Løs ligningsaksen. Online kalkulator for irrasjonelle ligninger

En ligning med en ukjent, som, etter å ha åpnet parentesene og tatt med lignende termer, tar formen

ax + b = 0, hvor a og b er vilkårlige tall, kalles lineær ligning med en ukjent. I dag skal vi finne ut hvordan vi løser disse lineære ligningene.

For eksempel, alle ligninger:

2x + 3= 7 – 0,5x; 0,3x = 0; x/2 + 3 = 1/2 (x – 2) - lineær.

Verdien av det ukjente som gjør ligningen til en ekte likhet kalles beslutning eller roten til ligningen .

For eksempel, hvis vi i ligningen 3x + 7 = 13 i stedet for den ukjente x erstatter tallet 2, får vi riktig likhet 3 2 +7 = 13. Dette betyr at verdien x = 2 er løsningen eller roten av ligningen.

Og verdien x = 3 gjør ikke ligningen 3x + 7 = 13 til en sann likhet, siden 3 2 +7 ≠ 13. Dette betyr at verdien x = 3 ikke er en løsning eller en rot av ligningen.

Løsning av evt lineære ligninger reduserer til å løse formlikninger

ax + b = 0.

La oss flytte frileddet fra venstre side av ligningen til høyre, endre tegnet foran b til det motsatte, vi får

Hvis a ≠ 0, så er x = ‒ b/a .

Eksempel 1. Løs ligningen 3x + 2 =11.

La oss flytte 2 fra venstre side av ligningen til høyre, endre tegnet foran 2 til det motsatte, vi får
3x = 11 – 2.

La oss gjøre subtraksjonen, da
3x = 9.

For å finne x må du dele produktet med en kjent faktor, altså
x = 9:3.

Dette betyr at verdien x = 3 er løsningen eller roten av ligningen.

Svar: x = 3.

Hvis a = 0 og b = 0, da får vi likningen 0x = 0. Denne likningen har uendelig mange løsninger, siden når vi multipliserer et hvilket som helst tall med 0 får vi 0, men b er også lik 0. Løsningen til denne likningen er et hvilket som helst tall.

Eksempel 2. Løs ligningen 5(x – 3) + 2 = 3 (x – 4) + 2x ‒ 1.

La oss utvide parentesene:
5x – 15 + 2 = 3x – 12 + 2x ‒ 1.

5x – 3x ‒ 2x = – 12 ‒ 1 + 15 ‒ 2.

Her er noen lignende termer:
0x = 0.

Svar: x - et hvilket som helst tall.

Hvis a = 0 og b ≠ 0, da får vi ligningen 0х = - b. Denne ligningen har ingen løsninger, siden når vi multipliserer et hvilket som helst tall med 0, får vi 0, men b ≠ 0.

Eksempel 3. Løs ligningen x + 8 = x + 5.

La oss gruppere termer som inneholder ukjente på venstre side, og gratis termer på høyre side:
x – x = 5 – 8.

Her er noen lignende termer:
0х = ‒ 3.

Svar: ingen løsninger.

På Figur 1 viser et diagram for å løse en lineær ligning

La oss komponere generell ordning løse likninger med én variabel. La oss vurdere løsningen til eksempel 4.

Eksempel 4. Anta at vi må løse ligningen

1) Multipliser alle ledd i ligningen med det minste felles multiplum av nevnerne, lik 12.

2) Etter reduksjon får vi
4 (x – 4) + 3 2 (x + 1) ‒ 12 = 6 5 (x – 3) + 24x – 2 (11x + 43)

3) For å skille vilkår som inneholder ukjente og gratis vilkår, åpne parentesene:
4x – 16 + 6x + 6 – 12 = 30x – 90 + 24x – 22x – 86.

4) La oss gruppere i den ene delen termene som inneholder ukjente, og i den andre - gratis termer:
4x + 6x – 30x – 24x + 22x = ‒ 90 – 86 + 16 – 6 + 12.

5) La oss presentere lignende termer:
- 22х = - 154.

6) Del med – 22, vi får
x = 7.

Som du kan se, er roten av ligningen syv.

Generelt slik ligninger kan løses ved hjelp av følgende skjema:

a) bringe ligningen til sin heltallsform;

b) åpne brakettene;

c) gruppere begrepene som inneholder det ukjente i den ene delen av ligningen, og de frie begrepene i den andre;

d) ta med lignende medlemmer;

e) løs en ligning av formen aх = b, som ble oppnådd etter å ha brakt lignende ledd.

Denne ordningen er imidlertid ikke nødvendig for hver ligning. Når du løser mange enklere ligninger, må du ikke starte fra den første, men fra den andre ( Eksempel. 2), tredje ( Eksempel. 1. 3) og til og med fra det femte trinnet, som i eksempel 5.

Eksempel 5. Løs ligningen 2x = 1/4.

Finn den ukjente x = 1/4: 2,
x = 1/8 .

La oss se på å løse noen lineære ligninger funnet i hovedtilstandseksamenen.

Eksempel 6. Løs ligningen 2 (x + 3) = 5 – 6x.

2x + 6 = 5 – 6x

2x + 6x = 5 – 6

Svar: - 0,125

Eksempel 7. Løs ligningen – 6 (5 – 3x) = 8x – 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x – 8x = – 7 +30

Svar: 2.3

Eksempel 8. Løs ligningen

3(3x – 4) = 4 7x + 24

9x – 12 = 28x + 24

9x – 28x = 24 + 12

Eksempel 9. Finn f(6) hvis f (x + 2) = 3 7-er

Løsning

Siden vi trenger å finne f(6), og vi vet f (x + 2),
deretter x + 2 = 6.

Vi løser den lineære ligningen x + 2 = 6,
vi får x = 6 – 2, x = 4.

Hvis x = 4 så
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Svar: 27.

Hvis du fortsatt har spørsmål eller ønsker å forstå løsningen av ligninger mer grundig, meld deg på timene mine i SCHEMA. Jeg hjelper deg gjerne!

TutorOnline anbefaler også å se en ny videoleksjon fra vår veileder Olga Alexandrovna, som vil hjelpe deg å forstå både lineære ligninger og andre.

nettsiden, ved kopiering av materiale helt eller delvis, kreves en lenke til originalkilden.

Andregradsligninger studeres i 8. klasse, så det er ikke noe komplisert her. Evnen til å løse dem er helt nødvendig.

En andregradsligning er en ligning av formen ax 2 + bx + c = 0, hvor koeffisientene a, b og c er vilkårlige tall, og a ≠ 0.

Før du studerer spesifikke løsningsmetoder, merk at alle kvadratiske ligninger kan deles inn i tre klasser:

1. Har ingen røtter;
2. Ha nøyaktig én rot;
3. De har to forskjellige røtter.

Dette er en viktig forskjell mellom kvadratiske ligninger og lineære, der roten alltid eksisterer og er unik. Hvordan bestemme hvor mange røtter en ligning har? Det er en fantastisk ting for dette - diskriminerende.

Diskriminerende

La andregradsligningen ax 2 + bx + c = 0 gis Da er diskriminanten ganske enkelt tallet D = b 2 − 4ac.

Du må kunne denne formelen utenat. Hvor det kommer fra er ikke viktig nå. En annen ting er viktig: ved fortegnet til diskriminanten kan du bestemme hvor mange røtter en kvadratisk ligning har. Nemlig:

1. Hvis D< 0, корней нет;
2. Hvis D = 0, er det nøyaktig én rot;
3. Hvis D > 0, vil det være to røtter.

Vær oppmerksom på: diskriminanten indikerer antall røtter, og ikke i det hele tatt deres tegn, som mange av en eller annen grunn tror. Ta en titt på eksemplene og du vil forstå alt selv:

Oppgave. Hvor mange røtter har kvadratiske ligninger:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

La oss skrive ut koeffisientene for den første ligningen og finne diskriminanten:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Så diskriminanten er positiv, så ligningen har to forskjellige røtter. Vi analyserer den andre ligningen på en lignende måte:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

Diskriminanten er negativ, det er ingen røtter. Den siste ligningen som er igjen er:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminerende lik null– det blir én rot.

Vær oppmerksom på at koeffisienter er skrevet ned for hver ligning. Ja, det er langt, ja, det er kjedelig, men du vil ikke blande oddsen og gjøre dumme feil. Velg selv: hastighet eller kvalitet.

Forresten, hvis du får taket på det, trenger du etter en stund ikke å skrive ned alle koeffisientene. Du vil utføre slike operasjoner i hodet ditt. De fleste begynner å gjøre dette et sted etter 50-70 løste ligninger - generelt sett ikke så mye.

Røttene til en andregradsligning

La oss nå gå videre til selve løsningen. Hvis diskriminanten D > 0, kan røttene bli funnet ved å bruke formlene:

Grunnformel for røttene til en kvadratisk ligning

Når D = 0, kan du bruke hvilken som helst av disse formlene - du vil få samme tall, som vil være svaret. Til slutt, hvis D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Første ligning:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ ligningen har to røtter. La oss finne dem:

Andre ligning:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ ligningen har igjen to røtter. La oss finne dem

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

Til slutt den tredje ligningen:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ ligningen har én rot. Enhver formel kan brukes. For eksempel den første:

Som du kan se fra eksemplene, er alt veldig enkelt. Hvis du kan formlene og kan telle, vil det ikke være noen problemer. Oftest oppstår feil når du erstatter negative koeffisienter i formelen. Her igjen vil teknikken beskrevet ovenfor hjelpe: se på formelen bokstavelig talt, skriv ned hvert trinn - og veldig snart vil du bli kvitt feil.

Ufullstendige andregradsligninger

Det hender at en andregradsligning er litt forskjellig fra det som er gitt i definisjonen. For eksempel:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Det er lett å legge merke til at disse ligningene mangler ett av begrepene. Slike kvadratiske ligninger er enda enklere å løse enn standardligninger: de krever ikke engang beregning av diskriminanten. Så la oss introdusere et nytt konsept:

Ligningen ax 2 + bx + c = 0 kalles en ufullstendig andregradsligning hvis b = 0 eller c = 0, dvs. koeffisienten til variabelen x eller det frie elementet er lik null.

Selvfølgelig er et veldig vanskelig tilfelle mulig når begge disse koeffisientene er lik null: b = c = 0. I dette tilfellet har ligningen formen ax 2 = 0. En slik ligning har åpenbart en enkelt rot: x = 0.

La oss vurdere de resterende tilfellene. La b = 0, så får vi en ufullstendig andregradsligning på formen ax 2 + c = 0. La oss transformere den litt:

Siden den aritmetiske kvadratroten kun eksisterer av et ikke-negativt tall, gir den siste likheten bare mening for (−c /a) ≥ 0. Konklusjon:

1. Hvis ulikheten (−c /a) ≥ 0 er tilfredsstilt i en ufullstendig andregradsligning av formen ax 2 + c = 0, vil det være to røtter. Formelen er gitt ovenfor;
2. Hvis (−c /a)< 0, корней нет.

Som du kan se, var det ikke nødvendig med en diskriminant - det er ingen komplekse beregninger i det hele tatt i ufullstendige kvadratiske ligninger. Faktisk er det ikke engang nødvendig å huske ulikheten (−c /a) ≥ 0. Det er nok å uttrykke verdien x 2 og se hva som er på den andre siden av likhetstegnet. Hvis det er et positivt tall, vil det være to røtter. Hvis det er negativt, blir det ingen røtter i det hele tatt.

La oss nå se på ligninger av formen ax 2 + bx = 0, der det frie elementet er lik null. Alt er enkelt her: det vil alltid være to røtter. Det er nok å faktorisere polynomet:

Å ta den felles faktoren ut av parentes

Produktet er null når minst én av faktorene er null. Det er her røttene kommer fra. Avslutningsvis, la oss se på noen av disse ligningene:

Oppgave. Løs kvadratiske ligninger:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Det er ingen røtter, fordi et kvadrat kan ikke være lik et negativt tall.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

Hva er irrasjonelle ligninger og hvordan de løses

Ligninger der variabelen er inneholdt under det radikale tegnet eller under tegnet for å heve til en brøkpotens kalles irrasjonell. Når vi har å gjøre med brøkpotenser, fratar vi oss selv mange matematiske operasjoner for å løse likningen, så irrasjonelle likninger løses på en spesiell måte.

Irrasjonelle ligninger løses vanligvis ved å heve begge sider av ligningen til samme potens. I dette tilfellet er det å heve begge sider av ligningen til samme odde potens en ekvivalent transformasjon av ligningen, og å heve den til en partall er en ulik transformasjon. Denne forskjellen oppnås på grunn av slike trekk ved å heve til en makt, for eksempel hvis den heves til en jevn styrke, vil negative verdier "tapes".

Poenget med å heve begge sider av en irrasjonell ligning til en potens er ønsket om å bli kvitt «irrasjonalitet». Dermed må vi heve begge sider av den irrasjonelle ligningen til en slik grad at alle brøkpotenser på begge sider av ligningen blir til heltall. Da kan du se etter en løsning gitt ligning, som vil falle sammen med løsningene av den irrasjonelle ligningen, med den forskjellen at ved heving til en jevn styrke, tapes tegnet og de endelige løsningene vil kreve verifisering og ikke alle vil være egnet.

Dermed er hovedvanskeligheten forbundet med å heve begge sider av ligningen til samme jevne styrke - på grunn av ulikheten i transformasjonen kan fremmede røtter dukke opp. Derfor er det nødvendig å sjekke alle funnet røtter. De som løser en irrasjonell ligning glemmer oftest å sjekke de funnet røttene. Det er heller ikke alltid klart i hvilken grad en irrasjonell ligning må heves for å bli kvitt irrasjonalitet og løse den. Vår smarte kalkulator ble laget spesielt for å løse irrasjonelle ligninger og automatisk sjekke alle røttene, noe som vil redde deg fra glemsel.

Gratis online kalkulator for irrasjonelle ligninger

Vår frie løser vil løse en irrasjonell ligning online noen kompleksitet på sekunder. Alt du trenger å gjøre er å legge inn dataene dine i kalkulatoren. Du kan også finne ut hvordan du løser ligningen på nettsiden vår. Og hvis du fortsatt har spørsmål, kan du stille dem i vår VKontakte-gruppe.

La oss analysere to typer løsninger på ligningssystemer:

1. Løse systemet ved hjelp av substitusjonsmetoden.
2. Løse systemet ved ledd-for-ledd addisjon (subtraksjon) av systemlikningene.

For å løse ligningssystemet etter substitusjonsmetode du må følge en enkel algoritme:
1. Express. Fra enhver ligning uttrykker vi én variabel.
2. Vikar. Vi erstatter den resulterende verdien i en annen ligning i stedet for den uttrykte variabelen.
3. Løs den resulterende ligningen med én variabel. Vi finner en løsning på systemet.

Å løse system etter term-for-term addisjon (subtraksjon) metode trenger å:
1. Velg en variabel som vi skal lage identiske koeffisienter for.
2. Vi legger til eller subtraherer ligninger, noe som resulterer i en ligning med én variabel.
3. Løs den resulterende lineære ligningen. Vi finner en løsning på systemet.

Løsningen på systemet er skjæringspunktene til funksjonsgrafene.

La oss vurdere i detalj løsningen av systemer ved å bruke eksempler.

Eksempel #1:

La oss løse med substitusjonsmetode

Løse et ligningssystem ved hjelp av substitusjonsmetoden

2x+5y=1 (1 ligning)
x-10y=3 (2. ligning)

1. Express
Man kan se at i den andre ligningen er det en variabel x med koeffisient 1, som betyr at det er lettest å uttrykke variabelen x fra den andre ligningen.
x=3+10y

2.Etter at vi har uttrykt det, erstatter vi 3+10y i den første ligningen i stedet for variabelen x.
2(3+10y)+5y=1

3. Løs den resulterende ligningen med én variabel.
2(3+10y)+5y=1 (åpne parentesene)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Løsningen til ligningssystemet er skjæringspunktene til grafene, derfor må vi finne x og y, fordi skjæringspunktet består av x og y La oss finne x, i det første punktet der vi uttrykte det erstatter vi y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Det er vanlig å skrive poeng i første omgang skriver vi variabelen x, og for det andre variabelen y.
Svar: (1; -0,2)

Eksempel #2:

La oss løse ved å bruke term-for-term addisjon (subtraksjon) metoden.

Løse et ligningssystem ved hjelp av addisjonsmetoden

3x-2y=1 (1 ligning)
2x-3y=-10 (andre ligning)

1. Vi velger en variabel, la oss si at vi velger x. I den første likningen har variabelen x en koeffisient på 3, i den andre - 2. Vi må gjøre koeffisientene like, for dette har vi rett til å multiplisere likningene eller dele med et hvilket som helst tall. Vi multipliserer den første ligningen med 2, og den andre med 3 og får en total koeffisient på 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Trekk den andre fra den første ligningen for å bli kvitt variabelen x Løs den lineære ligningen.
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3. Finn x. Vi erstatter funnet y i hvilken som helst av ligningene, la oss si inn i den første ligningen.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Skjæringspunktet vil være x=4,6; y=6,4
Svar: (4.6; 6.4)

Vil du forberede deg til eksamen gratis? Lærer online gratis. Tuller ikke.

Formålet med tjenesten. Matrisekalkulatoren er designet for å løse systemer med lineære ligninger ved hjelp av en matrisemetode (se eksempel på løsning av lignende problemer).

Bruksanvisning. For å løse online må du velge type ligning og angi dimensjonen til de tilsvarende matrisene. hvor A, B, C er de spesifiserte matrisene, X er den ønskede matrisen. Matriseligninger av formen (1), (2) og (3) løses gjennom den inverse matrisen A -1. Hvis uttrykket A·X - B = C er gitt, er det nødvendig å først legge til matrisene C + B og finne en løsning for uttrykket A·X = D, der D = C + B. Hvis uttrykket A*X = B 2 er gitt, må matrisen B først kvadreres.

Det anbefales også å gjøre deg kjent med de grunnleggende operasjonene på matriser.

Eksempel nr. 1. Trening. Finn løsningen på matriseligningen
Løsning. La oss betegne:
Da vil matriseligningen skrives på formen: A·X·B = C.
Determinanten til matrise A er lik detA=-1
Siden A er en ikke-singular matrise, er det en invers matrise A -1 . Multipliser begge sider av ligningen til venstre med A -1: Multipliser begge sider av denne ligningen til venstre med A -1 og til høyre med B -1: A -1 ·A·X·B·B -1 = A-1 ·C·B-1. Siden A A -1 = B B -1 = E og E X = X E = X, så er X = A -1 C B -1

Invers matrise A -1:
La oss finne den inverse matrisen B -1.
Transponert matrise B T:
Invers matrise B -1:
Vi ser etter matrise X ved å bruke formelen: X = A -1 ·C·B -1

Svar:

Eksempel nr. 2. Trening. Løs matriseligningen
Løsning. La oss betegne:
Da vil matriseligningen skrives på formen: A·X = B.
Determinanten til matrise A er detA=0
Siden A er en entallsmatrise (determinanten er 0), har ligningen ingen løsning.

Eksempel nr. 3. Trening. Finn løsningen på matriseligningen
Løsning. La oss betegne:
Da vil matriseligningen bli skrevet på formen: X A = B.
Determinanten til matrise A er detA=-60
Siden A er en ikke-singular matrise, er det en invers matrise A -1 . La oss multiplisere begge sider av ligningen til høyre med A -1: X A A -1 = B A -1, hvorfra vi finner at X = B A -1
La oss finne den inverse matrisen A -1 .
Transponert matrise A T:
Invers matrise A -1:
Vi ser etter matrise X ved å bruke formelen: X = B A -1


Svar: >