1. Trigonometriske funksjoner er elementære funksjoner hvis argument er hjørne. Ved bruk av trigonometriske funksjoner beskriver forholdet mellom partene og skarpe hjørner i en rettvinklet trekant. Bruksområdene for trigonometriske funksjoner er ekstremt forskjellige. For eksempel kan alle periodiske prosesser representeres som en sum av trigonometriske funksjoner (Fourier-serien). Disse funksjonene dukker ofte opp når man løser differensial- og funksjonelle ligninger.
2. Trigonometriske funksjoner inkluderer følgende 6 funksjoner: sinus, kosinus, tangent,cotangens, sekant Og cosecant. For hver av disse funksjonene er det en invers trigonometrisk funksjon.
3. Det er praktisk å introdusere den geometriske definisjonen av trigonometriske funksjoner ved hjelp av enhetssirkel. Figuren under viser en sirkel med radius r=1. Punktet M(x,y) er markert på sirkelen. Vinkelen mellom radiusvektoren OM og den positive retningen til Ox-aksen er lik α.
4. Sinus vinkel α er forholdet mellom ordinaten y til punktet M(x,y) og radius r:
sinα=y/r.
Siden r=1, er sinus lik ordinaten til punktet M(x,y).
5. Cosinus vinkel α er forholdet mellom abscissen x til punktet M(x,y) og radius r:
cosα=x/r
6. Tangent vinkel α er forholdet mellom ordinaten y til et punkt M(x,y) og abscissen x:
tanα=y/x,x≠0
7. Cotangens vinkel α er forholdet mellom abscissen x til et punkt M(x,y) og ordinaten y:
cotα=x/y,y≠0
8. Sekant vinkel α er forholdet mellom radius r og abscissen x til punktet M(x,y):
sekα=r/x=1/x,x≠0
9. Cosecant vinkel α er forholdet mellom radius r og ordinaten y til punktet M(x,y):
csca=r/y=1/y,y≠0
10. I enhetssirkelen danner projeksjonene x, y av punktene M(x,y) og radius r en rettvinklet trekant, i hvor x,y er ben, og r er hypotenusen. Derfor er definisjonene ovenfor av trigonometriske funksjoner i vedlegget til høyre trekant er formulert som følger:
Sinus vinkel α er forholdet mellom motsatt side og hypotenusen.
Cosinus vinkel α er forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen.
Tangent vinkel α kalles det motsatte benet til det tilstøtende.
Cotangens vinkel α kalles tilstøtende side til motsatt side.
Sekant vinkel α er forholdet mellom hypotenusen og det tilstøtende benet.
Cosecant vinkel α er forholdet mellom hypotenusen og motsatt ben.
11. Graf over sinusfunksjonen
y=sinx, definisjonsdomene: x∈R, verdiområde: −1≤sinx≤1
12. Graf over cosinusfunksjonen
y=cosx, domene: x∈R, område: −1≤cosx≤1
13. Graf over tangentfunksjonen 14. Graf over cotangensfunksjonen 15. Graf over sekantfunksjonen Figuren under viser flere enhetssirkler, som indikerer fortegnene for sinus, cosinus, tangens og cotangens i ulike koordinatkvartaler. Foredrag: Sinus, cosinus, tangens, cotangens av en vilkårlig vinkel
Sinus, cosinus av en vilkårlig vinkel
For å forstå hva trigonometriske funksjoner er, la oss se på en sirkel med enhetsradius. Denne sirkelen har et senter ved origo på koordinatplanet. For å bestemme de gitte funksjonene vil vi bruke radiusvektoren ELLER, som starter i midten av sirkelen, og punktet R er et punkt på sirkelen. Denne radiusvektoren danner en vinkel alfa med aksen ÅH. Siden sirkelen har en radius lik én, da ELLER = R = 1. Hvis fra punktet R senke vinkelrett på aksen ÅH, da får vi en rettvinklet trekant med en hypotenusa lik én. Hvis radiusvektoren beveger seg med klokken, kalles denne retningen negativ, hvis den beveger seg mot klokken - positivt.
Sinus av vinkelen ELLER, er ordinaten til punktet R vektor på en sirkel. Det vil si at for å få verdien av sinusen til en gitt vinkel alfa, er det nødvendig å bestemme koordinaten U på overflaten. Hvordan ble denne verdien oppnådd? Siden vi vet at sinusen til en vilkårlig vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom motsatt side og hypotenusen, får vi at Og siden R=1, Det sin(α) = y 0
. I en enhetssirkel kan ikke ordinatverdien være mindre enn -1 og større enn 1, som betyr Sinusen tar en positiv verdi i første og andre kvartal av enhetssirkelen, og negativ i tredje og fjerde. Cosinus av vinkelen gitt sirkel dannet av radiusvektoren ELLER, er abscissen til punktet R vektor på en sirkel. Det vil si at for å få cosinusverdien til en gitt vinkel alfa, er det nødvendig å bestemme koordinaten X på overflaten. Cosinus til en vilkårlig vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen, vi får det Og siden R=1, Det cos(α) = x 0
. I enhetssirkelen kan abscisseverdien ikke være mindre enn -1 og større enn 1, som betyr Cosinus har en positiv verdi i første og fjerde kvartal av enhetssirkelen, og negativ i andre og tredje. Tangentvilkårlig vinkel Forholdet mellom sinus og cosinus beregnes. Hvis vi tar for oss en rettvinklet trekant, er dette forholdet mellom den motsatte siden og den tilstøtende. Hvis vi snakker om enhetssirkelen, er dette forholdet mellom ordinaten og abscissen. Ut fra disse sammenhengene kan det forstås at tangenten ikke kan eksistere hvis abscisseverdien er null, det vil si i en vinkel på 90 grader. Tangenten kan ta alle andre verdier. Tangenten er positiv i første og tredje fjerdedel av enhetssirkelen, og negativ i andre og fjerde. Spørsmålet, som de sier, er interessant... Det er mulig, det er mulig å bestå med en 4! Og samtidig ikke å sprekke... Hovedbetingelsen er å trene regelmessig. Her er den grunnleggende forberedelsen til Unified State Exam i matematikk. Med alle hemmelighetene og mysteriene til Unified State Exam, som du ikke vil lese om i lærebøker... Studer denne delen, løs flere oppgaver fra forskjellige kilder - og alt vil ordne seg! Det antas at den grunnleggende delen "A C er nok for deg!" det gir deg ingen problemer. Men hvis plutselig... Følg linkene, ikke vær lat! Og vi starter med et flott og forferdelig tema. Merk følgende! Dette emnet skaper mange problemer for studenter. Det regnes som en av de mest alvorlige. Hva er sinus og cosinus? Hva er tangent og cotangens? Hva er en tallsirkel? Så snart du stiller disse ufarlige spørsmålene, blir personen blek og prøver å avlede samtalen... Men forgjeves. Dette er enkle konsepter. Og dette emnet er ikke vanskeligere enn andre. Du trenger bare å forstå svarene på nettopp disse spørsmålene helt fra begynnelsen. Det er veldig viktig. Hvis du forstår, vil du like trigonometri. Så, La oss starte med antikken. Ikke bekymre deg, vi vil gå gjennom alle 20 århundrer med trigonometri på omtrent 15 minutter, og uten å legge merke til det, vil vi gjenta et stykke geometri fra 8. klasse. La oss tegne en rettvinklet trekant med sider a, b, c og vinkel X. Her er det. La meg minne deg på at sidene som danner en rett vinkel kalles ben. a og c– ben. Det er to av dem. Den resterende siden kalles hypotenusen. Med– hypotenusa. Trekant og trekant, bare tenk! Hva skal man gjøre med ham? Men de gamle visste hva de skulle gjøre! La oss gjenta handlingene deres. La oss måle siden V. På figuren er cellene spesielt tegnet, slik det skjer i Unified State Examination-oppgaver. Side V lik fire celler. OK. La oss måle siden EN. Tre celler. La oss nå dele lengden på siden EN per sidelengde V. Eller, som de også sier, la oss ta holdningen EN Til V. a/v= 3/4. Tvert imot, du kan dele V på EN. Vi får 4/3. Kan V delt på Med. Hypotenus Med Det er umulig å telle med celler, men det er lik 5. Vi får høy kvalitet= 4/5. Kort fortalt kan du dele lengdene på sidene med hverandre og få noen tall. Hva så? Hva er poenget med denne interessante aktiviteten? Ingen enda. En meningsløs øvelse, for å si det rett ut.) La oss nå gjøre dette. La oss forstørre trekanten. La oss utvide sidene i og med, men slik at trekanten forblir rektangulær. Hjørne X, selvfølgelig, endres ikke. For å se dette, hold musen over bildet, eller trykk på det (hvis du har et nettbrett). Fester a, b og c vil bli til m, n, k, og selvfølgelig vil lengdene på sidene endres. Men forholdet deres er det ikke! Holdning a/v var: a/v= 3/4, ble m/n= 6/8 = 3/4. Forholdet til andre relevante parter er også vil ikke endre seg
. Du kan endre lengden på sidene i en rettvinklet trekant som du vil, øke, redusere, uten å endre vinkelen x – forholdet mellom de aktuelle partene vil ikke endres
. Du kan sjekke det, eller du kan ta det gamle folkets ord for det. Men dette er allerede veldig viktig! Forholdet mellom sidene i en rettvinklet trekant avhenger ikke på noen måte av lengdene på sidene (i samme vinkel). Dette er så viktig at forholdet mellom partene har fått sitt eget spesielle navn. Dine navn, for å si det sånn.) Møt. Hva er sinus til vinkel x
? Dette er forholdet mellom motsatt side og hypotenusen: sinx = a/c Hva er cosinus til vinkelen x
? Dette er forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen: Medosx=
høy kvalitet Hva er tangent x
? Dette er forholdet mellom motsatt side og tilstøtende side: tgx =a/v Hva er kotangensen til vinkel x
? Dette er forholdet mellom den tilstøtende siden og den motsatte: ctgx = v/a Alt er veldig enkelt. Sinus, cosinus, tangens og cotangens er noen tall. Dimensjonsløs. Bare tall. Hver vinkel har sin egen. Hvorfor gjentar jeg alt så kjedelig? Hva er så dette trenger å huske. Det er viktig å huske. Memorering kan gjøres enklere. Er uttrykket "La oss starte langveisfra ..." kjent? Så start langveis fra. Sinus vinkel er et forhold fjern fra benvinkelen til hypotenusen. Cosinus– forholdet mellom naboen og hypotenusen. Tangent vinkel er et forhold fjern fra benvinkelen til den nærmeste. Cotangens- omvendt. Det er lettere, ikke sant? Vel, hvis du husker at i tangent og cotangens er det bare ben, og i sinus og cosinus vises hypotenusen, så vil alt bli ganske enkelt. Hele denne herlige familien - sinus, cosinus, tangent og cotangens kalles også trigonometriske funksjoner. Og nå et spørsmål til vurdering. Hvorfor sier vi sinus, cosinus, tangens og cotangens hjørne? Vi snakker om forholdet mellom partene, som... Hva har det med det å gjøre? hjørne? La oss se på det andre bildet. Akkurat det samme som den første. Hold musen over bildet. Jeg endret vinkelen X. Økte det fra x til x. Alle forhold har endret seg! Holdning a/v var 3/4, og tilsvarende forhold TV ble 6/4. Og alle andre forhold ble annerledes! Derfor avhenger ikke forholdet mellom sidene på noen måte av lengden deres (i en vinkel x), men er sterkt avhengig av akkurat denne vinkelen! Og bare fra ham. Derfor refererer begrepene sinus, cosinus, tangens og cotangens til hjørne. Vinkelen her er den viktigste. Det må være klart forstått at vinkelen er uløselig knyttet til dens trigonometriske funksjoner. Hver vinkel har sin egen sinus og cosinus. Og nesten alle har sin egen tangent og cotangens. Det er viktig. Det antas at hvis vi får en vinkel, så dens sinus, cosinus, tangens og cotangens vi vet
! Og vice versa. Gitt en sinus, eller en annen trigonometrisk funksjon, betyr det at vi kjenner vinkelen. Det er spesielle tabeller hvor for hver vinkel dens trigonometriske funksjoner er beskrevet. De kalles Bradis-bord. De ble satt sammen for veldig lenge siden. Da det ikke fantes noen kalkulatorer eller datamaskiner ennå... Selvfølgelig er det umulig å huske de trigonometriske funksjonene til alle vinkler. Du er pålagt å kjenne dem bare for noen få vinkler, mer om dette senere. Men trolldommen Jeg kjenner en vinkel, noe som betyr at jeg kjenner dens trigonometriske funksjoner" - fungerer alltid! Så vi gjentok et stykke geometri fra 8. klasse. Trenger vi det til Unified State-eksamenen? Nødvendig. Her er et typisk problem fra Unified State Exam. For å løse dette problemet er 8. klasse nok. Gitt bilde: Alle. Det er ikke flere data. Vi må finne lengden på siden av flyet. Cellene hjelper ikke så mye, trekanten er på en eller annen måte feilplassert.... Med vilje, antar jeg... Fra informasjonen er det lengden på hypotenusen. 8 celler. Av en eller annen grunn var vinkelen gitt. Det er her du umiddelbart må huske trigonometri. Det er en vinkel, som betyr at vi kjenner alle dens trigonometriske funksjoner. Hvilken av de fire funksjonene skal vi bruke? La oss se, hva vet vi? Vi kjenner hypotenusen og vinkelen, men vi må finne ved siden av kateter til dette hjørnet! Det er klart, kosinus må settes i verk! Her går vi. Vi skriver ganske enkelt, etter definisjonen av cosinus (forholdet ved siden av ben til hypotenusa): cosC = BC/8 Vinkel C er 60 grader, cosinus er 1/2. Du må vite dette, uten noen tabeller! Det er: 1/2 = BC/8 Elementær lineær ligning. Ukjent - Sol. De som har glemt hvordan man løser ligninger, ta en titt på linken, resten løser: BC = 4 Da eldgamle mennesker innså at hver vinkel har sitt eget sett med trigonometriske funksjoner, hadde de et rimelig spørsmål. Er sinus, cosinus, tangent og cotangens på en eller annen måte relatert til hverandre? Så når du kjenner én vinkelfunksjon, kan du finne de andre? Uten å beregne selve vinkelen? De var så rastløse...) Selvfølgelig er sinus, cosinus, tangens og cotangens av samme vinkel relatert til hverandre. Enhver sammenheng mellom uttrykk er gitt i matematikk ved formler. I trigonometri er det et kolossalt antall formler. Men her skal vi se på de mest grunnleggende. Disse formlene kalles: grunnleggende trigonometriske identiteter. Her er de: Du må kjenne disse formlene grundig. Uten dem er det generelt ingenting å gjøre i trigonometri. Tre ekstra hjelpeidentiteter følger av disse grunnleggende identitetene: Jeg advarer deg med en gang om at de tre siste formlene raskt faller ut av hukommelsen. Av en eller annen grunn.) Du kan selvfølgelig utlede disse formlene fra de tre første. Men, i vanskelige tider... Du forstår.) I standardproblemer, som de nedenfor, er det en måte å unngå disse forglemmelige formlene. OG redusere feil dramatisk på grunn av glemsomhet, og i beregninger også. Denne praksisen er i avsnitt 555, leksjon "Relasjoner mellom trigonometriske funksjoner i samme vinkel." I hvilke oppgaver og hvordan brukes de grunnleggende trigonometriske identitetene? Den mest populære oppgaven er å finne en vinkelfunksjon hvis en annen er gitt. I Unified State Examination er en slik oppgave til stede fra år til år.) For eksempel: Finn verdien av sinx hvis x er en spiss vinkel og cosx=0,8. Oppgaven er nesten elementær. Vi ser etter en formel som inneholder sinus og cosinus. Her er formelen: sin 2 x + cos 2 x = 1 Vi erstatter her en kjent verdi, nemlig 0,8 i stedet for cosinus: sin 2 x + 0,8 2 = 1 Vel, vi teller som vanlig: sin 2 x + 0,64 = 1 sin 2 x = 1 - 0,64 Det er praktisk talt alt. Vi har regnet ut kvadratet av sinusen, det gjenstår bare å trekke ut kvadratroten og svaret er klart! Roten av 0,36 er 0,6. Oppgaven er nesten elementær. Men ordet «nesten» er der av en grunn... Faktum er at svaret sinx= - 0,6 også passer... (-0,6) 2 vil også være 0,36. Det er to forskjellige svar. Og du trenger en. Den andre er feil. Hvordan være!? Ja, som vanlig.) Les oppgaven nøye. Av en eller annen grunn står det:... hvis x er en spiss vinkel... Og i oppgaver har hvert ord en mening, ja... Denne setningen er tilleggsinformasjon for løsningen. En spiss vinkel er en vinkel mindre enn 90°. Og på slike hjørner Alle trigonometriske funksjoner - sinus, cosinus og tangens med cotangens - positivt. De. Vi forkaster rett og slett det negative svaret her. Vi har rett. Egentlig trenger ikke åttendeklassinger slike finesser. De fungerer kun med rette trekanter, hvor hjørnene bare kan være spisse. Og de vet ikke, glade dere, at det er både negative vinkler og vinkler på 1000°... Og alle disse forferdelige vinklene har sine egne trigonometriske funksjoner, både pluss og minus... Men for videregående elever, uten å ta hensyn til skiltet - ingen måte. Mye kunnskap multipliserer sorger, ja...) Og for riktig løsning er det nødvendigvis tilleggsinformasjon tilstede i oppgaven (hvis det er nødvendig). For eksempel kan det gis ved følgende oppføring: Eller på en annen måte. Du vil se i eksemplene nedenfor.) For å løse slike eksempler må du vite Hvilken fjerdedel faller den gitte vinkelen x inn i og hvilket fortegn har den ønskede trigonometriske funksjonen i dette kvartalet? Disse grunnleggende om trigonometri er diskutert i leksjonene om hva en trigonometrisk sirkel er, måling av vinkler på denne sirkelen, radianmålet for en vinkel. Noen ganger trenger du å kjenne tabellen over sinus, cosinus av tangenter og cotangenter. Så la oss merke det viktigste: Praktiske tips: 1. Husk definisjonene av sinus, cosinus, tangens og cotangens. Det vil være veldig nyttig. 2. Vi forstår tydelig: sinus, cosinus, tangens og cotangens er tett forbundet med vinkler. Vi vet en ting, noe som betyr at vi vet en annen. 3. Vi forstår tydelig: sinus, cosinus, tangens og cotangens av en vinkel er relatert til hverandre ved grunnleggende trigonometriske identiteter. Vi kjenner én funksjon, noe som betyr at vi kan (hvis vi har nødvendig tilleggsinformasjon) beregne alle de andre. La oss nå bestemme, som vanlig. Først oppgaver i omfanget av 8. klasse. Men elever på videregående kan gjøre det også...) 1. Beregn verdien av tgA hvis ctgA = 0,4. 2. β er en vinkel i en rettvinklet trekant. Finn verdien av tanβ hvis sinβ = 12/13. 3. Bestem sinusen til den spisse vinkelen x hvis tgх = 4/3. 4. Finn betydningen av uttrykket: 6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5° 5. Finn betydningen av uttrykket: (1-cosx)(1+cosx), hvis sinx = 0,3 Svar (atskilt med semikolon, i uorden): 0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5 Skjedd? Flott! Åttendeklassinger kan allerede gå og hente A-ene sine.) Har ikke alt ordnet seg? Oppgave 2 og 3 er liksom ikke så bra...? Ikke noe problem! Det er én vakker teknikk for slike oppgaver. Alt kan løses praktisk talt uten formler i det hele tatt! Og derfor uten feil. Denne teknikken er beskrevet i leksjonen: "Relasjoner mellom trigonometriske funksjoner i en vinkel" i avsnitt 555. Alle andre oppgaver blir også håndtert der. Dette var problemer som Unified State Exam, men i en nedstrippet versjon. Unified State Exam - lys). Og nå nesten de samme oppgavene, men i et fullverdig format. For kunnskapstunge videregående elever.) 6. Finn verdien av tanβ hvis sinβ = 12/13, og 7. Bestem sinх hvis tgх = 4/3, og x tilhører intervallet (- 540°; - 450°). 8. Finn verdien av uttrykket sinβ cosβ hvis ctgβ = 1. Svar (i uorden): 0,8; 0,5; -2,4. Her i oppgave 6 er ikke vinkelen spesifisert veldig tydelig... Men i oppgave 8 er den ikke spesifisert i det hele tatt! Dette er med vilje). Ytterligere informasjon hentes ikke bare fra oppgaven, men også fra hodet.) Men hvis du bestemmer deg, er en riktig oppgave garantert! Hva om du ikke har bestemt deg? Hmm... Vel, seksjon 555 vil hjelpe her. Der er løsningene på alle disse oppgavene beskrevet i detalj, det er vanskelig å ikke forstå. Denne leksjonen gir en svært begrenset forståelse av trigonometriske funksjoner. Innen 8. klasse. Og de eldste har fortsatt spørsmål... For eksempel hvis vinkelen X(se på det andre bildet på denne siden) - gjør det dumt!? Trekanten vil falle helt fra hverandre! Så hva bør vi gjøre? Det vil ikke være noe ben, ingen hypotenuse... Sinusen har forsvunnet... Hvis eldgamle mennesker ikke hadde funnet en vei ut av denne situasjonen, ville vi ikke hatt mobiltelefoner, TV eller strøm nå. Ja Ja! Det teoretiske grunnlaget for alle disse tingene uten trigonometriske funksjoner er null uten en pinne. Men de gamle menneskene skuffet ikke. Hvordan de kom seg ut er i neste leksjon. Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.) Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. La oss lære - med interesse!) Du kan bli kjent med funksjoner og derivater.
y=tanx, domene: x∈R,x≠(2k+1)π/2, område: −∞ 
y=cotx, domene: x∈R,x≠kπ, område: −∞ 
y=sekx, domene: x∈R,x≠(2k+1)π/2, område: sekx∈(−∞,−1]∪∪Egenskaper til cosinus
.jpg)
Egenskaper til tangent
.jpg)
Egenskaper til cotangens
.jpg)
Unified State-eksamen for 4? Vil du ikke sprekke av lykke?
Trigonometri
Det er flere
materialer i spesialseksjon 555.
For de som er veldig "ikke veldig..."
Og for de som "veldig mye...")Hva er sinus og cosinus? Hva er tangent og cotangens?
Forholdet mellom trigonometriske funksjoner i en vinkel.
Hvis du liker denne siden...
Lar deg etablere en rekke karakteristiske resultater - egenskaper til sinus, cosinus, tangens og cotangens. I denne artikkelen skal vi se på tre hovedegenskaper. Den første av dem indikerer fortegnene for sinus, cosinus, tangens og cotangens til vinkelen α avhengig av vinkelen for hvilken koordinatfjerding er α. Deretter vil vi vurdere egenskapen periodisitet, som etablerer invariansen til verdiene av sinus, cosinus, tangens og cotangens til vinkelen α når denne vinkelen endres med et helt antall omdreininger. Den tredje egenskapen uttrykker forholdet mellom verdiene av sinus, cosinus, tangens og cotangens av motsatte vinkler α og −α.
Hvis du er interessert i egenskapene til funksjonene sinus, cosinus, tangens og cotangens, kan du studere dem i den tilsvarende delen av artikkelen.
Sidenavigering.
Tegn på sinus, cosinus, tangens og cotangens etter kvartaler
Nedenfor i dette avsnittet vil uttrykket "vinkel på I, II, III og IV koordinatkvartal" vises. La oss forklare hva disse vinklene er.
La oss ta en enhetssirkel, markere startpunktet A(1, 0) på den, og rotere den rundt punktet O med en vinkel α, og vi vil anta at vi kommer til punktet A 1 (x, y).
De sier det vinkel α er vinkelen til I, II, III, IV koordinatkvadranten, hvis punkt A 1 ligger i henholdsvis I, II, III, IV kvartalene; hvis vinkelen α er slik at punktet A 1 ligger på noen av koordinatlinjene Ox eller Oy, så hører ikke denne vinkelen til noen av de fire kvartalene.
For klarhet, her er en grafisk illustrasjon. Tegningene nedenfor viser rotasjonsvinkler på 30, -210, 585 og -45 grader, som er vinklene til henholdsvis I, II, III og IV koordinatkvartaler.
Vinkler 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … grader hører ikke til noen av koordinatkvartalene.
La oss nå finne ut hvilke tegn som har verdiene av sinus, cosinus, tangens og cotangens av rotasjonsvinkelen α, avhengig av hvilken kvadrantvinkel α er.
For sinus og cosinus er dette enkelt å gjøre.
Per definisjon er sinusen til vinkelen α ordinaten til punktet A 1. Åpenbart, i I- og II-koordinatkvartalene er det positivt, og i III- og IV-kvartalene er det negativt. Dermed har sinusen til vinkelen α et plusstegn i 1. og 2. kvartal, og et minustegn i 3. og 6. kvartal.
I sin tur er cosinus til vinkelen α abscissen til punktet A 1. I I og IV kvartalene er det positivt, og i II og III kvartalene er det negativt. Følgelig er verdiene til cosinus til vinkelen α i I- og IV-kvartalene positive, og i II- og III-kvartalene er de negative.
For å bestemme tegnene på kvartdelene av tangent og cotangens, må du huske definisjonene deres: tangent er forholdet mellom ordinaten til punkt A 1 og abscissen, og cotangens er forholdet mellom abscissen til punkt A 1 og ordinaten. Så fra regler for deling av tall med samme og forskjellige fortegn følger det at tangent og cotangens har et plusstegn når abscissen og ordinattegnene til punkt A 1 er like, og har minustegn når abscissen og ordinattegnene til punkt A 1 er forskjellige. Følgelig har tangenten og cotangensen til vinkelen et +-tegn i I- og III-koordinatkvartalene, og et minustegn i II- og IV-kvartalene.
Faktisk, for eksempel, i første kvartal er både abscissen x og ordinaten y til punkt A 1 positive, da er både kvotienten x/y og kvotienten y/x positive, derfor har tangent og cotangens +-tegn. Og i andre kvartal er abscissen x negativ, og ordinaten y er positiv, derfor er både x/y og y/x negative, derfor har tangenten og cotangensen et minustegn.
La oss gå videre til neste egenskap for sinus, cosinus, tangens og cotangens.
Periodisitetsegenskap
Nå skal vi se på den kanskje mest åpenbare egenskapen til sinus, cosinus, tangens og cotangens til en vinkel. Det er som følger: når vinkelen endres med et helt antall hele omdreininger, endres ikke verdiene til sinus, cosinus, tangent og cotangens til denne vinkelen.
Dette er forståelig: når vinkelen endres med et helt antall omdreininger, vil vi alltid komme fra startpunktet A til punktet A 1 på enhetssirkelen, derfor forblir verdiene til sinus, cosinus, tangent og cotangens uendret, siden koordinatene til punkt A 1 er uendret.
Ved å bruke formler kan den betraktede egenskapen til sinus, cosinus, tangens og cotangens skrives som følger: sin(α+2·π·z)=sinα, cos(α+2·π·z)=cosα, tan(α+ 2·π· z)=tgα, ctg(α+2·π·z)=ctgα, der α er rotasjonsvinkelen i radianer, z er hvilken som helst, hvis absolutte verdi angir antall hele omdreininger som vinkelen α endres, og tegnet til tallet z indikerer retningssvingen.
Hvis rotasjonsvinkelen α er spesifisert i grader, vil de angitte formlene skrives om som sin(α+360° z)=sinα , cos(α+360° z)=cosα , tg(α+360° z)=tgα , ctg(a+360°·z)=ctga.
La oss gi eksempler på bruk av denne egenskapen. For eksempel, 
, fordi 
, A 
. Her er et annet eksempel: eller .
Denne egenskapen, sammen med reduksjonsformler, brukes veldig ofte når man beregner verdiene av sinus, cosinus, tangens og cotangens for "store" vinkler.
Den betraktede egenskapen til sinus, cosinus, tangens og cotangens kalles noen ganger egenskapen periodisitet.
Egenskaper til sinus, cosinus, tangens og cotangens av motsatte vinkler
La A 1 være punktet oppnådd ved å rotere startpunktet A(1, 0) rundt punktet O med en vinkel α, og punktet A 2 være resultatet av å rotere punktet A med en vinkel −α, motsatt av vinkelen α.
Egenskapen til sinus, cosinus, tangenter og cotangenter av motsatte vinkler er basert på et ganske åpenbart faktum: punktene A 1 og A 2 nevnt ovenfor enten sammenfaller (at) eller er plassert symmetrisk i forhold til okseaksen. Det vil si at hvis punkt A 1 har koordinater (x, y), så vil punkt A 2 ha koordinater (x, −y). Herfra, ved å bruke definisjonene av sinus, cosinus, tangens og cotangens, skriver vi likhetene og .
Ved å sammenligne dem kommer vi til forhold mellom sinus, cosinus, tangenter og cotangenter av motsatte vinkler α og −α av formen.
Dette er egenskapen som vurderes i form av formler.
La oss gi eksempler på bruk av denne egenskapen. For eksempel likestillingene og 
.
Det gjenstår bare å merke seg at egenskapen til sinus, cosinus, tangenter og cotangens av motsatte vinkler, som den forrige egenskapen, ofte brukes når du beregner verdiene til sinus, cosinus, tangent og cotangens, og lar deg unngå negativ helt vinkler.
Bibliografi.
- Algebra: Lærebok for 9. klasse. gj.sn. skole/Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky - M.: Utdanning, 1990. - 272 s.: ill
- Algebra og begynnelsen av analysen: Proc. for 10-11 klassetrinn. allmennutdanning institusjoner / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn og andre; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. utg. - M.: Utdanning, 2004. - 384 s.: ill.
- Bashmakov M. I. Algebra og begynnelsen av analyse: Lærebok. for 10-11 klassetrinn. gj.sn. skole - 3. utg. - M.: Utdanning, 1993. - 351 s.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematikk (en manual for de som går inn på tekniske skoler): Proc. godtgjørelse.- M.; Høyere skole, 1984.-351 s., ill.
