Først, la oss se på teorien, så skal vi løse et par eksempler for å forsterke materialet på brøkekspansjon rasjonell funksjon for summen av enkle brøker. La oss se nærmere på metode for ubestemte koeffisienter Og delverdimetode, så vel som kombinasjonene deres.

De enkleste brøkene kalles ofte elementære brøker.

Følgende skilles ut: typer enkle brøker:

hvor A, M, N, a, p, q er tall, og diskriminanten til nevneren i brøk 3) og 4) er mindre enn null.

De kalles brøker av henholdsvis den første, andre, tredje og fjerde typen.

Hvorfor bryte ned brøker til deres enkleste form?

La oss gi en matematisk analogi. Ofte må man forenkle typen uttrykk slik at man kan utføre noen handlinger med den. Så representasjonen av en brøkrasjonell funksjon som summen av enkle brøker er omtrent den samme. Den brukes til å utvide funksjoner til kraftserier, Laurent-serier og selvfølgelig for å finne integraler.

For eksempel krever det at jeg tar integral av en rasjonell brøkfunksjon. Etter å ha dekomponert integranden i enkle brøker, kommer alt ned til ganske enkle integraler

Men om integraler i et annet avsnitt.

Eksempel.

Bryt ned brøken til sin enkleste form.

Løsning.

Generelt er forholdet mellom polynomer dekomponert i enkle brøker hvis graden av polynomet i telleren er mindre enn graden av polynomet i nevneren. Ellers, del først tellerpolynomet med nevnerpolynomet, og utfør først deretter utvidelsen av den korrekte rasjonelle brøkfunksjonen.

La oss gjøre inndelingen med en kolonne (hjørne):

Derfor vil den opprinnelige brøken ha formen:

Dermed vil vi utvide til enkle brøker

Algoritme for metoden for ubestemte koeffisienter.

for det første, faktoriserer vi nevneren.

I vårt eksempel er alt enkelt - vi setter x ut av parentes.


for det andre, er brøken som skal utvides representert som en sum av enkle brøker med usikre koeffisienter.

Her er det verdt å vurdere hvilke typer uttrykk du kan ha i nevneren din.

Nok teori, praksis er fortsatt klarere.

Det er på tide å gå tilbake til eksemplet. Fraksjonen dekomponeres i summen av enkle brøker av den første og tredje typen med ubestemte koeffisienter A, B og C.


Tredje, bringer vi den resulterende summen av enkle brøker med ubestemte koeffisienter til en fellesnevner og grupperer leddene i telleren med de samme potensene x.



Det vil si at vi kom til likestilling:


For x ikke-null reduseres denne likheten til likheten til to polynomer


Og to polynomer er like hvis og bare hvis koeffisientene til de samme potensene faller sammen.

Fjerde, setter vi likhetstegn mellom koeffisientene for de samme potensene til x.

I dette tilfellet får vi et system med lineære algebraiske ligninger med ubestemte koeffisienter som ukjente:


For det femte, løser vi det resulterende likningssystemet på hvilken som helst måte (om nødvendig, se artikkelen) som du liker, finner vi de ubestemte koeffisientene.


På sjette plass, skriv ned svaret.

Vær så snill, ikke vær lat, sjekk svaret ditt ved å bringe den resulterende utvidelsen til en fellesnevner.

Usikker koeffisientmetode er på en universell måte når de dekomponerer fraksjoner til enklere.

Det er veldig praktisk å bruke delverdimetoden hvis nevneren er et produkt av lineære faktorer, det vil si at den har en form som ligner på

La oss se på et eksempel for å vise fordelene med denne metoden.

Eksempel.

Utvid en brøkdel til det enkleste.

Løsning.

Siden graden av polynomet i telleren er mindre enn graden av polynomet i nevneren, trenger vi ikke å dele. La oss gå videre til å faktorisere nevneren.

La oss først ta x ut av parentes.

Vi finner røttene til et kvadratisk trinomium (for eksempel ved å bruke Vietas teorem):

Derfor kan det kvadratiske trinomium skrives som

Det vil si at nevneren vil ha formen

Med en gitt nevner blir den opprinnelige brøken dekomponert til summen av tre enkleste brøker av den første typen med ubestemte koeffisienter:

Vi bringer den resulterende summen til en fellesnevner, men vi åpner ikke parentesene i telleren og gir ikke lignende for A, B og C (på dette stadiet er dette nøyaktig forskjellen fra metoden med ubestemte koeffisienter):

Dermed kom vi til likestilling:

Og nå, for å finne de ubestemte koeffisientene, begynner vi å erstatte "delverdier" i den resulterende likheten, der nevneren går til null, det vil si x=0, x=2 og x=3 for vårt eksempel.

På x=0 vi har:

På x=2 vi har:

På x=3 vi har:

Svar:

Som du kan se, er forskjellen mellom metoden for ubestemte koeffisienter og metoden for delverdier bare i metoden for å finne ukjente. Disse metodene kan kombineres for å forenkle beregninger.

La oss se på et eksempel.

Eksempel.

Utvid brøkvis et rasjonelt uttrykk til enkle brøker.

Løsning.

Siden graden av tellerpolynomet er mindre enn graden av nevnerpolynomet og nevneren allerede er blitt faktorisert, vil det opprinnelige uttrykket presenteres som en sum av enkle brøker av følgende form:

La oss bringe det til en fellesnevner:

La oss sette likhetstegn mellom tellerne.

Åpenbart er nullene til nevneren verdiene x=1, x=-1 og x=3. Vi bruker delverdimetoden.

På x=1 vi har:

På x=-1 vi har:

På x=3 vi har:

Det gjenstår å finne de ukjente og

For å gjøre dette, erstatter vi de funnet verdiene med likheten mellom tellere:

Etter å ha åpnet parentesene og tatt med lignende termer med samme potenser av x, kommer vi til likheten til to polynomer:

Vi setter likhetstegn mellom de tilsvarende koeffisientene ved de samme grader, og kompilerer dermed et system av ligninger for å finne de gjenværende ukjente og . Vi får et system med fem ligninger med to ukjente:

Fra den første likningen finner vi umiddelbart, fra den andre likningen

Som et resultat får vi dekomponeringen til enkle brøker:

Merk.

Hvis vi umiddelbart bestemte oss for å bruke metoden med ubestemte koeffisienter, ville vi måtte løse et system med fem lineære algebraiske ligninger med fem ukjente. Bruken av delverdimetoden gjorde det mulig å enkelt finne verdiene til tre av fem ukjente, noe som i stor grad forenklet den videre løsningen.

Integrasjon av en brøk-rasjonell funksjon.
Usikker koeffisientmetode

Vi jobber videre med å integrere brøker. Vi har allerede sett på integraler av noen typer brøker i leksjonen, og denne leksjonen kan på en måte betraktes som en fortsettelse. For å lykkes med å forstå materialet, kreves grunnleggende integreringsferdigheter, så hvis du nettopp har begynt å studere integraler, det vil si at du er nybegynner, må du begynne med artikkelen Ubestemt integral. Eksempler på løsninger.

Merkelig nok, nå skal vi ikke være så mye engasjert i å finne integraler, men... i å løse systemer lineære ligninger. I denne forbindelse snarest Jeg anbefaler å delta på leksjonen Du må nemlig være godt kjent med substitusjonsmetoder («skolen»-metoden og metoden for term-for-term addisjon (subtraksjon) av systemligninger.

Hva er en rasjonell brøkfunksjon? Med enkle ord, er en brøkrasjonal funksjon en brøk hvis teller og nevner inneholder polynomer eller produkter av polynomer. Dessuten er fraksjonene mer sofistikerte enn de som er omtalt i artikkelen Integrering av noen brøker.

Integrering av en riktig brøk-rasjonell funksjon

Umiddelbart et eksempel og en typisk algoritme for å løse integralet til en brøk-rasjonell funksjon.

Eksempel 1

Trinn 1. Det første vi ALLTID gjør når vi løser et integral av en rasjonell brøkfunksjon er å avklare følgende spørsmål: er brøken riktig? Dette trinnet utføres verbalt, og nå vil jeg forklare hvordan:

Først ser vi på telleren og finner ut senior grad polynom:

Den ledende potensen til telleren er to.

Nå ser vi på nevneren og finner ut senior grad nevner. Den åpenbare måten er å åpne parentesene og ta med lignende termer, men du kan gjøre det enklere, i Hver finne høyeste grad i parentes

og multipliser mentalt: - dermed er den høyeste graden av nevneren lik tre. Det er helt åpenbart at hvis vi faktisk åpner parentesene, får vi ikke en grad større enn tre.

Konklusjon: Stor grad av teller STRENGT er mindre enn den høyeste potensen av nevneren, som betyr at brøken er riktig.

Hvis i i dette eksemplet telleren inneholdt polynomet 3, 4, 5 osv. grader, så ville brøkdelen vært feil.

Nå vil vi bare vurdere de riktige rasjonelle brøkfunksjonene. Tilfellet når graden av telleren er større enn eller lik graden av nevneren vil bli diskutert på slutten av leksjonen.

Steg 2. La oss faktorisere nevneren. La oss se på nevneren vår:

Generelt sett er dette allerede et produkt av faktorer, men likevel spør vi oss selv: er det mulig å utvide noe annet? Gjenstanden for tortur vil utvilsomt være det kvadratiske trinomialet. Løse den andregradsligningen:

Diskriminanten er større enn null, noe som betyr at trinomialet virkelig kan faktoriseres:

Generell regel: ALT som KAN tas med i nevneren - vi faktoriserer det

La oss begynne å formulere en løsning:

Trinn 3. Ved å bruke metoden med ubestemte koeffisienter utvider vi integranden til en sum av enkle (elementære) brøker. Nå blir det klarere.

La oss se på integrand-funksjonen vår:

Og du vet, på en eller annen måte dukker det opp en intuitiv tanke om at det ville være fint å gjøre vår store brøkdel om til flere små. For eksempel slik:

Spørsmålet oppstår, er det i det hele tatt mulig å gjøre dette? La oss puste lettet ut, sier den tilsvarende teoremet for matematisk analyse – DET ER MULIG. En slik dekomponering eksisterer og er unik.

Det er bare en hake, oddsen er Ha det Vi vet ikke, derav navnet - metoden for ubestemte koeffisienter.

Som du gjettet, er påfølgende kroppsbevegelser sånn, ikke kakel! vil være rettet mot å bare ANKENNE dem - for å finne ut hva de er likeverdige med.

Vær forsiktig, jeg vil forklare i detalj bare én gang!

Så, la oss begynne å danse fra:

På venstre side reduserer vi uttrykket til en fellesnevner:

Nå kan vi trygt kvitte oss med nevnerne (siden de er like):

På venstre side åpner vi parentesene, men berør ikke de ukjente koeffisientene foreløpig:

Samtidig gjentar vi skoleregelen for multiplisering av polynomer. Da jeg var lærer, lærte jeg å uttale denne regelen med rett ansikt: For å multiplisere et polynom med et polynom, må du multiplisere hvert ledd i ett polynom med hvert ledd i det andre polynomet.

Fra synspunktet til en klar forklaring er det bedre å sette koeffisientene i parentes (selv om jeg personlig aldri gjør dette for å spare tid):

Vi lager et system med lineære ligninger.
Først ser vi etter seniorgrader:

Og vi skriver de tilsvarende koeffisientene inn i den første ligningen av systemet:

Husk følgende punkt godt. Hva ville skje hvis det ikke var noen s på høyre side i det hele tatt? La oss si, ville det bare vise seg uten noen firkant? I dette tilfellet, i systemets ligning, vil det være nødvendig å sette en null til høyre: . Hvorfor null? Men fordi du på høyre side alltid kan tilordne denne samme firkanten med null: Hvis det på høyre side ikke er noen variabler og/eller et fritt ledd, så setter vi nuller på høyre side av de tilsvarende likningene i systemet.

Vi skriver de tilsvarende koeffisientene inn i den andre ligningen av systemet:

Og til slutt, mineralvann, velger vi gratis medlemmer.

Eh, jeg tullet på en eller annen måte. Spøk til side - matematikk er en seriøs vitenskap. I vår instituttgruppe var det ingen som lo da adjunkten sa at hun ville spre begrepene langs talllinjen og velge de største. La oss bli seriøse. Selv om... den som lever for å se slutten av denne leksjonen vil fortsatt smile stille.

Systemet er klart:

Vi løser systemet:

(1) Fra den første likningen uttrykker og erstatter vi den med 2. og 3. likning i systemet. Faktisk var det mulig å uttrykke (eller en annen bokstav) fra en annen ligning, men i i dette tilfellet det er fordelaktig å uttrykke nøyaktig fra 1. ligning, siden der den minste oddsen.

(2) Vi presenterer lignende termer i 2. og 3. likning.

(3) Vi legger til 2. og 3. ligning termin for ledd, og oppnår likheten , hvorfra det følger at

(4) Vi bytter inn i den andre (eller tredje) ligningen, hvorfra vi finner det

(5) Erstatt og inn i den første ligningen, oppnå .

Hvis du har noen problemer med metodene for å løse systemet, øv på dem i klassen. Hvordan løse et system med lineære ligninger?

Etter å ha løst systemet, er det alltid nyttig å sjekke - erstatte de funnet verdiene hver systemets ligning, som et resultat bør alt "konvergere".

Nesten der. Koeffisientene ble funnet, og:

Den ferdige jobben skal se omtrent slik ut:

Som du kan se, var hovedvanskeligheten med oppgaven å komponere (riktig!) og løse (riktig!) et system med lineære ligninger. Og i sluttfasen er ikke alt så vanskelig: vi bruker linearitetsegenskapene til det ubestemte integralet og integrerer. Vær oppmerksom på at under hver av de tre integralene har vi "gratis" kompleks funksjon, snakket jeg om funksjonene ved integreringen i klassen Variabel endringsmetode i ubestemt integral.

Sjekk: Differentier svaret:

Den opprinnelige integrandfunksjonen er oppnådd, noe som betyr at integralet er funnet riktig.
Under verifikasjonen måtte vi redusere uttrykket til en fellesnevner, og dette er ikke tilfeldig. Metoden med ubestemte koeffisienter og å redusere et uttrykk til en fellesnevner er gjensidig inverse handlinger.

Eksempel 2

Finn det ubestemte integralet.

La oss gå tilbake til brøken fra det første eksemplet: . Det er lett å legge merke til at i nevneren er alle faktorene ULIKE. Spørsmålet oppstår, hva du skal gjøre hvis for eksempel følgende brøk er gitt: ? Her har vi grader i nevneren, eller, matematisk, multipler. I tillegg er det et kvadratisk trinomium som ikke kan faktoriseres (det er lett å verifisere at diskriminanten til ligningen er negativ, så trinomialet kan ikke faktoriseres). Hva å gjøre? Utvidelsen til en sum av elementære brøker vil se omtrent slik ut med ukjente koeffisienter på toppen eller noe annet?

Eksempel 3

Introduser en funksjon

Trinn 1. Sjekker om vi har en skikkelig brøkdel
Hovedteller: 2
Høyeste grad av nevner: 8
, som betyr at brøken er riktig.

Steg 2. Er det mulig å faktorisere noe i nevneren? Åpenbart ikke, alt er allerede lagt ut. Det kvadratiske trinomialet kan ikke utvides til et produkt av grunnene nevnt ovenfor. Hette. Mindre arbeid.

Trinn 3. La oss forestille oss en brøk-rasjonell funksjon som en sum av elementære brøker.
I dette tilfellet har utvidelsen følgende form:

La oss se på nevneren vår:
Når du dekomponerer en brøk-rasjonell funksjon til en sum av elementære brøker, kan tre grunnleggende punkter skilles:

1) Hvis nevneren inneholder en "ensom" faktor til første potens (i vårt tilfelle), så setter vi en ubestemt koeffisient øverst (i vårt tilfelle). Eksemplene nr. 1, 2 besto kun av slike «ensomme» faktorer.

2) Hvis nevneren har flere multiplikator, så må du dekomponere den slik:
- det vil si, gå sekvensielt gjennom alle gradene av "X" fra første til n'te grad. I vårt eksempel er det to flere faktorer: og , ta en ny titt på utvidelsen jeg ga og sørg for at de utvides nøyaktig i henhold til denne regelen.

3) Hvis nevneren inneholder et uoppløselig polynom av andre grad (i vårt tilfelle), må du skrive en lineær funksjon med ubestemte koeffisienter når du dekomponerer i telleren (i vårt tilfelle med ubestemte koeffisienter og ).

Faktisk er det et annet fjerde tilfelle, men jeg vil tie om det, siden det i praksis er ekstremt sjeldent.

Eksempel 4

Introduser en funksjon som en sum av elementære brøker med ukjente koeffisienter.

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Full løsning og svar på slutten av timen.
Følg algoritmen strengt!

Hvis du forstår prinsippene som du trenger for å utvide en brøk-rasjonell funksjon til en sum, kan du tygge gjennom nesten hvilken som helst integral av typen som vurderes.

Eksempel 5

Finn det ubestemte integralet.

Trinn 1. Brøken er åpenbart riktig:

Steg 2. Er det mulig å faktorisere noe i nevneren? Kan. Her er summen av kuber . Faktor nevneren ved å bruke den forkortede multiplikasjonsformelen

Trinn 3. Ved å bruke metoden med ubestemte koeffisienter utvider vi integranden til en sum av elementære brøker:

Vær oppmerksom på at polynomet ikke kan faktoriseres (sjekk at diskriminanten er negativ), så øverst setter vi en lineær funksjon med ukjente koeffisienter, og ikke bare én bokstav.

Vi bringer brøken til en fellesnevner:

La oss komponere og løse systemet:

(1) Vi uttrykker fra den første likningen og erstatter den med den andre likningen i systemet (dette er den mest rasjonelle måten).

(2) Vi presenterer lignende termer i den andre ligningen.

(3) Vi legger til andre og tredje likning av systemet ledd for ledd.

Alle videre beregninger er i prinsippet muntlige, siden systemet er enkelt.

(1) Vi skriver ned summen av brøker i samsvar med de funnet koeffisientene.

(2) Vi bruker linearitetsegenskapene til det ubestemte integralet. Hva skjedde i den andre integralen? Du kan gjøre deg kjent med denne metoden i siste avsnitt av leksjonen. Integrering av noen brøker.

(3) Igjen bruker vi egenskapene til linearitet. I den tredje integralen begynner vi å isolere hele kvadratet (nest siste avsnitt i leksjonen Integrering av noen brøker).

(4) Vi tar det andre integralet, i det tredje velger vi hele kvadratet.

(5) Ta den tredje integralen. Klar.

Hilsen alle sammen, kjære venner!

Vel, gratulerer! Vi har trygt nådd hovedmaterialet i integreringen av rasjonelle brøker - metode for usikre koeffisienter. Stor og mektig.) Hva er hans majestet og makt? Og det ligger i dens allsidighet. Det er fornuftig å sjekke det ut, ikke sant? Jeg advarer deg om at det vil være flere leksjoner om dette emnet. Fordi emnet er veldig langt, og materialet er ekstremt viktig.)

Jeg vil si med en gang at i dagens leksjon (og de påfølgende også) vil vi ikke håndtere integrering så mye, men... løse systemer av lineære ligninger! Ja Ja! Så de som har problemer med systemer, gjentar matrisene, determinantene og Cramers metode. Og for de kameratene som har problemer med matriser, oppfordrer jeg dere i verste fall til å friske opp minnet om i det minste "skole"-metodene for å løse systemer - substitusjonsmetoden og term-for-term addisjon/subtraksjonsmetoden.

For å begynne vårt bekjentskap, la oss spole filmen litt tilbake. La oss kort gå tilbake til tidligere leksjoner og analysere alle brøkene vi integrerte før. Direkte, uten noen metode for ubestemte koeffisienter! Her er de, disse brøkene. Jeg sorterte dem i tre grupper.

Gruppe 1

I nevneren - lineær funksjon enten på egen hånd eller til en grad. Med et ord, nevneren er produktet identisk parentes av skjemaet (ha).

For eksempel:

(x+4) 1 = (x+4)

(x-10) 2 = (x-10)(x-10)

(2x+5) 3 = (2x+5)(2x+5)(2x+5)

Og så videre. Forresten, ikke la parentesene forvirre deg (4x+5) eller (2x+5) 3 med koeffisient k innsiden. Disse er fortsatt, i sin kjerne, parenteser av skjemaet (ha). For dette er mest k fra slike braketter kan du alltid ta den ut.

Som dette:

Det er alt.) Og det spiller ingen rolle hva som står i telleren - bare dx eller et slags polynom. Vi utvidet alltid telleren i potenser av braketten (x-a), gjorde den store brøkdelen til summen av små, plasserte (der det var nødvendig) en parentes under differensialen og integrert.

Gruppe 2

Hva har disse brøkene til felles?

Og det felles er at i alle nevner er det kvadratisk trinomium øks 2 + bx+ c. Men ikke bare, nemlig i ett eksemplar. Og det spiller ingen rolle her om diskriminanten hans er positiv eller negativ.

Slike brøker ble alltid integrert på en av to måter - enten ved å utvide telleren til potenser av nevneren, eller ved å isolere det perfekte kvadratet i nevneren og deretter erstatte variabelen. Alt avhenger av den spesifikke integranden.

Gruppe 3

Dette var de verste fraksjonene å integrere. Nevneren inneholder et uoppløselig kvadratisk trinomium, og til og med til en viss grad n. Men igjen, i ett eksemplar. Fordi, foruten trinomialet, er det ingen andre faktorer i nevneren. Slike fraksjoner ble integrert over . Enten direkte, eller redusert til det etter isolering av det perfekte kvadratet i nevneren og påfølgende erstatning av variabelen.

Imidlertid er dessverre ikke hele den rike variasjonen av rasjonelle fraksjoner begrenset til bare disse tre gruppene som vurderes.

Men hva om nevneren er annerledes parentes? For eksempel noe som:

(x-1)(x+1)(x+2)

Eller samtidig en parentes (ha) og et kvadratisk trinomium, noe sånt som (x-10)(x 2 -2x+17)? Og i andre lignende tilfeller? Det er nettopp i slike tilfeller det kommer til unnsetning metode for usikre koeffisienter!

Jeg vil si med en gang: foreløpig skal vi bare jobbe med riktig i brøkdeler. De hvis tellergrad er strengt tatt mindre enn nevnergraden. Hvordan man håndterer uekte brøker er beskrevet i detalj i Brøker. Det er nødvendig å velge hele delen (polynom). Ved å dele telleren med nevneren med et hjørne eller ved å dekomponere telleren - som du ønsker. Og til og med eksemplet er analysert. Og du vil på en eller annen måte integrere polynomet. Ikke liten allerede.) Men vi skal også løse eksempler på uekte brøker!

Og nå begynner vi å bli kjent. I motsetning til de fleste lærebøker om høyere matematikk, vil vi ikke begynne vårt bekjentskap med en tørr og tung teori om algebras grunnleggende teorem, Bezouts teorem, om dekomponering rasjonell brøk summen av de enkleste (mer om disse brøkene senere) og andre kjedelige ting, men vi starter med et enkelt eksempel.

For eksempel må vi finne følgende ubestemte integral:

Se først på integranden. Nevneren er produktet av tre parenteser:

(x-1)(x+3)(x+5)

Og alle parentesene annerledes. Derfor vår gammel teknologi med utvidelse av telleren til potenser av nevneren denne gangen fungerer det ikke lenger: hvilken parentes skal markeres i telleren? (x-1)? (x+3)? Det er ikke klart... Å velge et helt kvadrat i nevneren er heller ikke en god idé: det er et polynom der tredje grader (hvis du multipliserer alle parentesene). Hva å gjøre?

Når man ser på brøkdelen vår, oppstår det et helt naturlig ønske... Rett og slett uimotståelig! Fra vår store brøkdel, som ubehagelig integrere, på en eller annen måte lage tre små. I det minste slik:

Hvorfor bør du se etter akkurat denne arten? Og alt fordi vår første brøk allerede er i denne formen beleilig for integrering! La oss summere nevneren til hver liten brøkdel og - fremover.)

Er det i det hele tatt mulig å få en slik dekomponering? Gode ​​nyheter! Det tilsvarende teoremet i matematikk sier - Ja det kan du! En slik dekomponering eksisterer og er unik.

Men det er ett problem: koeffisientene EN, I Og MED Vi Ha det vi vet ikke. Og nå blir hovedoppgaven vår identifisere dem. Finn ut hva bokstavene våre er lik EN, I Og MED. Derav navnet - metoden usikker koeffisienter La oss begynne vår fantastiske reise!

Så vi har en likhet som får oss til å danse:

La oss bringe alle tre brøkene til høyre til en fellesnevner og legge til:

Nå kan vi trygt forkaste nevnerne (siden de er like) og ganske enkelt sette likhetstegn mellom tellerne. Alt er som vanlig

Neste steg åpne alle parenteser(koeffisienter EN, I Og MED Ha det bedre å la den stå utenfor):

Og nå (viktig!) stiller vi opp hele strukturen vår til høyre etter ansiennitet av grader: først samler vi alle begrepene med x 2 i en haug, så bare med x og til slutt samler vi de frie vilkårene. Faktisk presenterer vi ganske enkelt lignende og grupperer begrepene etter potenser av x.

Som dette:

La oss nå forstå resultatet. Til venstre er vårt opprinnelige polynom. Andre grad. Telleren til integranden vår. Til høyre også et eller annet polynom av andre grad. Nese ukjente koeffisienter. Denne likestillingen må være gyldig når alle gyldige verdier av x. Brøkene til venstre og høyre var de samme (i henhold til vår tilstand)! Dette betyr at de teller og (dvs. polynomene våre) er også de samme. Derfor koeffisientene ved samme potenser av x disse polynomene må ha vær likeverdig!

Vi starter med høyeste grad. Fra torget. La oss se hva slags koeffisienter vi har X 2 venstre og høyre. Til høyre har vi summen av koeffisientene A+B+C, og til venstre er en toer. Slik blir vår første ligning født.

Vi skriver ned:

A+B+C = 2

Spise. Den første ligningen er klar.)

Deretter følger vi en avtagende bane - vi ser på termer med X til første potens. Til høyre ved X har vi 8A+4B+2C. Fint. Og hva har vi med X-en til venstre? Hm... Til venstre er det ikke noe begrep med X i det hele tatt! Det er bare 2x 2 - 3. Hva skal jeg gjøre? Veldig enkelt! Dette betyr at koeffisienten til x til venstre er lik null! Vi kan skrive venstre side slik:

Og hva? Vi har all rett.) Derfor ser den andre ligningen slik ut:

8 EN+4 B+2 C = 0

Vel, det er praktisk talt alt. Det gjenstår å sidestille de gratis vilkårene:

15A-5B-3C = -3

Med et ord, likestilling av koeffisienter for de samme potensene til x skjer i henhold til følgende skjema:

Alle tre likestillingene våre må tilfredsstilles samtidig. Derfor setter vi sammen et system fra våre skrevne ligninger:

Systemet er ikke det vanskeligste for en flittig elev – tre likninger og tre ukjente. Bestem deg som du vil. Du kan bruke Cramer-metoden gjennom matriser med determinanter, du kan bruke Gauss-metoden, du kan til og med bruke vanlig skolesubstitusjon.

Til å begynne med skal jeg løse dette systemet slik kulturstudenter vanligvis løser slike systemer. Nemlig å bruke Cramer-metoden.

Vi begynner løsningen med å lage en systemmatrise. La meg minne deg på at denne matrisen bare er et nettbrett som består av koeffisienter for ukjente.

Her er hun:

Først av alt, la oss beregne determinant for systemmatrisen. Eller kort sagt, systemdeterminant. Det er vanligvis betegnet med den greske bokstaven ∆ ("delta"):

Flott, systemdeterminanten er ikke null (-48≠0) . Fra teorien om systemer av lineære ligninger betyr dette faktum at systemet vårt er konsistent og har en unik løsning.

Neste trinn er å beregne determinanter for ukjente ∆A, ∆B, ∆C. La meg minne deg på at hver av disse tre determinantene er hentet fra hoveddeterminanten til systemet ved å erstatte kolonnene med koeffisienter for de tilsvarende ukjente med en kolonne med frie termer.

Så vi lager determinantene og beregner:

Jeg vil ikke forklare i detalj teknikken for å beregne tredjeordens determinanter her. Og ikke spør. Dette vil være et fullstendig avvik fra temaet.) De som er inne på temaet forstår hva vi snakker om. Og kanskje du allerede har gjettet nøyaktig hvordan jeg beregnet disse tre determinantene.)

Det er det, alt er klart.)

Slik løser kulturstudenter vanligvis systemer. Men... Ikke alle elever er venner med kvalifiseringer. Dessverre. For noen disse enkle konsepter høyere matematikk vil for alltid forbli en kinesisk bokstav og et mystisk monster i tåken...

Vel, spesielt for slike ukulturerte studenter, foreslår jeg en mer kjent løsning - metode for sekvensiell eliminering av ukjente. Faktisk er dette en avansert "skole"-substitusjonsmetode. Det blir bare flere trinn.) Men essensen er den samme. Det første jeg skal gjøre er å eliminere variabelen MED. For å gjøre dette vil jeg uttrykke MED fra den første ligningen og bytt den inn i den andre og tredje:

Vi forenkler, tar med lignende og får et nytt system, allerede med to ukjent:

Nå, i dette nytt system, er det også mulig å uttrykke en av variablene i form av en annen. Men de mest oppmerksomme elevene vil nok legge merke til at koeffisientene foran variabelen B – motsatte. To og minus to. Derfor vil det være veldig praktisk å legge begge likningene sammen for å eliminere variabelen I og la bare brevet ligge EN.

Vi legger til venstre og høyre del, forkorter mentalt 2B Og -2B og løse ligningen kun relativ EN:

Spise. Den første koeffisienten ble funnet: A = -1/24.

Bestem den andre koeffisienten I. For eksempel, fra den øverste ligningen:

Herfra får vi:

Flott. Den andre koeffisienten ble også funnet: B = -15/8 . Det er fortsatt et brev igjen MED. For å bestemme den bruker vi den øverste ligningen, der vi uttrykker den gjennom EN Og I:

Så:

OK, det er over nå. Ukjente odds funnet! Det spiller ingen rolle om det er gjennom Cramer eller gjennom bytte. Hoved, Ikke sant funnet.)

Derfor vil vår dekomponering av en stor brøkdel til summen av små se slik ut:

Og ikke la de resulterende brøkkoeffisientene forvirre deg: i denne prosedyren (metoden for ubestemte koeffisienter) er dette det vanligste fenomenet. :)

Nå er det svært tilrådelig å sjekke om vi fant koeffisientene våre riktig EN, B Og MED. Derfor tar vi nå utkastet og husker åttende klasse - vi legger tilbake alle tre små brøkene våre.

Hvis vi får den opprinnelige store brøken, er alt i orden. Nei - det betyr å slå meg og se etter en feil.

Fellesnevneren vil åpenbart være 24(x-1)(x+3)(x+5).

Gå:

Ja!!! Vi fikk den opprinnelige brøken. Noe som måtte sjekkes. Alt er bra. Så vær så snill, ikke slå meg.)

La oss nå gå tilbake til vår opprinnelige integral. Han har ikke blitt lettere i løpet av denne tiden, ja. Men nå som vår brøkdel har blitt dekomponert til en sum av små, har det blitt en sann fornøyelse å integrere den!

Se for deg selv! Vi setter utvidelsen vår inn i den originale integralen.

Vi får:

Vi bruker egenskapene til linearitet og deler vårt store integral i en sum av små, og plasserer alle konstanter utenfor integraltegnene.

Vi får:

Og de resulterende tre små integralene er allerede enkle å ta .

Vi fortsetter integreringen:

Det er alt.) Og i denne leksjonen, ikke spør meg hvor logaritmene i svaret kom fra! Alle som husker vet og vil forstå alt. Og for de som ikke husker, følger vi lenkene. Jeg legger dem ikke bare der.

Endelig svar:

Her er en så vakker treenighet: tre logaritmer - en feiging, en erfaren en og en dunce. :) Og prøv, gjett et så vanskelig svar på farten! Bare metoden med ubestemte koeffisienter hjelper, ja.) Faktisk ser vi på dette for dette formålet. Hva, hvordan og hvor.

Som treningsøvelse, Jeg foreslår at du praktiserer metoden og integrerer denne brøken:

Øv, finn integralet, ikke finn det vanskelig! Svaret bør være noe sånt som dette:

Metoden med ubestemte koeffisienter er en kraftig ting. Den sparer selv i den mest håpløse situasjon, når du uansett konverterer en brøkdel. Og her kan det ha oppstått noen oppmerksomme og interesserte lesere hele linjen spørsmål:

- Hva gjør man hvis polynomet i nevneren ikke er faktorisert i det hele tatt?

– HVORDAN skal man se etter dekomponeringen av enhver stor rasjonell brøk til summen av små? I noen form? Hvorfor akkurat dette og ikke det?

- Hva skal jeg gjøre hvis det er flere faktorer i utvidelsen av nevneren? Eller parentes i potenser som (x-1) 2? I hvilken form skal vi se etter nedbrytning?

- Hva skal man gjøre hvis nevneren i tillegg til enkle parenteser av formen (x-a) samtidig inneholder et uoppløselig kvadratisk trinomium? La oss si x 2 +4x+5? I hvilken form skal vi se etter nedbrytning?

Vel, tiden er inne for å forstå hvor bena vokser fra. I de neste leksjonene.)