Hvordan konstruere y sinx-funksjonen. Graf for funksjonen y = sin x

Videoleksjonen "Funksjon y = sinx, ee-egenskaper og graf" presenterer visuelt materiale om dette emnet, samt kommentarer til det. Under demonstrasjonen blir typen funksjon, dens egenskaper vurdert, oppførselen på ulike segmenter av koordinatplanet, funksjonene til grafen beskrevet i detalj, og et eksempel på en grafisk løsning av trigonometriske ligninger som inneholder en sinus er beskrevet. Ved hjelp av en videoleksjon er det lettere for en lærer å formulere en elevs forståelse av denne funksjonen og lære dem å løse problemer grafisk.

Videoleksjonen bruker verktøy for å gjøre det enklere å huske og forstå pedagogisk informasjon. I presentasjonen av grafer og i beskrivelsen av løsningen av problemer, brukes animasjonseffekter som hjelper til med å forstå funksjonen til funksjonen og presentere fremdriften til løsningen sekvensielt. Å gi uttrykk for materialet supplerer det også med viktige kommentarer som erstatter lærerens forklaring. Dermed kan dette materialet også brukes som et visuelt hjelpemiddel. Og som en selvstendig del av leksjonen i stedet for lærerens forklaring om et nytt emne.

Demonstrasjonen starter med å introdusere emnet for leksjonen. Sinusfunksjonen presenteres, hvis beskrivelse er uthevet i en boks for memorering - s=sint, der argumentet t kan være et hvilket som helst reelt tall. Beskrivelsen av egenskapene til denne funksjonen begynner med definisjonsdomenet. Det bemerkes at definisjonsdomenet til funksjonen er hele den numeriske aksen til reelle tall, det vil si D(f)=(- ∞;+∞). Den andre egenskapen er oddeligheten til sinusfunksjonen. Elevene blir minnet om at denne egenskapen ble studert i 9. klasse, da det ble bemerket at for en oddetallsfunksjon gjelder likheten f(-x)=-f(x). For sinus demonstreres bekreftelse av oddeligheten til funksjonen på enhetssirkelen, delt inn i kvartaler. Når vi vet hvilket fortegn funksjonen har i forskjellige kvartaler av koordinatplanet, bemerkes det at for argumenter med motsatte fortegn, ved å bruke eksemplet med punktene L(t) og N(-t), er oddighetsbetingelsen oppfylt for sinusen. Derfor er s=sint en odde funksjon. Dette betyr at grafen til funksjonen er symmetrisk om opprinnelsen.

Den tredje egenskapen til sinusen viser intervallene mellom økende og avtagende funksjoner. Den bemerker at denne funksjonen øker på segmentet, og avtar på segmentet [π/2;π]. Egenskapen er demonstrert i figuren, som viser en enhetssirkel og når man beveger seg fra punkt A mot klokken, øker ordinaten, det vil si at verdien av funksjonen øker til π/2. Når man beveger seg fra punkt B til C, det vil si når vinkelen endres fra π/2 til π, synker ordinatverdien. I tredje fjerdedel av sirkelen, når du beveger deg fra punkt C til punkt D, synker ordinaten fra 0 til -1, det vil si at verdien av sinusen avtar. I det siste kvartalet, når man beveger seg fra punkt D til punkt A, øker ordinatverdien fra -1 til 0. Dermed kan vi trekke en generell konklusjon om funksjonens oppførsel. Skjermen viser utgangen som sint øker på segmentet [-(π/2)+2πk; (π/2)+2πk], avtar på intervallet [(π/2)+2πk; (3π/2)+2πk] for et hvilket som helst heltall k.

Den fjerde egenskapen til sinus vurderer funksjonens avgrensning. Det bemerkes at sint-funksjonen er avgrenset både over og under. Elevene blir minnet om informasjon fra algebra i 9. klasse da de ble introdusert for begrepet avgrensethet til en funksjon. Betingelsen for en funksjon avgrenset ovenfra vises på skjermen, for hvilken det er et visst tall som ulikheten f(x)>=M gjelder for på et hvilket som helst punkt i funksjonen. Vi husker også tilstanden til en funksjon som er avgrenset nedenfor, for hvilken det er et tall m mindre enn hvert punkt i funksjonen. For sint er betingelsen -1 oppfylt<= sint<=1. То есть данная функция ограничена сверху и снизу. То есть она является ограниченной.

Den femte egenskapen vurderer de minste og største verdiene av funksjonen. Oppnåelsen av den minste verdien -1 i hvert punkt t=-(π/2)+2πk, og den største ved punktene t=(π/2)+2πk noteres.

Basert på egenskapene som vurderes, konstrueres en graf over sintfunksjonen på segmentet. For å konstruere funksjonen brukes tabellverdiene til sinusen ved de tilsvarende punktene. Koordinatene til punktene π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π er markert på koordinatplanet. Ved å merke tabellverdiene til funksjonen på disse punktene og koble dem med en jevn linje, bygger vi en graf.

For å plotte en graf av funksjonen sint på segmentet [-π;π], brukes egenskapen symmetri til funksjonen med hensyn til opprinnelsen til koordinatene. Figuren viser hvordan linjen oppnådd som et resultat av konstruksjon overføres jevnt symmetrisk i forhold til origo for koordinater til segmentet [-π;0].

Ved å bruke egenskapen til sint-funksjonen, uttrykt i reduksjonsformelen sin(x+2π) = sin x, bemerkes det at hver 2π sinusgrafen gjentas. Således, på intervallet [π; 3π] vil grafen være den samme som på [-π;π]. Dermed representerer grafen til denne funksjonen repeterende fragmenter [-π;π] gjennom hele definisjonsdomenet. Det bemerkes separat at en slik graf av en funksjon kalles en sinusoid. Konseptet med en sinusbølge er også introdusert - et fragment av en graf bygget på segmentet [-π;π], og en sinusformet bue bygget på segmentet . Disse fragmentene vises igjen for memorering.

Det bemerkes at sint-funksjonen er en kontinuerlig funksjon over hele definisjonsdomenet, og også at rekkevidden av verdier til funksjonen ligger i verdisettet til segmentet [-1;1].

På slutten av videoleksjonen vurderes en grafisk løsning på ligningen sin x=x+π. Åpenbart vil den grafiske løsningen til ligningen være skjæringspunktet mellom grafen til funksjonen gitt av uttrykket på venstre side og funksjonen gitt av uttrykket på høyre side. For å løse oppgaven konstrueres et koordinatplan, hvor den tilsvarende sinusformen y=sin x er skissert, og en rett linje som tilsvarer grafen til funksjonen y=x+π konstrueres. De konstruerte grafene skjærer hverandre i et enkelt punkt B(-π;0). Derfor vil x=-π være løsningen på ligningen.

Videoleksjonen "Funksjon y = sinx, ee-egenskaper og graf" vil bidra til å øke effektiviteten til en tradisjonell matematikktime på skolen. Du kan også bruke visuelt materiale når du utfører fjernundervisning. Håndboken kan hjelpe til med å mestre emnet for studenter som trenger ekstra leksjoner for en dypere forståelse av materialet.

TEKSTDEKODING:

Temaet for leksjonen vår er "Funksjonen y = sin x, dens egenskaper og graf."

Tidligere har vi allerede blitt kjent med funksjonen s = sin t, hvor tϵR (es er lik sinus te, der te tilhører settet av reelle tall). La oss studere egenskapene til denne funksjonen:

EGENSKAPER 1. Definisjonsdomenet er settet av reelle tall R (er), det vil si D(f) = (- ; +) (de fra ef representerer intervallet fra minus uendelig til pluss uendelig).

EIENDOM 2. Funksjonen s = sin t er oddetall.

I leksjonene i 9. klasse lærte vi at funksjonen y = f (x), x ϵX (yen er lik ef til x, hvor x tilhører mengden x er stor) kalles oddetall hvis for en hvilken som helst verdi x fra mengden X likestillingen

f (- x) = - f (x) (eff fra minus x er lik minus ef fra x).

Og siden ordinatene til punktene L og N som er symmetriske om abscisseaksen er motsatte, så er sin(- t) = -sint.

Det vil si at s = sin t er en oddetallsfunksjon og grafen til funksjonen s = sin t er symmetrisk med hensyn til origo i det rektangulære koordinatsystemet tOs(te o es).

La oss vurdere EIENDOM 3. På intervallet [ 0; ] (fra null til pi med to) funksjonen s = sin t øker og avtar på segmentet [; ](fra pi med to til pi).

Dette er tydelig synlig i figurene: når et punkt beveger seg langs tallsirkelen fra null til pi med to (fra punkt A til B), øker ordinaten gradvis fra 0 til 1, og når man beveger seg fra pi med to til pi (fra punkt B til C), synker ordinaten gradvis fra 1 til 0.

Når et punkt beveger seg langs tredje kvartal (fra punkt C til punkt D), synker ordinaten til det bevegelige punktet fra null til minus én, og når man beveger seg langs fjerde kvartal, øker ordinaten fra minus én til null. Derfor kan vi trekke en generell konklusjon: funksjonen s = sin t øker på intervallet

(fra minus pi med to pluss to pi ka til pi med to pluss to pi ka), og avtar på segmentet [; (fra pi ganger to pluss to pi ka til tre pi ganger to pluss to pi ka), hvor

(ka tilhører settet med heltall).

EIENDOM 4. Funksjonen s = sint er avgrenset over og under.

Fra kurset i 9. klasse, husk definisjonen av begrensethet: en funksjon y = f (x) kalles avgrenset nedenfor hvis alle verdiene til funksjonen ikke er mindre enn et visst tall m m slik at for enhver verdi x fra definisjonsdomenet til funksjonen er ulikheten f (x) ≥ m(ef fra x er større enn eller lik em). En funksjon y = f (x) sies å være avgrenset over hvis alle verdiene til funksjonen ikke er større enn et visst tall M, betyr dette at det er et tall M slik at for enhver verdi x fra definisjonsdomenet til funksjonen er ulikheten f (x) ≤ M(eff fra x er mindre enn eller lik em En funksjon kalles avgrenset hvis den er avgrenset både under og over).

La oss gå tilbake til funksjonen vår: begrensethet følger av det faktum at for enhver te er ulikheten sann - 1 ≤ sint≤ 1. (sinus te er større enn eller lik minus en, men mindre enn eller lik en).

EGENSKAP 5. Den minste verdien av en funksjon er lik minus én og funksjonen når denne verdien på et hvilket som helst punkt på formen t = (te er lik minus pi med to pluss to topper, og den største verdien av funksjonen er lik til én og oppnås av funksjonen på et hvilket som helst punkt på formen t = (te er lik pi ganger to pluss to pi ka).

De største og minste verdiene av funksjonen s = sin t angir s mest. og s maks. .

Ved å bruke de oppnådde egenskapene vil vi konstruere en graf for funksjonen y = sin x (gresken er lik sinus x), fordi vi er mer kjent med å skrive y = f (x) i stedet for s = f (t).

Til å begynne med, la oss velge en skala: langs ordinataksen, la oss ta to celler som et enhetssegment, og langs abscisseaksen er to celler pi ganger tre (siden ≈ 1). La oss først bygge en graf av funksjonen y = sin x på segmentet. Vi trenger en tabell med funksjonsverdier på dette segmentet for å konstruere det, vi vil bruke verditabellen for de tilsvarende cosinus- og sinusvinklene:

For å bygge en tabell med argument- og funksjonsverdier, må du derfor huske det X(x) dette tallet er tilsvarende lik vinkelen i intervallet fra null til pi, og på(gresk) verdien av sinusen til denne vinkelen.

La oss markere disse punktene på koordinatplanet. I følge EIENDOM 3 på segmentet

[0; ] (fra null til pi med to) funksjonen y = sin x øker og reduseres på segmentet [; ](fra pi med to til pi) og kobler de resulterende punktene med en jevn linje, får vi en del av grafen (fig. 1).

Ved å bruke symmetrien til grafen til en odde funksjon i forhold til origo, får vi en graf av funksjonen y = sin x allerede på segmentet

[-π; π ] (fra minus pi til pi (fig. 2)

Husk at sin(x + 2π)= sinx

(sinus til x pluss to pi er lik sinus til x). Dette betyr at ved punkt x + 2π får funksjonen y = sin x samme verdi som ved punkt x. Og siden (x + 2π)ϵ [π; 3π ](x pluss to pi tilhører segmentet fra pi til tre pi), hvis xϵ[-π; π ], deretter på segmentet [π; 3π ] grafen til funksjonen ser nøyaktig lik ut som på segmentet [-π; π]. Tilsvarende, på segmentene , , [-3π; -π ] og så videre, grafen til funksjonen y = sin x ser lik ut som på segmentet

[-π; π].(fig.3)

Linjen som er grafen til funksjonen y = sin x kalles en sinusbølge. Den delen av sinusbølgen som er vist i figur 2 kalles en sinusbølge, mens den i figur 1 kalles en sinusbølge eller halvbølge.

Ved å bruke den konstruerte grafen skriver vi ned noen flere egenskaper ved denne funksjonen.

EIENDOM 6. Funksjonen y = sin x er en kontinuerlig funksjon. Dette betyr at grafen til funksjonen er kontinuerlig, det vil si at den ikke har noen hopp eller punkteringer.

EIENDOM 7. Verdiområdet til funksjonen y = sin x er segmentet [-1; 1] (fra minus én til én) eller det kan skrives slik: (e fra ef er lik segmentet fra minus én til én).

La oss se på et EKSEMPEL. Løs grafisk ligningen sin x = x + π (sinus x er lik x pluss pi).

Løsning. La oss bygge grafer over funksjoner y = synd X Og y = x + π.

Grafen til funksjonen y = sin x er en sinusformet.

y = x + π er en lineær funksjon, hvis graf er en rett linje som går gjennom punktene med koordinater (0; π) og (- π ; 0).

De konstruerte grafene har ett skjæringspunkt - punkt B(- π;0) (vær med koordinater minus pi, null). Dette betyr at denne ligningen bare har én rot - abscissen til punkt B - -π. Svar: X = - π.

Vi fant ut at oppførselen til trigonometriske funksjoner, og funksjonene y = sin x spesielt, på hele talllinjen (eller for alle verdiene av argumentet X) er fullstendig bestemt av oppførselen i intervallet 0 < X < π / 2 .

Derfor vil vi først og fremst plotte funksjonen y = sin x akkurat i dette intervallet.

La oss lage følgende verditabell for funksjonen vår;

Ved å markere de tilsvarende punktene på koordinatplanet og forbinde dem med en jevn linje, får vi kurven vist på figuren

Den resulterende kurven kan også konstrueres geometrisk, uten å kompilere en tabell med funksjonsverdier y = sin x .

1. Del den første fjerdedelen av en sirkel med radius 1 i 8 like deler. Ordinatene til sirkelens delepunkt er sinusene til de tilsvarende vinklene.

2.Den første fjerdedelen av sirkelen tilsvarer vinkler fra 0 til π / 2 . Derfor på aksen X La oss ta et segment og dele det i 8 like deler.

3. La oss tegne rette linjer parallelt med aksene X, og fra delingspunktene konstruerer vi perpendikulære til de skjærer hverandre med horisontale linjer.

4. Koble sammen skjæringspunktene med en jevn linje.

La oss nå se på intervallet π / 2 < X < π .
Hver argumentverdi X fra dette intervallet kan representeres som

x = π / 2 + φ

Hvor 0 < φ < π / 2 . I henhold til reduksjonsformler

synd( π / 2 + φ ) = cos φ = synd ( π / 2 - φ ).

Aksepunkter X med abscisser π / 2 + φ Og π / 2 - φ symmetrisk til hverandre om aksepunktet X med abscisse π / 2 , og sinusene på disse punktene er de samme. Dette lar oss få en graf over funksjonen y = sin x i intervallet [ π / 2 , π ] ved ganske enkelt å vise grafen til denne funksjonen symmetrisk i intervallet i forhold til den rette linjen X = π / 2 .

Bruker nå eiendommen odde paritetsfunksjon y = sin x,

synd(- X) = - synd X,

det er enkelt å plotte denne funksjonen i intervallet [- π , 0].

Funksjonen y = sin x er periodisk med en periode på 2π ;. Derfor, for å konstruere hele grafen til denne funksjonen, er det nok å fortsette kurven vist i figuren til venstre og høyre periodisk med en periode 2π .

Den resulterende kurven kalles sinusformet . Dette er grafen til funksjonen y = sin x.

Figuren illustrerer godt alle egenskapene til funksjonen y = sin x , som vi tidligere har bevist. La oss huske disse egenskapene.

1) Funksjon y = sin x definert for alle verdier X , så domenet er settet av alle reelle tall.

2) Funksjon y = sin x begrenset. Alle verdiene den aksepterer er mellom -1 og 1, inkludert disse to tallene. Følgelig bestemmes variasjonsområdet for denne funksjonen av ulikheten -1 < på < 1. Når X = π / 2 + 2k π funksjonen tar de største verdiene lik 1, og for x = - π / 2 + 2k π - de minste verdiene er lik - 1.

3) Funksjon y = sin x er merkelig (sinusformen er symmetrisk om opprinnelsen).

4) Funksjon y = sin x periodisk med periode 2 π .

5) I intervaller 2n π < x < π + 2n π (n er et hvilket som helst heltall) det er positivt, og i intervaller π + 2k π < X < 2π + 2k π (k er et hvilket som helst heltall) det er negativt. Ved x = k π funksjonen går til null. Derfor er disse verdiene til argumentet x (0; ± π ; ±2 π ; ...) kalles funksjonnuller y = sin x

6) Med intervaller - π / 2 + 2n π < X < π / 2 + 2n π funksjon y = synd x øker monotont, og i intervaller π / 2 + 2k π < X < 3π / 2 + 2k π den avtar monotont.

Du bør være spesielt oppmerksom på funksjonen til funksjonen y = sin x nær punktet X = 0 .

For eksempel sin 0,012 ≈ 0,012; sin(-0,05) ≈ -0,05;

synd 2° = synd π 2 / 180 = synd π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

Samtidig bør det bemerkes at for alle verdier av x

| synd x| < | x | . (1)

La radiusen til sirkelen vist på figuren være lik 1,
en / AOB = X.

Så synd x= AC. Men AC< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол X. Lengden på denne buen er åpenbart lik X, siden radiusen til sirkelen er 1. Så ved 0< X < π / 2

synd x< х.

Derfor, på grunn av rarheten til funksjonen y = sin x det er lett å vise at når - π / 2 < X < 0

| synd x| < | x | .

Til slutt, når x = 0

| sin x | = | x |.

Altså for | X | < π / 2 ulikhet (1) er bevist. Faktisk gjelder denne ulikheten også for | x | > π / 2 på grunn av at | synd X | < 1, a π / 2 > 1

Øvelser

1.I henhold til grafen til funksjonen y = sin x bestemme: a) synd 2; b) synd 4; c) synd (-3).

2.I henhold til funksjonsgrafen y = sin x bestemme hvilket tall fra intervallet
[ - π / 2 , π / 2 ] har en sinus lik: a) 0,6; b) -0,8.

3. I henhold til grafen til funksjonen y = sin x bestemme hvilke tall som har en sinus,
lik 1/2.

4. Finn omtrentlig (uten å bruke tabeller): a) sin 1°; b) sin 0,03;
c) sin (-0,015); d) sin (-2°30").

I denne leksjonen skal vi ta en detaljert titt på funksjonen y = sin x, dens grunnleggende egenskaper og graf. I begynnelsen av leksjonen vil vi gi definisjonen av den trigonometriske funksjonen y = sin t på koordinatsirkelen og vurdere grafen til funksjonen på sirkelen og linjen. La oss vise periodisiteten til denne funksjonen på grafen og vurdere hovedegenskapene til funksjonen. På slutten av leksjonen skal vi løse flere enkle oppgaver ved å bruke grafen til en funksjon og dens egenskaper.

Emne: Trigonometriske funksjoner

Leksjon: Funksjonen y=sinx, dens grunnleggende egenskaper og graf

Når du vurderer en funksjon, er det viktig å knytte hver argumentverdi til en enkelt funksjonsverdi. Dette korrespondanseloven og kalles en funksjon.

La oss definere korrespondanseloven for .

Ethvert reelt tall tilsvarer et enkelt punkt på enhetssirkelen Et punkt har en enkelt ordinat, som kalles tallets sinus (fig. 1).

Hver argumentverdi er knyttet til en enkelt funksjonsverdi.

Åpenbare egenskaper følger av definisjonen av sinus.

Figuren viser det fordi er ordinaten til et punkt på enhetssirkelen.

Tenk på grafen til funksjonen. La oss huske den geometriske tolkningen av argumentet. Argumentet er den sentrale vinkelen, målt i radianer. Langs aksen vil vi plotte reelle tall eller vinkler i radianer, langs aksen de tilsvarende verdiene til funksjonen.

For eksempel tilsvarer en vinkel på enhetssirkelen et punkt på grafen (fig. 2)

Vi har fått en graf over funksjonen i området, men når vi kjenner perioden til sinusen, kan vi avbilde grafen til funksjonen over hele definisjonsdomenet (fig. 3).

Hovedperioden for funksjonen er Dette betyr at grafen kan hentes på et segment og deretter fortsettes gjennom hele definisjonsdomenet.

Tenk på egenskapene til funksjonen:

1) Definisjonsomfang:

2) Verdiområde:

3) Odd funksjon:

4) Minste positive periode:

5) Koordinater for skjæringspunktene til grafen med abscisseaksen:

6) Koordinater for skjæringspunktet for grafen med ordinataksen:

7) Intervaller der funksjonen tar positive verdier:

8) Intervaller der funksjonen tar negative verdier:

9) Økende intervaller:

10) Reduserende intervaller:

11) Minimum poeng:

12) Minimumsfunksjoner:

13) Maks poeng:

14) Maksimal funksjoner:

Vi så på egenskapene til funksjonen og dens graf. Egenskapene vil bli brukt gjentatte ganger ved løsning av problemer.

Bibliografi

1. Algebra og begynnelse av analyse, karakter 10 (i to deler). Lærebok for allmennutdanningsinstitusjoner (profilnivå), red. A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra og begynnelse av analyse, karakter 10 (i to deler). Oppgavebok for utdanningsinstitusjoner (profilnivå), red. A.G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra og matematisk analyse for klasse 10 (lærebok for elever i skoler og klasser med fordypning i matematikk - M.: Prosveshchenie, 1996).

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Fordypning i algebra og matematisk analyse.-M.: Education, 1997.

5. Samling av problemer i matematikk for søkere til høyere utdanningsinstitusjoner (redigert av M.I. Skanavi) - M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebraisk simulator.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Problemer om algebra og analyseprinsipper (en manual for studenter i klasse 10-11 ved generelle utdanningsinstitusjoner) - M.: Prosveshchenie, 2003.

8. Karp A.P. Samling av problemer om algebra og analyseprinsipper: lærebok. godtgjørelse for 10-11 klassetrinn. med dybde studert Matematikk.-M.: Utdanning, 2006.

Hjemmelekser

Algebra og begynnelse av analyse, karakter 10 (i to deler). Oppgavebok for utdanningsinstitusjoner (profilnivå), red.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Ytterligere nettressurser

3. Utdanningsportal for eksamensforberedelse ().