Hvordan konstruere y sinx-funksjonen. Funksjoner y = sin x, y = cos x, y = mf(x), y = f(kx), y = tg x, y = ctg x

Funksjony = syndx

Grafen til funksjonen er en sinusformet.

Den fullstendige ikke-repeterende delen av en sinusbølge kalles en sinusbølge.

En halv sinusbølge kalles en halv sinusbølge (eller bue).

Funksjonsegenskapery = syndx:

3) Dette er en merkelig funksjon. 4) Dette er en kontinuerlig funksjon. - med abscisse-akse: (πn; 0), - med ordinatakse: (0; 0). 6) På segmentet [-π/2; π/2]-funksjonen øker på intervallet [π/2; 3π/2] – reduseres. 7) På intervaller tar funksjonen positive verdier. På intervallene [-π + 2πn; 2πn] funksjonen tar negative verdier. 8) Intervaller med økende funksjon: [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn]. Avtagende intervaller for funksjonen: [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn]. 9) Minimumspunkter for funksjonen: -π/2 + 2πn. Funksjons maksimale punkter: π/2 + 2πn den høyeste verdien er 1.

Å tegne en funksjon y= synd x Det er praktisk å bruke følgende skalaer:

På et papirark med en firkant tar vi lengden på to firkanter som en segmentenhet.

På aksen x La oss måle lengden π. Samtidig presenterer vi for enkelhets skyld 3.14 i form av 3 - det vil si uten en brøkdel. Så på et ark i en celle vil π være 6 celler (tre ganger 2 celler). Og hver celle vil få sitt eget naturlige navn (fra den første til den sjette): π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π. Dette er betydningene x.

På y-aksen markerer vi 1, som inkluderer to celler.

La oss lage en tabell med funksjonsverdier ved å bruke verdiene våre x:

			√3 - 2		√3 - 2

La oss deretter lage en tidsplan. Resultatet er en halvbølge, hvis høyeste punkt er (π/2; 1). Dette er grafen til funksjonen y= synd x på segmentet. La oss legge til en symmetrisk halvbølge til den konstruerte grafen (symmetrisk i forhold til origo, det vil si på segmentet -π). Toppen av denne halvbølgen er under x-aksen med koordinater (-1; -1). Resultatet blir en bølge. Dette er grafen til funksjonen y= synd x på segmentet [-π; π].

Du kan fortsette bølgen ved å konstruere den på segmentet [π; 3π], [π; 5π], [π; 7π], osv. På alle disse segmentene vil grafen til funksjonen se lik ut som på segmentet [-π; π]. Du vil få en sammenhengende bølgelinje med identiske bølger.

Funksjony = cosx.

Grafen til en funksjon er en sinusbølge (noen ganger kalt en cosinusbølge).

Funksjonsegenskapery = cosx:

1) Definisjonsdomenet til en funksjon er settet av reelle tall. 2) Utvalget av funksjonsverdier er segmentet [–1; 1] 3) Dette er en jevn funksjon. 4) Dette er en kontinuerlig funksjon. 5) Koordinater for skjæringspunktene til grafen: - med abscisse-aksen: (π/2 + πn; 0), - med ordinataksen: (0;1). 6) På segmentet avtar funksjonen, på segmentet [π; 2π] – øker. 7) På intervaller [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] funksjonen tar positive verdier. På intervallene [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn] funksjonen tar negative verdier. 8) Økende intervaller: [-π + 2πn; 2πn]. Avtagende intervaller: ; 9) Minimumspunkter for funksjonen: π + 2πn. Maksimumspoeng for funksjonen: 2πn. 10) Funksjonen er begrenset ovenfra og nedenfra. Den minste verdien av funksjonen er –1, den høyeste verdien er 1. 11) Dette er en periodisk funksjon med en periode på 2π (T = 2π)

Funksjony = mf(x).

La oss ta den forrige funksjonen y=cos x. Som du allerede vet, er grafen en sinusbølge. Hvis vi multipliserer cosinus til denne funksjonen med et visst tall m, vil bølgen utvide seg fra aksen x(eller vil krympe, avhengig av verdien av m).
Denne nye bølgen vil være grafen til funksjonen y = mf(x), der m er et hvilket som helst reelt tall.

Dermed er funksjonen y = mf(x) den kjente funksjonen y = f(x) multiplisert med m.

Hvism< 1, то синусоида сжимается к оси x etter koeffisientenm. Hvism > 1, så strekkes sinusoiden fra aksenx etter koeffisientenm.

Når du utfører strekking eller kompresjon, kan du først plotte bare én halvbølge av en sinusbølge, og deretter fullføre hele grafen.

Funksjony= f(kx).

Hvis funksjonen y=mf(x) fører til strekking av sinusoiden fra aksen x eller kompresjon mot aksen x, så fører funksjonen y = f(kx) til strekking fra aksen y eller kompresjon mot aksen y.

Dessuten er k et hvilket som helst reelt tall.

På 0< k< 1 синусоида растягивается от оси y etter koeffisientenk. Hvisk > 1, så komprimeres sinusoiden mot akseny etter koeffisientenk.

Når du tegner en graf for denne funksjonen, kan du først bygge en halvbølge av en sinusbølge, og deretter bruke den til å fullføre hele grafen.

Funksjony = tgx.

Funksjonsgraf y= tg x er en tangent.

Det er nok å konstruere en del av grafen i intervallet fra 0 til π/2, og så kan du symmetrisk fortsette den i intervallet fra 0 til 3π/2.

Funksjonsegenskapery = tgx:

Funksjony = ctgx

Funksjonsgraf y=ctg x er også en tangentoid (noen ganger kalt en cotangentoid).

Funksjonsegenskapery = ctgx:

I denne leksjonen vil vi ta en detaljert titt på funksjonen y = sin x, dens grunnleggende egenskaper og graf. I begynnelsen av leksjonen vil vi gi definisjonen av den trigonometriske funksjonen y = sin t på koordinatsirkelen og vurdere grafen til funksjonen på sirkelen og linjen. La oss vise periodisiteten til denne funksjonen på grafen og vurdere hovedegenskapene til funksjonen. På slutten av leksjonen skal vi løse flere enkle oppgaver ved å bruke grafen til en funksjon og dens egenskaper.

Emne: Trigonometriske funksjoner

Leksjon: Funksjonen y=sinx, dens grunnleggende egenskaper og graf

Når du vurderer en funksjon, er det viktig å knytte hver argumentverdi til en enkelt funksjonsverdi. Dette korrespondanseloven og kalles en funksjon.

La oss definere korrespondanseloven for .

Ethvert reelt tall tilsvarer et enkelt punkt på enhetssirkelen Et punkt har en enkelt ordinat, som kalles tallets sinus (fig. 1).

Hver argumentverdi er knyttet til en enkelt funksjonsverdi.

Åpenbare egenskaper følger av definisjonen av sinus.

Figuren viser det fordi er ordinaten til et punkt på enhetssirkelen.

Tenk på grafen til funksjonen. La oss huske den geometriske tolkningen av argumentet. Argumentet er den sentrale vinkelen, målt i radianer. Langs aksen vil vi plotte reelle tall eller vinkler i radianer, langs aksen de tilsvarende verdiene til funksjonen.

For eksempel tilsvarer en vinkel på enhetssirkelen et punkt på grafen (fig. 2)

Vi har fått en graf over funksjonen i området, men når vi kjenner perioden til sinusen, kan vi avbilde grafen til funksjonen over hele definisjonsdomenet (fig. 3).

Funksjonens hovedperiode er Dette betyr at grafen kan hentes på et segment og deretter fortsettes gjennom hele definisjonsdomenet.

Tenk på egenskapene til funksjonen:

1) Definisjonsomfang:

2) Verdiområde:

3) Odd funksjon:

4) Minste positive periode:

5) Koordinater for skjæringspunktene til grafen med abscisseaksen:

6) Koordinater for skjæringspunktet for grafen med ordinataksen:

7) Intervaller der funksjonen tar positive verdier:

8) Intervaller der funksjonen tar negative verdier:

9) Økende intervaller:

10) Reduserende intervaller:

11) Minimum poeng:

12) Minimumsfunksjoner:

13) Maks poeng:

14) Maksimal funksjoner:

Vi så på egenskapene til funksjonen og dens graf. Egenskapene vil bli brukt gjentatte ganger ved løsning av problemer.

Bibliografi

1. Algebra og begynnelse av analyse, karakter 10 (i to deler). Lærebok for allmennutdanningsinstitusjoner (profilnivå), red. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra og begynnelse av analyse, karakter 10 (i to deler). Oppgavebok for utdanningsinstitusjoner (profilnivå), red. A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra og matematisk analyse for klasse 10 (lærebok for elever i skoler og klasser med fordypning i matematikk - M.: Prosveshchenie, 1996).

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Fordypning i algebra og matematisk analyse.-M.: Education, 1997.

5. Samling av problemer i matematikk for søkere til høyere utdanningsinstitusjoner (redigert av M.I. Skanavi) - M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebraisk simulator.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Problemer om algebra og analyseprinsipper (en manual for studenter i klasse 10-11 ved generelle utdanningsinstitusjoner) - M.: Prosveshchenie, 2003.

8. Karp A.P. Samling av problemer om algebra og analyseprinsipper: lærebok. godtgjørelse for 10-11 klassetrinn. med dybde studert Matematikk.-M.: Utdanning, 2006.

Hjemmelekser

Algebra og begynnelse av analyse, karakter 10 (i to deler). Oppgavebok for utdanningsinstitusjoner (profilnivå), red.

A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Ytterligere nettressurser

3. Utdanningsportal for eksamensforberedelse ().

Hvordan tegne funksjonen y=sin x? La oss først se på sinusgrafen på intervallet.

Vi tar et enkelt segment 2 celler langt i notatboken. På Oy-aksen markerer vi en.

For enkelhets skyld avrunder vi tallet π/2 til 1,5 (og ikke til 1,6, slik avrundingsreglene krever). I dette tilfellet tilsvarer et segment med lengde π/2 3 celler.

På Ox-aksen markerer vi ikke enkeltsegmenter, men segmenter med lengde π/2 (hver 3. celle). Følgelig tilsvarer et segment med lengde π 6 celler, og et segment med lengde π/6 tilsvarer 1 celle.

Med dette valget av et enhetssegment tilsvarer grafen som er avbildet på et notatbok i en boks så mye som mulig grafen til funksjonen y=sin x.

La oss lage en tabell med sinusverdier på intervallet:

Vi markerer de resulterende punktene på koordinatplanet:

Siden y=sin x er en oddetallsfunksjon, er sinusgrafen symmetrisk med hensyn til origo - punkt O(0;0). Med dette i betraktning, fortsetter vi å plotte grafen til venstre, deretter punktene -π:

Funksjonen y=sin x er periodisk med periode T=2π. Derfor gjentas grafen til en funksjon tatt på intervallet [-π;π] et uendelig antall ganger til høyre og venstre.

Vi fant ut at oppførselen til trigonometriske funksjoner, og funksjonene y = sin x spesielt, på hele talllinjen (eller for alle verdiene i argumentet X) er fullstendig bestemt av oppførselen i intervallet 0 < X < π / 2 .

Derfor vil vi først og fremst plotte funksjonen y = sin x akkurat i dette intervallet.

La oss lage følgende verditabell for funksjonen vår;

Ved å markere de tilsvarende punktene på koordinatplanet og forbinde dem med en jevn linje, får vi kurven vist på figuren

Den resulterende kurven kan også konstrueres geometrisk, uten å kompilere en tabell med funksjonsverdier y = sin x .

1. Del den første fjerdedelen av en sirkel med radius 1 i 8 like deler. Ordinatene til sirkelens delepunkt er sinusene til de tilsvarende vinklene.

2.Den første fjerdedelen av sirkelen tilsvarer vinkler fra 0 til π / 2 . Derfor på aksen X La oss ta et segment og dele det i 8 like deler.

3. La oss tegne rette linjer parallelt med aksene X, og fra delingspunktene konstruerer vi perpendikulære til de skjærer hverandre med horisontale linjer.

4. Koble sammen skjæringspunktene med en jevn linje.

La oss nå se på intervallet π / 2 < X < π .
Hver argumentverdi X fra dette intervallet kan representeres som

x = π / 2 + φ

Hvor 0 < φ < π / 2 . I henhold til reduksjonsformler

synd( π / 2 + φ ) = cos φ = synd ( π / 2 - φ ).

Aksepunkter X med abscisser π / 2 + φ Og π / 2 - φ symmetrisk til hverandre om aksepunktet X med abscisse π / 2 , og sinusene på disse punktene er de samme. Dette lar oss få en graf over funksjonen y = sin x i intervallet [ π / 2 , π ] ved ganske enkelt å vise grafen til denne funksjonen symmetrisk i intervallet i forhold til den rette linjen X = π / 2 .

Bruker nå eiendommen odde paritetsfunksjon y = sin x,

synd(- X) = - synd X,

det er enkelt å plotte denne funksjonen i intervallet [- π , 0].

Funksjonen y = sin x er periodisk med en periode på 2π ;. Derfor, for å konstruere hele grafen til denne funksjonen, er det nok å fortsette kurven vist i figuren til venstre og høyre periodisk med en periode 2π .

Den resulterende kurven kalles sinusformet . Dette er grafen til funksjonen y = sin x.

Figuren illustrerer godt alle egenskapene til funksjonen y = sin x , som vi tidligere har bevist. La oss huske disse egenskapene.

1) Funksjon y = sin x definert for alle verdier X , så domenet er settet av alle reelle tall.

2) Funksjon y = sin x begrenset. Alle verdier den aksepterer er mellom -1 og 1, inkludert disse to tallene. Følgelig bestemmes variasjonsområdet for denne funksjonen av ulikheten -1 < på < 1. Når X = π / 2 + 2k π funksjonen tar de største verdiene lik 1, og for x = - π / 2 + 2k π - de minste verdiene er lik - 1.

3) Funksjon y = sin x er oddetall (sinusbølgen er symmetrisk om origo).

4) Funksjon y = sin x periodisk med periode 2 π .

5) I intervaller 2n π < x < π + 2n π (n er et hvilket som helst heltall) det er positivt, og i intervaller π + 2k π < X < 2π + 2k π (k er et hvilket som helst heltall) det er negativt. Ved x = k π funksjonen går til null. Derfor er disse verdiene til argumentet x (0; ± π ; ±2 π ; ...) kalles funksjonnuller y = sin x

6) Med intervaller - π / 2 + 2n π < X < π / 2 + 2n π funksjon y = synd x øker monotont, og i intervaller π / 2 + 2k π < X < 3π / 2 + 2k π den avtar monotont.

Du bør være spesielt oppmerksom på funksjonen til funksjonen y = sin x nær punktet X = 0 .

For eksempel sin 0,012 ≈ 0,012; sin(-0,05) ≈ -0,05;

synd 2° = synd π 2 / 180 = synd π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

Imidlertid bør det bemerkes at for alle verdier av x

| synd x| < | x | . (1)

La radiusen til sirkelen vist på figuren være lik 1,
en / AOB = X.

Så synd x= AC. Men AC< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол X. Lengden på denne buen er åpenbart lik X, siden radiusen til sirkelen er 1. Så ved 0< X < π / 2

synd x< х.

Derfor, på grunn av rarheten til funksjonen y = sin x det er lett å vise at når - π / 2 < X < 0

| synd x| < | x | .

Til slutt, når x = 0

| sin x | = | x |.

Altså for | X | < π / 2 ulikhet (1) er bevist. Faktisk gjelder denne ulikheten også for | x | > π / 2 på grunn av at | synd X | < 1, a π / 2 > 1

Øvelser

1.I henhold til grafen til funksjonen y = sin x bestemme: a) synd 2; b) synd 4; c) synd (-3).

2.I henhold til grafen til funksjonen y = sin x bestemme hvilket tall fra intervallet
[ - π / 2 , π / 2 ] har en sinus lik: a) 0,6; b) -0,8.

3. I henhold til grafen til funksjonen y = sin x bestemme hvilke tall som har en sinus,
lik 1/2.

4. Finn omtrentlig (uten å bruke tabeller): a) sin 1°; b) sin 0,03;
c) sin (-0,015); d) sin (-2°30").

Leksjon og presentasjon om emnet: "Funksjon y=sin(x). Definisjoner og egenskaper"

Ytterligere materialer
Kjære brukere, ikke glem å legge igjen kommentarer, anmeldelser, ønsker! Alt materiale er sjekket av et antivirusprogram.

Manualer og simulatorer i Integral nettbutikk for klasse 10 fra 1C
Vi løser problemer innen geometri. Interaktive byggeoppgaver for klasse 7-10
Programvaremiljø "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Hva vi skal studere:

• Egenskaper til funksjonen Y=sin(X).
• Funksjonsgraf.
• Hvordan bygge en graf og dens skala.
• Eksempler.

Egenskaper til sinus. Y=sin(X)

Gutter, vi har allerede blitt kjent med trigonometriske funksjoner til et numerisk argument. Husker du dem?

La oss se nærmere på funksjonen Y=sin(X)

La oss skrive ned noen egenskaper ved denne funksjonen:
1) Definisjonsdomenet er settet av reelle tall.
2) Funksjonen er merkelig. La oss huske definisjonen av en oddetallsfunksjon. En funksjon kalles oddetall hvis likheten holder: y(-x)=-y(x). Som vi husker fra spøkelsesformlene: sin(-x)=-sin(x). Definisjonen er oppfylt, som betyr at Y=sin(X) er en oddetallsfunksjon.
3) Funksjonen Y=sin(X) øker på segmentet og avtar på segmentet [π/2; π]. Når vi beveger oss langs første kvartal (mot klokken), øker ordinaten, og når vi beveger oss gjennom andre kvartal reduseres den.

4) Funksjonen Y=sin(X) er begrenset nedenfra og ovenfra. Denne egenskapen følger av at
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) Den minste verdien av funksjonen er -1 (ved x = - π/2+ πk). Den største verdien av funksjonen er 1 (ved x = π/2+ πk).

La oss bruke egenskapene 1-5 til å plotte funksjonen Y=sin(X). Vi vil bygge grafen vår sekvensielt ved å bruke egenskapene våre. La oss begynne å bygge en graf på segmentet.

Spesiell oppmerksomhet bør rettes mot skalaen. På ordinataksen er det mer praktisk å ta et enhetssegment lik 2 celler, og på abscisseaksen er det mer praktisk å ta et enhetssegment (to celler) lik π/3 (se figur).

Plotter sinus x-funksjonen, y=sin(x)

La oss beregne verdiene til funksjonen på vårt segment:

La oss bygge en graf ved å bruke poengene våre, og ta hensyn til den tredje egenskapen.

Konverteringstabell for spøkelsesformler

La oss bruke den andre egenskapen, som sier at funksjonen vår er odd, noe som betyr at den kan reflekteres symmetrisk med hensyn til opprinnelsen:

Vi vet at sin(x+ 2π) = sin(x). Dette betyr at på segmentet [- π; π] grafen ser lik ut som på segmentet [π; 3π] eller eller [-3π; - π] og så videre. Alt vi trenger å gjøre er å tegne omhyggelig grafen i forrige figur langs hele x-aksen.

Grafen til funksjonen Y=sin(X) kalles en sinusformet.

La oss skrive noen flere egenskaper i henhold til den konstruerte grafen:
6) Funksjonen Y=sin(X) øker på et hvilket som helst segment av formen: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k er et heltall og avtar på et hvilket som helst segment av formen: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – heltall.
7) Funksjon Y=sin(X) er en kontinuerlig funksjon. La oss se på grafen til funksjonen og sørge for at funksjonen vår ikke har noen brudd, dette betyr kontinuitet.
8) Verdiområde: segment [- 1; 1]. Dette er også godt synlig fra grafen til funksjonen.
9) Funksjon Y=sin(X) - periodisk funksjon. La oss se på grafen igjen og se at funksjonen tar de samme verdiene med visse intervaller.

Eksempler på problemer med sinus

1. Løs ligningen sin(x)= x-π

Løsning: La oss bygge 2 grafer av funksjonen: y=sin(x) og y=x-π (se figur).
Grafene våre skjærer hverandre i ett punkt A(π;0), dette er svaret: x = π

2. Tegn grafen for funksjonen y=sin(π/6+x)-1

Løsning: Den ønskede grafen oppnås ved å flytte grafen til funksjonen y=sin(x) π/6 enheter til venstre og 1 enhet ned.

Løsning: La oss plotte funksjonen og vurdere segmentet vårt [π/2; 5π/4].
Grafen til funksjonen viser at de største og minste verdiene oppnås ved enden av segmentet, henholdsvis i punktene π/2 og 5π/4.
Svar: sin(π/2) = 1 – den største verdien, sin(5π/4) = den minste verdien.

Sinusproblemer for uavhengig løsning

• Løs ligningen: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
• Tegn grafen for funksjonen y=sin(π/3+x)-2
• Tegn grafen for funksjonen y=sin(-2π/3+x)+1
• Finn den største og minste verdien av funksjonen y=sin(x) på segmentet
• Finn den største og minste verdien av funksjonen y=sin(x) på intervallet [- π/3; 5π/6]