Det vil være nyttig for elever på videregående skole å lære hvordan de løser problemer med Unified State Examination for å finne volumet og andre ukjente parametere til et rektangulært parallellepiped. Erfaringene fra tidligere år bekrefter det faktum at slike oppgaver er ganske vanskelige for mange nyutdannede.

Samtidig bør elever på videregående skole med et hvilket som helst treningsnivå forstå hvordan man finner volumet eller arealet til et rektangulært parallellepiped. Bare i dette tilfellet vil de kunne stole på å motta konkurrerende poengsummer basert på resultatene av å bestå den enhetlige statseksamenen i matematikk.

Nøkkelpunkter å huske

Parallelogrammene som utgjør et parallellepiped er dets ansikter, sidene deres er kantene. Toppene til disse figurene regnes som hjørnene til selve polyederet.
Alle diagonalene til et rektangulært parallellepiped er like. Siden dette er et rett polyeder, er sideflatene rektangler.
Siden et parallellepiped er et prisme med et parallellogram ved bunnen, har denne figuren alle egenskapene til et prisme.
Sidekantene til et rektangulært parallellepiped er vinkelrett på basen. Derfor er de dens høyder.

Gjør deg klar for Unified State-eksamenen med Shkolkovo!

For å gjøre timene dine enkle og så effektive som mulig, velg vår matematikkportal. Her finner du alt nødvendig materiale som du trenger som forberedelse til unified state-eksamenen.

Spesialister fra Shkolkovo-utdanningsprosjektet foreslår å gå fra enkelt til komplekst: først gir vi teori, grunnleggende formler og elementære problemer med løsninger, og går deretter gradvis videre til oppgaver på ekspertnivå. Du kan øve med for eksempel .

Du finner nødvendig grunnleggende informasjon i delen "Teoretisk informasjon". Du kan også umiddelbart begynne å løse problemer om emnet "Rektangulært parallellepiped" på nettet. "Katalog"-delen presenterer et stort utvalg øvelser av ulik vanskelighetsgrad. Oppgavedatabasen oppdateres jevnlig.

Se om du enkelt kan finne volumet til et rektangulært parallellepiped akkurat nå. Analyser enhver oppgave. Hvis øvelsen er lett for deg, gå videre til vanskeligere oppgaver. Og hvis det oppstår visse vanskeligheter, anbefaler vi at du planlegger dagen din på en slik måte at timeplanen inkluderer klasser med Shkolkovo ekstern portal.

I denne leksjonen vil alle kunne studere emnet "Rektangulært parallellepiped". I begynnelsen av leksjonen vil vi gjenta hva vilkårlige og rette parallellepiped er, husk egenskapene til deres motsatte flater og diagonaler til parallellepipedet. Deretter skal vi se på hva en kuboid er og diskutere dens grunnleggende egenskaper.

Tema: Vinkelretthet av linjer og plan

Leksjon: Cuboid

En overflate sammensatt av to like parallellogrammer ABCD og A 1 B 1 C 1 D 1 og fire parallellogrammer ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 kalles parallellepipedum(Figur 1).

Ris. 1 Parallelepiped

Det vil si: vi har to like parallellogrammer ABCD og A 1 B 1 C 1 D 1 (baser), de ligger i parallelle plan slik at sidekantene AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 er parallelle. Dermed kalles en overflate sammensatt av parallellogrammer parallellepipedum.

Dermed er overflaten til et parallellepiped summen av alle parallellogrammene som utgjør parallellepipedet.

1. De motsatte flatene til et parallellepiped er parallelle og like.

(formene er like, det vil si at de kan kombineres ved å overlappe)

For eksempel:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (like parallellogrammer per definisjon),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (siden AA 1 B 1 B og DD 1 C 1 C er motsatte sider av parallellepipedet),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (siden AA 1 D 1 D og BB 1 C 1 C er motsatte sider av parallellepipedet).

2. Diagonalene til et parallellepiped skjærer hverandre i ett punkt og er halvert av dette punktet.

Diagonalene til parallellepipedet AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B skjærer hverandre i ett punkt O, og hver diagonal er delt i to med dette punktet (fig. 2).

Ris. 2 Diagonalene til et parallellepipedum skjærer hverandre og er delt i to av skjæringspunktet.

3. Det er tre firedobler av like og parallelle kanter på et parallellepiped: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, СС 1, DD 1.

Definisjon. Et parallellepiped kalles rett hvis sidekantene er vinkelrett på basene.

La sidekanten AA 1 være vinkelrett på basen (fig. 3). Dette betyr at rett linje AA 1 er vinkelrett på rette linjer AD og AB, som ligger i grunnplanet. Dette betyr at sideflatene inneholder rektangler. Og basene inneholder vilkårlige parallellogrammer. La oss betegne ∠DÅRLIG = φ, vinkelen φ kan være hvilken som helst.

Ris. 3 Høyre parallellepipedum

Så, et høyre parallellepiped er et parallellepiped der sidekantene er vinkelrett på bunnen av parallellepipedet.

Definisjon. Parallepipedet kalles rektangulært, hvis sidekantene er vinkelrette på basen. Basene er rektangler.

Den parallellepipediserte ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 er rektangulær (fig. 4), hvis:

1. AA 1 ⊥ ABCD (sidekant vinkelrett på basens plan, det vil si en rett parallellepiped).

2. ∠DÅRLIG = 90°, dvs. basen er et rektangel.

Ris. 4 Rektangulært parallellepipedum

Et rektangulært parallellepiped har alle egenskapene til et vilkårlig parallellepiped. Men det er ytterligere egenskaper som er avledet fra definisjonen av en cuboid.

Så, kuboid er et parallellepiped hvis sidekanter er vinkelrett på basen. Grunnlaget til en kuboid er et rektangel.

1. I et rektangulært parallellepiped er alle seks flatene rektangler.

ABCD og A 1 B 1 C 1 D 1 er rektangler per definisjon.

2. Laterale ribber er vinkelrett på basen. Dette betyr at alle sideflatene til et rektangulært parallellepiped er rektangler.

3. Alle dihedriske vinkler på et rektangulært parallellepiped er rett.

La oss for eksempel se på den dihedriske vinkelen til et rektangulært parallellepiped med kanten AB, dvs. den dihedrale vinkelen mellom planene ABC 1 og ABC.

AB er en kant, punkt A 1 ligger i ett plan - i planet ABB 1, og punkt D i det andre - i planet A 1 B 1 C 1 D 1. Da kan den dihedrale vinkelen som vurderes også betegnes som følger: ∠A 1 ABD.

La oss ta punkt A på kanten AB. AA 1 er vinkelrett på kanten AB i planet АВВ-1, AD er vinkelrett på kanten AB i planet ABC. Dette betyr at ∠A 1 AD er den lineære vinkelen til en gitt dihedral vinkel. ∠A 1 AD = 90°, som betyr at den dihedrale vinkelen ved kanten AB er 90°.

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°.

På samme måte er det bevist at alle dihedriske vinkler på et rektangulært parallellepiped er riktige.

Kvadraten til diagonalen til et rektangulært parallellepiped er lik summen av kvadratene av dets tre dimensjoner.

Merk. Lengden på de tre kantene som kommer fra ett toppunkt av en kuboid er målene til cuboid. De kalles noen ganger lengde, bredde, høyde.

Gitt: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - rektangulært parallellepipedum (fig. 5).

Bevis: .

Ris. 5 Rektangulær parallellepipedum

Bevis:

Rett linje CC 1 er vinkelrett på plan ABC, og derfor på rett linje AC. Dette betyr at trekanten CC 1 A er rettvinklet. I følge Pythagoras teorem:

Tenk på den rette trekanten ABC. I følge Pythagoras teorem:

Men BC og AD er motsatte sider av rektangelet. Så BC = AD. Deretter:

Fordi , A , Det. Siden CC 1 = AA 1, var dette det som måtte bevises.

Diagonalene til et rektangulært parallellepiped er like.

La oss betegne dimensjonene til parallellepipedet ABC som a, b, c (se fig. 6), da AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

En kuboid er en type polyeder som består av 6 flater, som hver er et rektangel. I sin tur er en diagonal et segment som forbinder de motsatte toppunktene til et parallellogram. Lengden kan oppdages på to måter.

Du vil trenge

Kjenne til lengdene på alle sider av et parallellogram.

Bruksanvisning

1. Metode 1. Gitt et rektangulært parallellepiped med sidene a, b, c og diagonal d. I følge en av egenskapene til et parallellogram er kvadratet på diagonalen lik summen av kvadratene på dens 3 sider. Det følger at lengden på selve diagonalen kan beregnes ved å trekke ut kvadratet fra en gitt sum (fig. 1).

2. Metode 2. Det er mulig at det rektangulære parallellepipedet er en kube. En terning er et rektangulært parallellepiped der hver flate er representert av en firkant. Følgelig er alle sidene like. Deretter vil formelen for å beregne lengden på diagonalen bli uttrykt som følger: d = a*?3

Et parallellepiped er et spesielt tilfelle av et prisme, der alle seks flatene er parallellogrammer eller rektangler. Et parallellepipedum med rektangulære flater kalles også rektangulært. Et parallellepiped har fire kryssende diagonaler. Hvis tre kanter a, b, c er gitt, kan du finne alle diagonalene til et rektangulært parallellepiped ved å utføre tilleggskonstruksjoner.

Bruksanvisning

1. Tegn et rektangulært parallellepiped. Skriv ned dataene: tre kanter a, b, c. Konstruer først en diagonal m. For å bestemme det, bruker vi kvaliteten til et rektangulært parallellepiped, ifølge hvilken alle vinklene er rette.

2. Konstruer diagonalen n av en av flatene til parallellepipedet. Utfør konstruksjonen slik at den berømte kanten, den ønskede diagonalen til parallellepipedet og diagonalen til ansiktet sammen danner en rettvinklet trekant a, n, m.

3. Finn den konstruerte diagonalen til ansiktet. Det er hypotenusen til en annen rettvinklet trekant b, c, n. I følge Pythagoras teorem er n² = c² + b². Beregn dette uttrykket og ta kvadratroten av den resulterende verdien - dette vil være diagonalen til ansikt n.

4. Finn diagonalen til parallellepipedet m. For å gjøre dette, i den rette trekanten a, n, m, finn en ukjent hypotenusa: m² = n² + a². Bytt ut de kjente verdiene, og beregn deretter kvadratroten. Det resulterende resultatet vil være den første diagonalen av parallellepipedet m.

5. Tegn på samme måte alle de tre andre diagonalene til parallellepipedet i trinn. Utfør også ytterligere konstruksjon av diagonaler av tilstøtende ansikter for dem alle. Ved å se på de rette trekantene som er dannet og bruke Pythagoras teorem, oppdag verdiene til de gjenværende diagonalene til kuboiden.

Video om emnet

Mange virkelige gjenstander har en parallellepipedform. Eksempler er rommet og bassenget. Deler med denne formen er ikke uvanlig i industrien. Av denne grunn oppstår ofte oppgaven med å finne volumet til en gitt figur.

Bruksanvisning

1. Et parallellepiped er et prisme hvis base er et parallellogram. Et parallellepiped har ansikter - alle flyene som danner denne figuren. Hver av dem har seks ansikter, og alle er parallellogrammer. Dens motsatte sider er like og parallelle med hverandre. I tillegg har den diagonaler som skjærer hverandre på ett punkt og halverer i det.

2. Det finnes 2 typer parallellepiped. For den første er alle ansikter parallellogrammer, og for den andre er de rektangler. Den siste kalles et rektangulært parallellepiped. Alle dens flater er rektangulære, og sideflatene er vinkelrette på basen. Hvis et rektangulært parallellepiped har flater hvis base er kvadrater, kalles det en terning. I dette tilfellet er ansiktene og kantene like. En kant er en side av et hvilket som helst polyeder, som inkluderer et parallellepiped.

3. For å finne volumet til et parallellepiped, må du vite arealet av basen og høyden. Volumet er funnet basert på hvilket spesielt parallellepiped som opptrer i forholdene til problemet. Et vanlig parallellepiped har et parallellogram ved bunnen, mens et rektangulært har et rektangel eller et kvadrat, som alltid har rette vinkler. Hvis det er et parallellogram ved bunnen av et parallellepiped, blir volumet funnet som følger: V = S * H, hvor S er arealet av basen, H er høyden til parallellepipedet er vanligvis dens sidekant. Ved bunnen av et parallellepiped kan det også være et parallellogram som ikke er et rektangel. Fra løpet av planimetri er det kjent at arealet til et parallellogram er lik: S=a*h, der h er høyden på parallellogrammet, a er lengden på basen, dvs. :V=a*hk*H

4. Hvis det andre tilfellet oppstår, når bunnen av parallellepipedet er et rektangel, beregnes volumet ved hjelp av samme formel, men arealet av basen er funnet på en litt annen måte: V=S*H,S= a*b, hvor a og b er sidene, henholdsvis rektangel og parallellepipedum.V=a*b*H

5. For å finne volumet til en kube bør man ledes av primitive logiske metoder. Siden alle flatene og kantene på kuben er like, og ved bunnen av kuben er det en firkant, ledet av formlene angitt ovenfor, kan vi utlede følgende formel: V = a^3

En lukket geometrisk figur dannet av to par parallelle segmenter av samme lengde som ligger overfor hverandre kalles et parallellogram. Et parallellogram, der alle vinkler er lik 90°, kalles også et rektangel. I denne figuren kan du tegne to segmenter med identisk lengde som forbinder motsatte hjørner - diagonaler. Lengden på disse diagonalene beregnes ved hjelp av flere metoder.

Bruksanvisning

1. Hvis lengden på 2 tilstøtende sider er kjent rektangel(A og B), da er lengden på diagonalen (C) veldig enkel å bestemme. Gå ut fra det faktum at diagonal ligger motsatt den rette vinkelen i trekanten dannet av den og disse to sidene. Dette gjør at vi kan bruke Pythagoras setning i beregninger og beregne lengden på diagonalen ved å finne kvadratroten av summen av de kvadrerte lengdene til de fremre sidene: C = v (A? + B?).

2. Hvis lengden på bare én side er kjent rektangel(A), samt størrelsen på vinkelen (?), den som dannes med den diagonal, så for å beregne lengden på denne diagonalen (C) må du bruke en av de direkte trigonometriske funksjonene - cosinus. Del lengden på forsiden med cosinus til den berømte vinkelen - dette vil være ønsket lengde på diagonalen: C=A/cos(?).

3. Hvis et rektangel er gitt av koordinatene til toppunktene, vil oppgaven med å beregne lengden på diagonalen reduseres til å finne avstanden mellom to punkter i dette koordinatsystemet. Bruk Pythagoras teorem på trekanten som danner projeksjonen av diagonalen på hver av koordinataksene. Det er mulig at et rektangel i todimensjonale koordinater dannes av toppunktene A(X?;Y?), B(X?;Y?), C(X?;Y?) og D(X?;Y? ). Deretter må du beregne avstanden mellom punktene A og C. Lengden på projeksjonen av dette segmentet på X-aksen vil være lik modulen til koordinatforskjellen |X?-X?|, og projeksjonen på Y-aksen – |Y?-Y?|. Vinkelen mellom aksene er 90°, hvorfra det følger at disse to projeksjonene er ben, og lengden på diagonalen (hypotenusen) er lik kvadratroten av summen av kvadratene av lengdene deres: AC=v(( Xa-X?)?+(Ya-Y?)?).

4. For å finne diagonalen rektangel i et tredimensjonalt koordinatsystem, fortsett på samme måte som i forrige trinn, og legg til formelen bare lengden av projeksjonen på den tredje koordinataksen: AC=v((X?-X?)?+(Y) a-Y?)?+(Z?-Z?)?).

Video om emnet

En matematisk vits forblir i minnet til mange: Pythagorasbukser er like i alle retninger. Bruk den til å beregne diagonal rektangel .

Du vil trenge

Et papirark, en linjal, en blyant, en kalkulator med funksjon for å beregne røtter.

Bruksanvisning

1. Et rektangel er en firkant hvis vinkler er i orden. Diagonal rektangel- et rett linjestykke som forbinder de to motsatte hjørnene.

2. Tegn et vilkårlig rektangel ABCD på et stykke papir støttet av en linjal og blyant. Det er kulere å gjøre dette på et kvadratisk notatbokark - det vil være lettere å tegne rette vinkler. Koble hjørnene med et segment rektangel A og C. Det resulterende segmentet AC er diagonal Yu rektangel ABCD.

3. Merk, diagonal AC deler rektangel ABCD inn i trekanter ABC og ACD. De resulterende trekantene ABC og ACD er rette trekanter, fordi vinklene ABC og ADC er lik 90 grader (per definisjon rektangel). Husk Pythagoras teorem - kvadratet på hypotenusen er lik summen av kvadratene til bena.

4. Hypotenusen er siden av trekanten motsatt den rette vinkelen. Ben er sidene av en trekant ved siden av en rett vinkel. I forhold til trekanter ABC og ACD: AB og BC, AD og DC er ben, AC er den universelle hypotenusen for begge trekantene (ønsket diagonal). Følgelig er AC kvadrat = kvadrat AB + kvadrat BC eller AC kvadrat = kvadrat AD + kvadrat DC. Bytt ut sidelengdene rektangel inn i formelen ovenfor og beregn lengden på hypotenusen (diagonal rektangel).

5. La oss si sidene rektangel ABCD er lik følgende verdier: AB = 5 cm og BC = 7 cm. Kvadraten på diagonalen AC til en gitt rektangel beregnet ved hjelp av Pythagoras teorem: AC kvadrat = kvadrat AB + kvadrat BC = 52+72 = 25 + 49 = 74 kvadratcm. Bruk en kalkulator og regn ut kvadratroten av 74. Du skal få 8,6 cm (avrundet verdi). Vær oppmerksom på at i henhold til en av eiendommene rektangel, dens diagonaler er like. Altså lengden på 2. diagonal BD rektangel ABCD er lik lengden på diagonalen AC. For eksempelet ovenfor er denne verdien 8,6 cm.

Video om emnet

Tips 6: Hvordan finne diagonalen til et parallellogram gitt sidene

Et parallellogram er en firkant hvis motsatte sider er parallelle. De rette linjene som forbinder de motsatte vinklene kalles diagonaler. Lengden deres avhenger ikke bare av lengdene på sidene av figuren, men også av verdiene til vinklene ved toppunktene til denne polygonen, og beregner derfor lengden på diagonalene uten å vite sannheten til en av vinklene er kun tillatt i unntakstilfeller. Dette er spesielle tilfeller av et parallellogram - et kvadrat og et rektangel.

Bruksanvisning

1. Hvis lengdene på alle sider av et parallellogram er identiske (a), kan denne figuren også kalles en firkant. Verdiene av alle vinklene er lik 90°, og lengdene på diagonalene (L) er identiske og kan beregnes ved hjelp av Pythagoras teorem for en rettvinklet trekant. Multipliser lengden på siden av kvadratet med roten av to - resultatet vil være lengden på hver av diagonalene: L=a*?2.

2. Hvis det er kjent om et parallellogram at det er et rektangel med lengden (a) og bredden (b) angitt i betingelsene, vil i dette tilfellet lengden på diagonalene (L) være like. Og her også, bruk Pythagoras teorem for en trekant der hypotenusen er diagonalen, og bena er to tilstøtende sider av firkanten. Beregn ønsket verdi ved å ta roten av summen av kvadratet av bredden og høyden til rektangelet: L=?(a?+b?).

3. For alle andre tilfeller er ferdigheten til sidelengdene alene tilstrekkelig bare til å bestemme en verdi som inkluderer lengdene til begge diagonalene samtidig - summen av kvadratene deres, per definisjon, er lik to ganger summen av kvadratene på siden lengder. Hvis, i tillegg til lengdene på de to tilstøtende sidene av parallellogrammet (a og b), vinkelen mellom dem (?) også er kjent, vil dette tillate oss å beregne lengdene til ethvert segment som forbinder de motsatte hjørnene av figur. Finn lengden på diagonalen (L?), som ligger motsatt den gitte vinkelen, ved å bruke cosinus-teoremet - legg til kvadratene av lengdene til tilstøtende sider, trekk fra totalen produktet av de samme lengdene med cosinus til vinkelen mellom dem , og fra den resulterende verdien ta kvadratroten: L? = ?(a?+b?-2*a*b*cos(?)). For å finne lengden på en annen diagonal (L?), kan du bruke egenskapen til et parallellogram gitt i begynnelsen av dette trinnet - doble summen av kvadratene av lengdene på 2 sider, trekk kvadratet til den beregnede diagonalen fra totalt, og ta roten fra den resulterende verdien. Generelt kan denne formelen skrives som følger: L? = ?(a?+b?-L??) = ?(a?+b?-(a?+b?-2*a*b*cos(?))) = ?(a?+b?- a?-b?+2*a*b*cos(?)) = ?(2*a*b*cos(?)).