La to poeng gis M 1 (x 1, y 1) Og M 2 (x 2, y 2). La oss skrive likningen til linjen i formen (5), hvor k fortsatt ukjent koeffisient:
Siden punktet M 2 tilhører en gitt linje, så tilfredsstiller dens koordinater ligning (5): . Ved å uttrykke herfra og erstatte den i ligning (5), får vi den nødvendige ligningen:
Hvis 
denne ligningen kan skrives om i en form som er mer praktisk for memorering:
(6)
Eksempel. Skriv ned ligningen til en rett linje som går gjennom punktene M 1 (1,2) og M 2 (-2,3)
Løsning. 
. Ved å bruke proporsjonsegenskapen og utføre de nødvendige transformasjonene får vi den generelle ligningen for en rett linje:
Vinkel mellom to rette linjer
Tenk på to rette linjer l 1 Og l 2:
l 1: , , Og
l 2: , ,
φ er vinkelen mellom dem (). Fra fig. 4 er det tydelig:.
 |
Herfra 
, eller
Ved hjelp av formel (7) kan du bestemme en av vinklene mellom rette linjer. Den andre vinkelen er lik .
Eksempel. To rette linjer er gitt av ligningene y=2x+3 og y=-3x+2. Finn vinkelen mellom disse linjene.
Løsning. Fra ligningene er det klart at k 1 =2, og k 2 =-3. Ved å erstatte disse verdiene i formel (7), finner vi
. Dermed er vinkelen mellom disse linjene lik .
Betingelser for parallellitet og perpendikularitet av to rette linjer
Hvis rett l 1 Og l 2 er parallelle altså φ=0 Og tgφ=0. fra formel (7) følger det at , hvorfra k 2 = k 1. Dermed er betingelsen for parallellisme av to linjer likheten av deres vinkelkoeffisienter.
Hvis rett l 1 Og l 2 er vinkelrette, da φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 . 
. Dermed er betingelsen for perpendikulariteten til to rette linjer at deres vinkelkoeffisienter er invers i størrelse og motsatt i fortegn.
Avstand fra punkt til linje
Teorem. Hvis et punkt M(x 0, y 0) er gitt, blir avstanden til linjen Ax + Bу + C = 0 bestemt som
Bevis. La punktet M 1 (x 1, y 1) være bunnen av perpendikulæren som faller fra punkt M til en gitt rett linje. Da er avstanden mellom punktene M og M 1:
Koordinatene x 1 og y 1 kan bli funnet ved å løse ligningssystemet:
Den andre ligningen til systemet er ligningen til en linje som går gjennom et gitt punkt M 0 vinkelrett på en gitt linje.
Hvis vi transformerer den første ligningen i systemet til formen:
A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + Ved 0 + C = 0,
så når vi løser, får vi:
Ved å erstatte disse uttrykkene i ligning (1), finner vi:
Teoremet er bevist.
Eksempel. Bestem vinkelen mellom linjene: y = -3x + 7; y = 2x + 1.
k 1 = -3; k2 = 2 tanj=; j = p/4.
Eksempel. Vis at linjene 3x – 5y + 7 = 0 og 10x + 6y – 3 = 0 er vinkelrette.
Vi finner: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, derfor er linjene vinkelrette.
Eksempel. Oppgitt er toppunktene til trekanten A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Finn ligningen for høyden trukket fra toppunktet C.
Vi finner ligningen til siden AB: ; 4x = 6y – 6;
2x – 3y + 3 = 0;
Den nødvendige høydeligningen har formen: Ax + By + C = 0 eller y = kx + b.
k= . Da er y = . Fordi høyden går gjennom punktet C, så tilfredsstiller dens koordinater denne ligningen: hvorav b = 17. Totalt: .
Svar: 3x + 2y – 34 = 0.
Avstanden fra et punkt til en linje bestemmes av lengden på vinkelrett tegnet fra punktet til linjen.
Hvis linjen er parallell med projeksjonsplanet (h | | P 1), deretter for å bestemme avstanden fra punktet EN til en rett linje h det er nødvendig å senke vinkelrett fra punktet EN til det horisontale h.
La oss vurdere et mer komplekst eksempel, når den rette linjen inntar en generell posisjon. La det være nødvendig å bestemme avstanden fra et punkt M til en rett linje EN generell stilling.
Bestemmelsesoppgave avstander mellom parallelle linjer løses på samme måte som den forrige. Et punkt tas på en linje og en perpendikulær slippes fra den til en annen linje. Lengden på en perpendikulær er lik avstanden mellom parallelle linjer.
Andre ordens kurve er en linje definert av en ligning av andre grad i forhold til gjeldende kartesiske koordinater. I det generelle tilfellet er Axe 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,
hvor A, B, C, D, E, F er reelle tall og minst ett av tallene A 2 + B 2 + C 2 ≠0.
Sirkel
Sirkel sentrum– dette er det geometriske stedet for punkter i planet like langt fra et punkt i planet C(a,b).
Sirkelen er gitt ved følgende ligning:
Der x,y er koordinatene til et vilkårlig punkt på sirkelen, er R radiusen til sirkelen.
Tegn på ligningen til en sirkel
1. Ledet med x, y mangler
2. Koeffisientene for x 2 og y 2 er like
Ellipse
Ellipse kalles det geometriske stedet for punkter i et plan, summen av avstandene til hver av disse fra to gitte punkter i dette planet kalles foci (en konstant verdi).
Den kanoniske ligningen til ellipsen:
X og y tilhører ellipsen.
a – semimajor akse av ellipsen
b – ellipsens halv-mollakse
Ellipsen har 2 symmetriakser OX og OU. Symmetriaksene til en ellipse er dens akser, skjæringspunktet er midten av ellipsen. Aksen som brennpunktene er plassert på kalles brennakse. Skjæringspunktet mellom ellipsen og aksene er ellipsens toppunkt.
Kompresjonsforhold (spenningsforhold): ε = s/a– eksentrisitet (karakteriserer formen på ellipsen), jo mindre den er, jo mindre strekker ellipsen seg langs fokalaksen.
Hvis sentrene til ellipsen ikke er i sentrum C(α, β)
Hyperbel
Overdrivelse kalles det geometriske stedet for punkter i et plan, den absolutte verdien av forskjellen i avstander, som hver fra to gitte punkter i dette planet, kalt foci, er en konstant verdi forskjellig fra null.
Kanonisk hyperbelligning
En hyperbel har 2 symmetriakser:
a – ekte halvakse av symmetri
b – imaginær halvakse av symmetri
Asymptoter til en hyperbel:
Parabel
Parabel er lokuset til punkter i planet like langt fra et gitt punkt F, kalt fokus, og en gitt linje, kalt retningslinjen.
Den kanoniske ligningen til en parabel:
У 2 =2рх, der р er avstanden fra fokus til retningslinjen (parabelparameter)
Hvis toppunktet til parablen er C (α, β), så er ligningen til parablen (y-β) 2 = 2р(x-α)
Hvis fokalaksen tas som ordinataksen, vil ligningen til parablen ha formen: x 2 =2qу
La to poeng gis M(X 1 ,U 1) og N(X 2,y 2). La oss finne ligningen til linjen som går gjennom disse punktene.
Siden denne linjen går gjennom punktet M, så ifølge formel (1.13) har ligningen formen
U – Y 1 = K(X–x 1),
Hvor K– ukjent vinkelkoeffisient.
Verdien av denne koeffisienten bestemmes ut fra betingelsen om at den ønskede rette linjen går gjennom punktet N, som betyr at koordinatene tilfredsstiller ligningen (1.13)
Y 2 – Y 1 = K(X 2 – X 1),
Herfra kan du finne helningen til denne linjen:
,
Eller etter konvertering
(1.14)
Formel (1.14) avgjør Ligning av en linje som går gjennom to punkter M(X 1, Y 1) og N(X 2, Y 2).
I det spesielle tilfellet når poeng M(EN, 0), N(0, B), EN ¹ 0, B¹ 0, ligg på koordinataksene, ligning (1.14) vil ha en enklere form
Ligning (1,15) kalt Ligning av en rett linje i segmenter, Her EN Og B angi segmentene avskåret med en rett linje på aksene (Figur 1.6).
Figur 1.6
Eksempel 1.10. Skriv en ligning for en linje som går gjennom punktene M(1, 2) og B(3, –1).
. I følge (1.14) har ligningen til den ønskede linjen formen
2(Y – 2) = -3(X – 1).
Ved å overføre alle ledd til venstre side får vi til slutt den ønskede ligningen
3X + 2Y – 7 = 0.
Eksempel 1.11. Skriv en ligning for en linje som går gjennom et punkt M(2, 1) og skjæringspunktet for linjene X+ Y – 1 = 0, X – y+ 2 = 0.
. Vi finner koordinatene til linjenes skjæringspunkt ved å løse disse likningene sammen
Hvis vi legger til disse ligningene termin for ledd, får vi 2 X+ 1 = 0, hvorfra . Ved å erstatte den funnet verdien i en hvilken som helst ligning, finner vi verdien av ordinaten U:
La oss nå skrive ligningen for den rette linjen som går gjennom punktene (2, 1) og:
eller .
Derfor eller –5( Y – 1) = X – 2.
Vi får til slutt ligningen til ønsket linje i skjemaet X + 5Y – 7 = 0.
Eksempel 1.12. Finn ligningen til linjen som går gjennom punktene M(2.1) og N(2,3).
Ved å bruke formel (1.14) får vi ligningen
Det gir ikke mening siden den andre nevneren er null. Fra betingelsene for problemet er det klart at abscissen til begge punktene har samme verdi. Dette betyr at den ønskede rette linjen er parallell med aksen OY og ligningen er: x = 2.
Kommentar . Hvis en av nevnerne viser seg å være lik null når man skriver ligningen til en linje ved hjelp av formel (1.14), kan den ønskede ligningen oppnås ved å likestille den tilsvarende telleren til null.
La oss vurdere andre måter å definere en linje på et plan.
1. La en vektor som ikke er null være vinkelrett på den gitte linjen L, og pek M 0(X 0, Y 0) ligger på denne linjen (Figur 1.7).
Figur 1.7
La oss betegne M(X, Y) et hvilket som helst punkt på en linje L. Vektorer og 
Ortogonal. Ved å bruke betingelsene for ortogonalitet til disse vektorene får vi eller EN(X – X 0) + B(Y – Y 0) = 0.
Vi har fått ligningen til en linje som går gjennom et punkt M 0 er vinkelrett på vektoren. Denne vektoren kalles Normal vektor til en rett linje L. Den resulterende ligningen kan skrives om som
Åh + Wu + MED= 0, hvor MED = –(ENX 0 + Av 0), (1.16),
Hvor EN Og I– koordinater til normalvektoren.
Vi får den generelle ligningen til linjen i parametrisk form.
2. En rett linje på et plan kan defineres som følger: la en vektor som ikke er null være parallell med den gitte rette linjen L og periode M 0(X 0, Y 0) ligger på denne linjen. La oss ta et vilkårlig poeng igjen M(X, y) på en rett linje (Figur 1.8).
Figur 1.8
Vektorer og 
kollineær.
La oss skrive ned betingelsen for kollineariteten til disse vektorene: , hvor T– et vilkårlig tall kalt en parameter. La oss skrive denne likheten i koordinater:
Disse ligningene kalles Parametriske ligninger Rett. La oss ekskludere parameteren fra disse ligningene T:
Disse ligningene kan ellers skrives i formen
. (1.18)
Den resulterende ligningen kalles Linjens kanoniske ligning. Vektoren kalles Styringsvektoren er rett .
Kommentar . Det er lett å se at if er normalvektoren til linjen L, så kan retningsvektoren være vektoren siden , dvs. .
Eksempel 1.13. Skriv ligningen til en linje som går gjennom et punkt M 0(1, 1) parallelt med linje 3 X + 2U– 8 = 0.
Løsning . Vektoren er normalvektoren til de gitte og ønskede linjene. La oss bruke ligningen til en rett linje som går gjennom et punkt M 0 med en gitt normalvektor 3( X –1) + 2(U– 1) = 0 eller 3 X + 2у– 5 = 0. Vi fikk ligningen til ønsket linje.
La linjen gå gjennom punktene M 1 (x 1; y 1) og M 2 (x 2; y 2). Ligningen til en rett linje som går gjennom punktet M 1 har formen y-y 1 = k (x - x 1), (10,6)
Hvor k - fortsatt ukjent koeffisient.
Siden den rette linjen går gjennom punktet M 2 (x 2 y 2), må koordinatene til dette punktet tilfredsstille ligning (10.6): y 2 -y 1 = k (x 2 - x 1).
Herfra finner vi Substituting the found value k
inn i ligning (10.6), får vi ligningen til en rett linje som går gjennom punktene M 1 og M 2: 
Det antas at i denne ligningen x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2
Hvis x 1 = x 2, så er den rette linjen som går gjennom punktene M 1 (x 1,y I) og M 2 (x 2,y 2) parallell med ordinataksen. Dens ligning er x = x 1 .
Hvis y 2 = y I, så kan linjens ligning skrives som y = y 1, den rette linjen M 1 M 2 er parallell med abscisseaksen.
Ligning av en linje i segmenter
La den rette linjen skjære Ox-aksen i punktet M 1 (a;0), og Oy-aksen i punktet M 2 (0;b). Ligningen vil ha formen: 
de. 
. Denne ligningen kalles ligning av en rett linje i segmenter, fordi tallene a og b indikerer hvilke segmenter linjen skjærer av på koordinataksene.
Ligning av en linje som går gjennom et gitt punkt vinkelrett på en gitt vektor
La oss finne ligningen til en rett linje som går gjennom et gitt punkt Mo (x O; y o) vinkelrett på en gitt vektor som ikke er null n = (A; B).
La oss ta et vilkårlig punkt M(x; y) på linjen og vurdere vektoren M 0 M (x - x 0; y - y o) (se fig. 1). Siden vektorene n og M o M er vinkelrette, er deres skalarprodukt lik null: dvs.
A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)
Ligning (10.8) kalles likning av en rett linje som går gjennom et gitt punkt vinkelrett på en gitt vektor .
Vektor n= (A; B), vinkelrett på linjen, kalles normal normal vektor for denne linjen .
Ligning (10.8) kan skrives om som Ah + Wu + C = 0 , (10.9)
hvor A og B er koordinatene til normalvektoren, C = -Ax o - Vu o er frileddet. Ligning (10,9) er den generelle ligningen til linjen(se fig. 2).
Fig.1 Fig.2
Kanoniske ligninger av linjen
,
Hvor 
- koordinater til punktet som linjen går gjennom, og 
- retningsvektor.
Andre ordens kurver Sirkel
En sirkel er settet av alle punkter i planet like langt fra et gitt punkt, som kalles sentrum.
Kanonisk ligning av en sirkel med radius
R sentrert på et punkt 
:
Spesielt hvis sentrum av innsatsen sammenfaller med opprinnelsen til koordinatene, vil ligningen se slik ut: 
Ellipse
En ellipse er et sett med punkter på et plan, summen av avstandene fra hver til to gitte punkter
Og 
, som kalles foci, er en konstant størrelse 
, større enn avstanden mellom foci 
.
Den kanoniske ligningen til en ellipse hvis brennpunkter ligger på okseaksen, og opprinnelsen til koordinatene i midten mellom brennpunktene har formen 
G 
de en semi-hovedakse lengde; b – lengden på halv-molaksen (fig. 2).
Avhengighet mellom ellipseparametere
Og 
uttrykkes ved forholdet:
(4)
Ellipse eksentrisitetkalt interfokal avstandsforhold2stil hovedaksen2a:
Rektorer
ellipse er rette linjer parallelle med Oy-aksen, som ligger i avstand fra denne aksen. Directrix-ligninger: 
.
Hvis i ellipsens ligning 
, da er brennpunktene til ellipsen på Oy-aksen.
Så, 
Denne artikkelen avslører utledningen av ligningen til en rett linje som går gjennom to gitte punkter i et rektangulært koordinatsystem plassert på et plan. La oss utlede ligningen til en rett linje som går gjennom to gitte punkter i et rektangulært koordinatsystem. Vi vil tydelig vise og løse flere eksempler knyttet til materialet som dekkes.
Før du oppnår ligningen til en linje som går gjennom to gitte punkter, er det nødvendig å ta hensyn til noen fakta. Det er et aksiom som sier at gjennom to divergerende punkter på et plan er det mulig å tegne en rett linje og bare ett. Med andre ord, to gitte punkter på et plan er definert av en rett linje som går gjennom disse punktene.
Hvis planet er definert av det rektangulære koordinatsystemet Oxy, vil enhver rett linje som er avbildet i det tilsvare ligningen til en rett linje på planet. Det er også en sammenheng med retningsvektoren til den rette linjen Disse dataene er tilstrekkelige til å kompilere ligningen for en rett linje som går gjennom to gitte punkter.
La oss se på et eksempel på å løse et lignende problem. Det er nødvendig å lage en ligning for en rett linje a som går gjennom to divergerende punkter M 1 (x 1, y 1) og M 2 (x 2, y 2), som ligger i det kartesiske koordinatsystemet.
I den kanoniske ligningen til en linje på et plan, med formen x - x 1 a x = y - y 1 a y, er et rektangulært koordinatsystem O x y spesifisert med en linje som skjærer med det i et punkt med koordinatene M 1 (x 1, y 1) med en ledevektor a → = (a x , a y) .
Det er nødvendig å lage en kanonisk ligning av en rett linje a, som vil gå gjennom to punkter med koordinatene M 1 (x 1, y 1) og M 2 (x 2, y 2).
Rett a har en retningsvektor M 1 M 2 → med koordinater (x 2 - x 1, y 2 - y 1), siden den skjærer punktene M 1 og M 2. Vi har fått de nødvendige dataene for å transformere den kanoniske ligningen med koordinatene til retningsvektoren M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) og koordinatene til punktene M 1 som ligger på dem (x 1, y 1) og M2 (x 2, y 2). Vi får en ligning av formen x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 eller x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1.
Tenk på figuren nedenfor.
Etter beregningene skriver vi ned de parametriske ligningene til en linje på et plan som går gjennom to punkter med koordinatene M 1 (x 1, y 1) og M 2 (x 2, y 2). Vi får en likning av formen x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ eller x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ .
La oss se nærmere på å løse flere eksempler.
Eksempel 1
Skriv ned ligningen til en rett linje som går gjennom 2 gitte punkter med koordinatene M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6.
Løsning
Den kanoniske ligningen for en linje som skjærer i to punkter med koordinatene x 1, y 1 og x 2, y 2 har formen x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. I henhold til betingelsene for oppgaven har vi at x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. Det er nødvendig å erstatte de numeriske verdiene i ligningen x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Herfra får vi at den kanoniske ligningen har formen x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.
Svar: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.
Hvis du trenger å løse et problem med en annen type ligning, kan du først gå til den kanoniske, siden det er lettere å komme fra den til en hvilken som helst annen.
Eksempel 2
Komponer den generelle ligningen for en rett linje som går gjennom punkter med koordinatene M 1 (1, 1) og M 2 (4, 2) i O x y-koordinatsystemet.
Løsning
Først må du skrive ned den kanoniske ligningen til en gitt linje som går gjennom gitte to punkter. Vi får en likning av formen x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .
La oss bringe den kanoniske ligningen til ønsket form, så får vi:
x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0
Svar: x-3 y + 2 = 0.
Eksempler på slike oppgaver ble diskutert i skolebøkene under algebratimene. Skoleproblemer skilte seg ved at ligningen av en rett linje med en vinkelkoeffisient var kjent, med formen y = k x + b. Hvis du trenger å finne verdien av helningen k og tallet b som ligningen y = k x + b definerer en linje for i O x y-systemet som går gjennom punktene M 1 (x 1, y 1) og M 2 ( x 2, y 2) , hvor x 1 ≠ x 2. Når x 1 = x 2 , så får vinkelkoeffisienten verdien av uendelig, og den rette linjen M 1 M 2 er definert av en generell ufullstendig ligning på formen x - x 1 = 0 .
Fordi poengene M 1 Og M 2 er på en rett linje, tilfredsstiller koordinatene deres ligningen y 1 = k x 1 + b og y 2 = k x 2 + b. Det er nødvendig å løse likningssystemet y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b for k og b.
For å gjøre dette finner vi k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 eller k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .
Med disse verdiene av k og b, blir ligningen til en linje som går gjennom de gitte to punktene y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 eller y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.
Det er umulig å huske et så stort antall formler på en gang. For å gjøre dette er det nødvendig å øke antall repetisjoner for å løse problemer.
Eksempel 3
Skriv ned ligningen til en rett linje med en vinkelkoeffisient som går gjennom punkter med koordinatene M 2 (2, 1) og y = k x + b.
Løsning
For å løse problemet bruker vi en formel med en vinkelkoeffisient på formen y = k x + b. Koeffisientene k og b må ha en slik verdi at denne ligningen tilsvarer en rett linje som går gjennom to punkter med koordinatene M 1 (- 7, - 5) og M 2 (2, 1).
Poeng M 1 Og M 2 er plassert på en rett linje, må deres koordinater gjøre ligningen y = k x + b til en sann likhet. Fra dette får vi at - 5 = k · (- 7) + b og 1 = k · 2 + b. La oss kombinere ligningen til systemet - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b og løse.
Ved bytte får vi det
5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3
Nå erstattes verdiene k = 2 3 og b = - 1 3 inn i ligningen y = k x + b. Vi finner at den nødvendige ligningen som går gjennom de gitte punktene vil være en ligning av formen y = 2 3 x - 1 3 .
Denne løsningsmetoden forutbestemmer sløsingen med mye tid. Det er en måte oppgaven løses i bokstavelig talt to trinn.
La oss skrive den kanoniske ligningen til linjen som går gjennom M 2 (2, 1) og M 1 (- 7, - 5), med formen x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5) ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .
La oss nå gå videre til helningsligningen. Vi får det: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.
Svar: y = 2 3 x - 1 3 .
Hvis det i tredimensjonalt rom er et rektangulært koordinatsystem O x y z med to gitte ikke-sammenfallende punkter med koordinatene M 1 (x 1, y 1, z 1) og M 2 (x 2, y 2, z 2), rett linje M som går gjennom dem 1 M 2, er det nødvendig å få ligningen til denne linjen.
Vi har at kanoniske likninger av formen x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z og parametriske likninger av formen x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ er i stand til å definere en linje i koordinatsystemet O x y z, som går gjennom punkter som har koordinater (x 1, y 1, z 1) med en retningsvektor a → = (a x, a y, a z).
Rett M 1 M 2 har en retningsvektor på formen M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1), der den rette linjen går gjennom punktet M 1 (x 1, y 1, z 1) og M 2 (x 2 , y 2 , z 2), derfor kan den kanoniske ligningen ha formen x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 eller x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, i sin tur parametrisk x = x 1 + (x 2 - x 1 ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ eller x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .
Tenk på en tegning som viser 2 gitte punkter i rommet og ligningen til en rett linje.
Eksempel 4
Skriv ligningen til en linje definert i et rektangulært koordinatsystem O x y z av tredimensjonalt rom, som går gjennom gitte to punkter med koordinatene M 1 (2, - 3, 0) og M 2 (1, - 3, - 5).
Løsning
Det er nødvendig å finne den kanoniske ligningen. Siden vi snakker om tredimensjonalt rom, betyr det at når en linje går gjennom gitte punkter, vil den ønskede kanoniske ligningen ha formen x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .
Som betingelse har vi at x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Det følger at de nødvendige ligningene vil bli skrevet som følger:
x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5
Svar: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.
Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter
La oss se på hvordan du lager en ligning for en linje som går gjennom to punkter ved å bruke eksempler.
Eksempel 1.
Skriv en likning for en rett linje som går gjennom punktene A(-3; 9) og B(2;-1).
Metode 1 - lag en ligning av en rett linje med en vinkelkoeffisient.
Ligningen av en rett linje med en vinkelkoeffisient har formen . Ved å erstatte koordinatene til punktene A og B i ligningen til den rette linjen (x= -3 og y=9 - i det første tilfellet, x=2 og y= -1 - i det andre), får vi et likningssystem hvorfra vi finner verdiene til k og b:
Legger vi 1. og 2. ligning ledd for ledd, får vi: -10=5k, hvorav k= -2. Ved å erstatte k= -2 i den andre ligningen finner vi b: -1=2·(-2)+b, b=3.
Dermed er y= -2x+3 den nødvendige ligningen.
Metode 2 - la oss lage en generell ligning av en rett linje.
Den generelle ligningen av en rett linje har formen . Ved å erstatte koordinatene til punktene A og B i ligningen, får vi systemet:
Siden antall ukjente er større enn antall ligninger, er systemet ikke løsbart. Men alle variabler kan uttrykkes gjennom én. For eksempel gjennom b.
Ved å multiplisere den første ligningen i systemet med -1 og legge til ledd for ledd med den andre:
vi får: 5a-10b=0. Derfor a=2b.
La oss erstatte det resulterende uttrykket i den andre ligningen: 2·2b -b+c=0; 3b+c=0; c= -3b.
Bytt inn a=2b, c= -3b i ligningen ax+by+c=0:
2bx+by-3b=0. Det gjenstår å dele begge sider med b:
Den generelle ligningen til en rett linje kan lett reduseres til ligningen til en rett linje med en vinkelkoeffisient:
Metode 3 - lag en ligning av en rett linje som går gjennom 2 punkter.
Ligningen til en linje som går gjennom to punkter er:
La oss erstatte koordinatene til punktene A(-3; 9) og B(2;-1) i denne ligningen
(det vil si x 1 = -3, y 1 =9, x 2 =2, y 2 = -1):
og forenkle:
hvorav 2x+y-3=0.
I skolekurs brukes oftest ligningen av en rett linje med en vinkelkoeffisient. Men den enkleste måten er å utlede og bruke formelen for ligningen til en linje som går gjennom to punkter.
Kommentar.
Hvis, når du erstatter koordinatene til gitte punkter, en av nevnerne i ligningen
viser seg å være lik null, så oppnås den nødvendige ligningen ved å likestille den tilsvarende telleren med null.
Eksempel 2.
Skriv en likning for en rett linje som går gjennom to punkter C(5; -2) og D(7;-2).
Vi erstatter koordinatene til punktene C og D i ligningen til en rett linje som går gjennom 2 punkter.
