, la oss se på to vanskeligere oppgaver.
Eksempel 9
Beregn arealet av figuren avgrenset av linjene , ,
Løsning: La oss skildre denne figuren på tegningen. 
Faen, jeg glemte å signere timeplanen, og beklager, jeg ville ikke gjøre om bildet. Ikke en tegnedag, kort sagt, i dag er dagen =)
For punkt-for-punkt-konstruksjon må du vite utseende sinusoider (og generelt er det nyttig å kjenne grafene til alle elementære funksjoner), samt noen sinusverdier, de kan finnes i den trigonometriske tabellen. I noen tilfeller (som i dette tilfellet) er det mulig å konstruere en skjematisk tegning, der grafene og grensene for integrasjon skal vises grunnleggende korrekt.
Det er ingen problemer med grensene for integrasjon her, de følger direkte av betingelsen: "x" endres fra null til "pi". La oss ta en ytterligere avgjørelse:
På segmentet er grafen til funksjonen plassert over aksen, derfor:
Hvordan sette inn matematiske formler på et nettsted?
Hvis du noen gang trenger å legge til en eller to matematiske formler på en nettside, er den enkleste måten å gjøre dette på som beskrevet i artikkelen: matematiske formler settes enkelt inn på nettstedet i form av bilder som genereres automatisk av Wolfram Alpha . Foruten enkelhet, dette universell metode vil bidra til å forbedre nettstedets synlighet i søkemotorer. Det har fungert lenge (og, tror jeg, vil fungere for alltid), men er allerede moralsk utdatert.
Hvis du regelmessig bruker matematiske formler på nettstedet ditt, anbefaler jeg at du bruker MathJax - et spesielt JavaScript-bibliotek som viser matematisk notasjon i nettlesere som bruker MathML, LaTeX eller ASCIIMathML-markering.
Det er to måter å begynne å bruke MathJax på: (1) ved å bruke en enkel kode kan du raskt koble et MathJax-skript til nettstedet ditt, som automatisk lastes fra en ekstern server til rett tid (liste over servere); (2) last ned MathJax-skriptet fra en ekstern server til serveren din og koble det til alle sidene på nettstedet ditt. Den andre metoden – mer kompleks og tidkrevende – vil øke hastigheten på innlastingen av sidene til nettstedet ditt, og hvis den overordnede MathJax-serveren blir midlertidig utilgjengelig av en eller annen grunn, vil dette ikke påvirke ditt eget nettsted på noen måte. Til tross for disse fordelene, valgte jeg den første metoden da den er enklere, raskere og ikke krever tekniske ferdigheter. Følg mitt eksempel, og på bare 5 minutter vil du kunne bruke alle funksjonene til MathJax på nettstedet ditt.
Du kan koble til MathJax-biblioteksskriptet fra en ekstern server ved å bruke to kodealternativer hentet fra MathJax hovednettsted eller på dokumentasjonssiden:
Et av disse kodealternativene må kopieres og limes inn i koden til nettsiden din, helst mellom tagger og eller rett etter taggen. I henhold til det første alternativet laster MathJax raskere og bremser siden mindre. Men det andre alternativet overvåker og laster automatisk de nyeste versjonene av MathJax. Hvis du setter inn den første koden, må den oppdateres med jevne mellomrom. Hvis du setter inn den andre koden, vil sidene lastes saktere, men du trenger ikke å overvåke MathJax-oppdateringer konstant.
Den enkleste måten å koble MathJax på er i Blogger eller WordPress: i nettstedets kontrollpanel legger du til en widget som er utformet for å sette inn tredjeparts JavaScript-kode, kopierer den første eller andre versjonen av nedlastingskoden presentert ovenfor, og plasser widgeten nærmere. til begynnelsen av malen (forresten, dette er ikke i det hele tatt nødvendig, siden MathJax-skriptet lastes asynkront). Det er alt. Lær nå markup-syntaksen til MathML, LaTeX og ASCIIMathML, og du er klar til å sette inn matematiske formler på nettstedets nettsider.
Enhver fraktal er konstruert i henhold til en bestemt regel, som konsekvent brukes et ubegrenset antall ganger. Hver slik tid kalles en iterasjon.
Den iterative algoritmen for å konstruere en Menger-svamp er ganske enkel: den originale kuben med side 1 er delt av plan parallelt med flatene i 27 like terninger. En sentral kube og 6 terninger ved siden av den langs ansiktene fjernes fra den. Resultatet er et sett bestående av de resterende 20 mindre terningene. Gjør vi det samme med hver av disse kubene, får vi et sett bestående av 400 mindre terninger. Hvis vi fortsetter denne prosessen i det uendelige, får vi en Menger-svamp.
