Дробь называется правильной , если старшая степень числителя меньше старшей степени знаменателя. Интеграл правильной рациональной дроби имеет вид:
$$ \int \frac{mx+n}{ax^2+bx+c}dx $$
Формула на интегрирование рациональных дробей зависит от корней многочлена в знаменателе. Если многочлен $ ax^2+bx+c $ имеет:
- Только комплексные корни, то из него необходимо выделить полный квадрат: $$ \int \frac{mx+n}{ax^2+bx+c} dx = \int \frac{mx+n}{x^2 \pm a^2} $$
- Различные действительные корни $ x_1 $ и $ x_2 $, то нужно выполнить разложение интеграла и найти неопределенные коэффициенты $ A $ и $ B $: $$ \int \frac{mx+n}{ax^2+bx+c} dx = \int \frac{A}{x-x_1} dx + \int \frac{B}{x-x_2} dx $$
- Один кратный корень $ x_1 $, то выполняем разложение интеграла и находим неопределенные коэффициенты $ A $ и $ B $ для такой формулы: $$ \int \frac{mx+n}{ax^2+bx+c} dx = \int \frac{A}{(x-x_1)^2}dx + \int \frac{B}{x-x_1} dx $$
Если дробь является неправильной , то есть старшая степень в числителе больше либо равна старшей степени знаменателя, то сначала её нужно привести к правильному виду путём деления многочлена из числителя на многочлен из знаменателя. В данном случае формула интегрирования рациональной дроби имеет вид:
$$ \int \frac{P(x)}{ax^2+bx+c}dx = \int Q(x) dx + \int \frac{mx+n}{ax^2+bx+c}dx $$
Примеры решений
| Пример 1 |
| Найти интеграл рациональной дроби: $$ \int \frac{dx}{x^2-10x+16} $$ |
| Решение |
|
Дробь является правильной и многочлен имеет только комплексные корни. Поэтому выделим полный квадрат: $$ \int \frac{dx}{x^2-10x+16} = \int \frac{dx}{x^2-2\cdot 5 x+ 5^2 - 9} = $$ Сворачиваем полный квадрат и подводим под знак дифференциала $ x-5 $: $$ = \int \frac{dx}{(x-5)^2 - 9} = \int \frac{d(x-5)}{(x-5)^2-9} = $$ Пользуясь таблицей интегралов получаем: $$ = \frac{1}{2 \cdot 3} \ln \bigg | \frac{x-5 - 3}{x-5 + 3} \bigg | + C = \frac{1}{6} \ln \bigg |\frac{x-8}{x-2} \bigg | + C $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$ \int \frac{dx}{x^2-10x+16} = \frac{1}{6} \ln \bigg |\frac{x-8}{x-2} \bigg | + C $$ |
| Пример 2 |
| Выполнить интегрирование рациональных дробей: $$ \int \frac{x+2}{x^2+5x-6} dx $$ |
| Решение |
|
Решим квадратное уравнение: $$ x^2+5x-6 = 0 $$ $$ x_{12} = \frac{-5\pm \sqrt{25-4\cdot 1 \cdot (-6)}}{2} = \frac{-5 \pm 7}{2} $$ Записываем корни: $$ x_1 = \frac{-5-7}{2} = -6; x_2 = \frac{-5+7}{2} = 1 $$ С учётом полученных корней, преобразуем интеграл: $$ \int \frac{x+2}{x^2+5x-6} dx = \int \frac{x+2}{(x-1)(x+6)} dx = $$ Выполняем разложение рациональной дроби: $$ \frac{x+2}{(x-1)(x+6)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+6} = \frac{A(x-6)+B(x-1)}{(x-1)(x+6)} $$ Приравниваем числители и находим коэффициенты $ A $ и $ B $: $$ A(x+6)+B(x-1)=x+2 $$ $$ Ax + 6A + Bx - B = x + 2 $$ $$ \begin{cases} A + B = 1 \\ 6A - B = 2 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} A = \frac{3}{7} \\ B = \frac{4}{7} \end{cases} $$ Подставляем в интеграл найденные коэффициенты и решаем его: $$ \int \frac{x+2}{(x-1)(x+6)}dx = \int \frac{\frac{3}{7}}{x-1} dx + \int \frac{\frac{4}{7}}{x+6} dx = $$ $$ = \frac{3}{7} \int \frac{dx}{x-1} + \frac{4}{7} \int \frac{dx}{x+6} = \frac{3}{7} \ln |x-1| + \frac{4}{7} \ln |x+6| + C $$ |
| Ответ |
| $$ \int \frac{x+2}{x^2+5x-6} dx = \frac{3}{7} \ln |x-1| + \frac{4}{7} \ln |x+6| + C $$ |
«Математик так же, как художник или поэт, создает узоры. И если его узоры более устойчивы, то лишь потому, что они составлены из идей... Узоры математика так же, как узоры художника или поэта, должны быть прекрасны; идеи так же, как цвета или слова, должны соответствовать друг другу. Красота есть первое требование: в мире нет места для некрасивой математики ».
Г.Х.Харди
В первой главе отмечалось, что существуют первообразные довольно простых функций, которые уже нельзя выразить через элементарные функции. В связи с этим, огромное практическое значение приобретают те классы функций, о которых можно точно сказать, что их первообразные – элементарные функции. К такому классу функций относятся рациональные функции , представляющие собой отношение двух алгебраических многочленов. К интегрированию рациональных дробей приводят многие задачи. Поэтому очень важно уметь интегрировать такие функции.
2.1.1. Дробно-рациональные функции
Рациональной дробью (или дробно-рациональной функцией )называется отношение двух алгебраических многочленов:
где и – многочлены.
Напомним, что многочленом (полиномом , целой рациональной функцией ) n -й степени называется функция вида
где
– действительные числа. Например,
– многочлен первой степени;
– многочлен четвертой степени и т.д.
Рациональная дробь (2.1.1) называется правильной , если степень ниже степени , т.е. n <m , в противном случае дробь называется неправильной .
Любую неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена (целой части) и правильной дроби (дробной части). Выделение целой и дробной частей неправильной дроби можно производить по правилу деления многочленов «уголком».
Пример 2.1.1. Выделить целую и дробную части следующих неправильных рациональных дробей:
а) 
, б) 
.
Решение . а) Используя алгоритм деления «уголком», получаем
Таким образом, получаем
.
б) Здесь также используем алгоритм деления «уголком»:
В результате, получаем
.
Подведём итоги. Неопределённый интеграл от рациональной дроби в общем случае можно представить суммой интегралов от многочлена и от правильной рациональной дроби. Нахождение первообразных от многочленов не представляет трудностей. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать в основном правильные рациональные дроби.
2.1.2. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование
Среди правильных рациональных дробей выделяют четыре типа, которые относят кпростейшим (элементарным) рациональным дробям:
|
3) |
4) |
,
,где – целое число, 
, т.е. квадратный трёхчлен 
не
имеет действительных корней.
Интегрирование простейших дробей 1-го и 2-го типа не представляет больших трудностей:
, (2.1.3)
. (2.1.4)
Рассмотрим теперь интегрирование простейших дробей 3-го типа, а дроби 4-го типа рассматривать не будем.
Начнём с интегралов вида
.
Данный интеграл обычно вычисляют путем выделения полного квадрата в знаменателе. В результате получается табличный интеграл следующего вида
или 
.
Пример 2.1.2. Найти интегралы:
а) 
, б) 
.
Решение . а) Выделим из квадратного трёхчлена полный квадрат:
Отсюда находим
б) Выделив из квадратного трёхчлена полный квадрат, получаем:
Таким образом,
.
Для нахождения интеграла
можно
выделить в числителе производную знаменателя и разложить интеграл на сумму двух
интегралов: первый из них подстановкой 
сводится
к виду
,
а второй – к рассмотренному выше.
Пример 2.1.3. Найти интегралы:
.
Решение
. Заметим,
что 
. Выделим в числителе производную
знаменателя:
Первый
интеграл вычисляется при помощи подстановки 
:
Во втором интеграле выделим полный квадрат в знаменателе
Окончательно, получаем
2.1.3. Разложение правильной рациональный
дроби
на сумму простейших дробей
Любую правильную рациональную дробь 
можно представить единственным
образом в виде суммы простейших дробей. Для этого знаменатель нужно разложить на множители. Из высшей алгебры известно, что каждый многочлен с
действительными коэффициентами
Для интегрирования рациональной функции \(\large\frac{{P\left(x \right)}}{{Q\left(x \right)}}\normalsize,\) где \({P\left(x \right)}\) и \({Q\left(x \right)}\) − полиномы, используется следующая последовательность шагов:
Если дробь неправильная (т.е. степень \({P\left(x \right)}\) больше степени \({Q\left(x \right)}\)), преобразовать ее в правильную, выделив целое выражение;
Разложить знаменатель \({Q\left(x \right)}\) на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений;
Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя ;
Вычислить интегралы от простейших дробей.
Шаг 1. Преобразование неправильной рациональной дроби
Если дробь неправильная (т.е. степень числителя \({P\left(x \right)}\) больше степени знаменателя \({Q\left(x \right)}\)), разделим многочлен \({P\left(x \right)}\) на \({Q\left(x \right)}.\) Получим следующее выражение: \[\frac{{P\left(x \right)}}{{Q\left(x \right)}} = F\left(x \right) + \frac{{R\left(x \right)}}{{Q\left(x \right)}},\] где \(\large\frac{{R\left(x \right)}}{{Q\left(x \right)}}\normalsize\) − правильная рациональная дробь.
Шаг 2. Разложение знаменателя на простейшие дроби
Запишем многочлен знаменателя \({Q\left(x \right)}\) в виде \[ {Q\left(x \right) } = {{\left({x - a} \right)^\alpha } \cdots {\left({x - b} \right)^\beta }{\left({{x^2} + px + q} \right)^\mu } \cdots {\left({{x^2} + rx + s} \right)^\nu },} \] где квадратичные функции являются несократимыми, то есть не имеющими действительных корней.
Шаг 3. Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей.
Запишем рациональную функцию в следующем виде: \[ {\frac{{R\left(x \right)}}{{Q\left(x \right)}} = \frac{A}{{{{\left({x - a} \right)}^\alpha }}} + \frac{{{A_1}}}{{{{\left({x - a} \right)}^{\alpha - 1}}}} + \ldots }\kern0pt {+ \frac{{{A_{\alpha - 1}}}}{{x - a}} + \ldots }\kern0pt {+ \frac{B}{{{{\left({x - b} \right)}^\beta }}} + \frac{{{B_1}}}{{{{\left({x - b} \right)}^{\beta - 1}}}} + \ldots }\kern0pt {+ \frac{{{B_{\beta - 1}}}}{{x - b}} }\kern0pt {+ \frac{{Kx + L}}{{{{\left({{x^2} + px + q} \right)}^\mu }}} + \frac{{{K_1}x + {L_1}}}{{{{\left({{x^2} + px + q} \right)}^{\mu - 1}}}} + \ldots }\kern0pt {+ \frac{{{K_{\mu - 1}}x + {L_{\mu - 1}}}}{{{x^2} + px + q}} + \ldots }\kern0pt {+ \frac{{Mx + N}}{{{{\left({{x^2} + rx + s} \right)}^\nu }}} + \frac{{{M_1}x + {N_1}}}{{{{\left({{x^2} + rx + s} \right)}^{\nu - 1}}}} + \ldots }\kern0pt {+ \frac{{{M_{\nu - 1}}x + {N_{\nu - 1}}}}{{{x^2} + rx + s}}.} \] Общее число неопределенных коэффициентов \({A_i},\) \({B_i},\) \({K_i},\) \({L_i},\) \({M_i},\) \({N_i}, \ldots\) должно быть равно степени знаменателя \({Q\left(x \right)}.\)
Затем умножим обе части полученного уравнения на знаменатель \({Q\left(x \right)}\) и приравняем коэффициенты при слагаемых с одинаковыми степенями \(x.\) В результате мы получим систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов \({A_i},\) \({B_i},\) \({K_i},\) \({L_i},\) \({M_i},\) \({N_i}, \ldots\) Данная система всегда имеет единственное решение. Описанный алгоритм представляет собой метод неопределенных коэффициентов .
Шаг 4. Интегрирование простейших рациональных дробей.
Простейшие дроби, полученные при разложении произвольной правильной рациональной дроби, интегрируются с помощью следующих шести формул: \ \ У дробей с квадратичным знаменателем сначала необходимо выделить полный квадрат: \[\int {\frac{{Ax + B}}{{{{\left({{x^2} + px + q} \right)}^k}}}dx} = \int {\frac{{At + B"}}{{{{\left({{t^2} + {m^2}} \right)}^k}}}dt} ,\] где \(t = x + \large\frac{p}{2}\normalsize,\) \({m^2} = \large\frac{{4q - {p^2}}}{4}\normalsize,\) \(B" = B - \large\frac{{Ap}}{2}\normalsize.\) Затем применяются следующие формулы: \ \[ {4.\;\;\int {\frac{{tdt}}{{{{\left({{t^2} + {m^2}} \right)}^k}}}} } = {\frac{1}{{2\left({1 - k} \right){{\left({{t^2} + {m^2}} \right)}^{k - 1}}}} } \] \ Интеграл \(\large\int\normalsize {\large\frac{{dt}}{{{{\left({{t^2} + {m^2}} \right)}^k}}}\normalsize} \) может быть вычислен за \(k\) шагов с помощью формулы редукции \[ {6.\;\;\int {\frac{{dt}}{{{{\left({{t^2} + {m^2}} \right)}^k}}}} } = {\frac{t}{{2{m^2}\left({k - 1} \right){{\left({{t^2} + {m^2}} \right)}^{k - 1}}}} } {+ \frac{{2k - 3}}{{2{m^2}\left({k - 1} \right)}}\int {\frac{{dt}}{{{{\left({{t^2} + {m^2}} \right)}^{k - 1}}}}} } \]
Задача нахождения неопределенного интеграла дробно рациональной функции сводится к интегрированию простейших дробей. Поэтому рекомендуем для начала ознакомиться с разделом теории разложение дроби на простейшие.
Пример.
Найти неопределенный интеграл .
Решение.
Так как степень числителя подынтегральной функции равна степени знаменателя, то для начала выделяем целую часть, проводя деление столбиком многочлена на многочлен: 
Поэтому, 
.
Разложение полученной правильной рациональной дроби на простейшие дроби имеет вид 
. Следовательно, 
Полученный интеграл представляет собой интеграл простейшей дроби третьего типа. Забегая немного вперед, отметим, что взять его можно методом подведения под знак дифференциала.
Так как 
, то 
. Поэтому 
Следовательно, 
Теперь перейдем к описанию методов интегрирования простейших дробей каждого из четырех типов.
Интегрирование простейших дробей первого типа
Для решения этой задачи идеально подходит метод непосредственного интегрирования:
Пример.
Найти множество первообразных функции
Решение.
Найдем неопределенный интеграл , используя свойства первообразной, таблицу первообразных и правило интегрирования .
К началу страницы
Интегрирование простейших дробей второго типа
Для решения этой задачи также подходит метод непосредственного интегрирования:
Пример.
Решение.
К началу страницы
Интегрирование простейших дробей третьего типа 
Для начала представляем неопределенный интеграл 
в виде суммы:
Первый интеграл берем методом подведения под знак дифференциала: 
Поэтому, 
У полученного интеграла преобразуем знаменатель: 
Следовательно, 
Формула интегрирования простейших дробей третьего типа принимает вид: 
Пример.
Найдите неопределенный интеграл 
.
Решение.
Используем полученную формулу: 
Если бы у нас не было этой формулы, то как бы мы поступили: 
К началу страницы
Интегрирование простейших дробей четвертого типа 
Первый шаг – подводим под знак дифференциала: 
Второй шаг – нахождение интеграла вида 
. Интегралы подобного вида находятся с использованием рекуррентных формул. (Смотрите раздел интегрирование с использованием рекуррентных формул). Для нашего случая подходит следующая рекуррентная формула:
Пример.
Найдите неопределенный интеграл
Решение.
Для данного вида подынтегральной функции используем метод подстановки. Введем новую переменную (смотрите раздел интегрирование иррациональных функций): 
После подстановки имеем: 
Пришли к нахождению интеграла дроби четвертого типа. В нашем случае имеем коэффициенты М = 0, р = 0, q = 1, N = 1
и n = 3
. Применяем рекуррентную формулу: 
После обратной замены получаем результат:
| Интегрирование тригонометрических функций | ||||||||||||||||||||
1.Интегралы вида    вычисляются преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму по формулам:
Например,
2.Интегралы вида  , где m
или n
– нечетное положительное число, вычисляются подведением под знак дифференциала.
Например,
 
3.Интегралы вида , где m
и n
–четные положительные числа, вычисляются с помощью формул понижения степени:
Например,
4.Интегралы  где вычисляются заменой переменной: или
Например,
5.Интегралы вида сводятся к интегралам от рациональных дробей с помощью универсальной тригонометрической подстановки тогда (т.к.  =[после деления числителя и знаменателя на ]= ; 
Например,  
Следует заметить, что использование универсальной подстановки нередко приводит к громоздким выкладкам.
|
||||||||||||||||||||
| §5. Интегрирование простейших иррациональностей | ||||||||||||||||||||
Рассмотрим методы интегрирования простейших видов иррациональностей.
1.  Функции такого вида интегрируются так же, как простейшие рациональные дроби 3–го типа: в знаменателе из квадратного трехчлена выделяется полный квадрат и вводится новая переменная.
Пример.
2.  (под знаком интеграла–рациональная функция аргументов ). Интегралы такого вида вычисляются с помощью замены . В частности, в интегралах вида обозначают . Если подынтегральная функция содержит корни разных степеней:  , то обозначают , где n
– наименьшее общее кратное чиселm,k
.
Пример 1.
Пример 2.
–неправильная рациональная дробь, выделим целую часть:
3.Интегралы вида
|
вычисляются с помощью тригонометрических подстановок:
44 
45 Определённый интеграл
Определённый интеграл - аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция илифункционал, а вторая - область в множестве задания этой функции (функционала).
Определение
Пусть определена на . Разобьём на части с несколькими произвольными точками . Тогда говорят, что произведено разбиение отрезка Далее выберем произвольную точку 
, ,
Определённым интегралом от функции на отрезке называется предел интегральных сумм при стремлении ранга разбиения к нулю , если он существует независимо от разбиения и выбора точек , то есть
Если существует указанный предел, то функция называется интегрируемой на по Риману.
Обозначения
· - нижний предел.
· - верхний предел.
· - подынтегральная функция.
· - длина частичного отрезка.
· - интегральная сумма от функции на соответствующей разбиению .
· 
- максимальная длина част.отрезка.
Свойства
Если функция интегрируема по Риману на , то она ограничена на нем.
Геометрический смысл
Определённый интеграл как площадь фигуры
Определённый интеграл численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми и и графиком функции .
Теорема Ньютона - Лейбница
[править]
(перенаправлено с «Формула Ньютона-Лейбница»)
Формула Ньютона - Лейбница или основная теорема анализа даёт соотношение между двумя операциями: взятием определенного интеграла и вычислением первообразной.
Доказательство
Пусть на отрезке задана интегрируемая функция . Начнем с того, что отметим, что
то есть не имеет никакого значения, какая буква ( или ) стоит под знаком в определенном интеграле по отрезку .
Зададим произвольное значение и определим новую функцию 
. Она определена для всех значений , потому что мы знаем, что если существует интеграл от на , то существует также интеграл от на , где . Напомним, что мы считаем по определению
(1)
Заметим, что
Покажем, что непрерывна на отрезке . В самом деле, пусть ; тогда
и если , то
Таким образом, непрерывна на независимо от того, имеет или не имеет разрывы; важно, что интегрируема на .
На рисунке изображен график . Площадь переменной фигуры равна . Ее приращение равно площади фигуры 
, которая в силу ограниченности , очевидно, стремится к нулю при независимо от того, будет ли точкой непрерывности или разрыва , например точкой .
Пусть теперь функция не только интегрируема на , но непрерывна в точке . Докажем, что тогда имеет в этой точке производную, равную
(2)
В самом деле, для указанной точки
(1) , (3)
Мы положили , а так как постоянная относительно ,TO 
. Далее, в силу непрерывности в точке для всякого можно указать такое , что для .
что доказывает, что левая часть этого неравенства есть о(1) при .
Переход к пределу в (3) при показывает существование производной от в точке и справедливость равенства (2). При речь здесь идет соответственно о правой и левой производной.
Если функция непрерывна на , то на основании доказанного выше соответствующая ей функция
(4)
имеет производную, равную . Следовательно, функция есть первообразная для на .
Это заключение иногда называется теоремой об интеграле с переменным верхним пределом или теоремой Барроу.
Мы доказали, что произвольная непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке первообразную, определенную равенством (4). Этим доказано существование первообразной для всякой непрерывной на отрезке функции.
Пусть теперь есть произвольная первообразная функции на . Мы знаем, что , где - некоторая постоянная. Полагая в этом равенстве и учитывая, что , получим .
Таким образом, . Но
Несобственный интеграл
[править]
Материал из Википедии - свободной энциклопедии
Определённый интеграл называется несобственным , если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:
· Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;
· Функция f(x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри отрезка .
[править]Несобственные интегралы I рода
. Тогда:
1. Если 
и интеграл называется . В этом случае называется сходящимся.
, или просто расходящимся.
Пусть определена и непрерывна на множестве от и 
. Тогда:
1. Если 
, то используется обозначение 
и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода
. В этом случае называется сходящимся.
2. Если не существует конечного 
( или ), то интеграл называется расходящимся к , или просто расходящимся.
Если функция определена и непрерывна на всей числовой прямой, то может существовать несобственный интеграл данной функции с двумя бесконечными пределами интегрирования, определяющийся формулой:
, где с - произвольное число.
[править]Геометрический смысл несобственного интеграла I рода
Несобственный интеграл выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции.
[править]Примеры
[править]Несобственные интегралы II рода
Пусть определена на , терпит бесконечный разрыв в точке x=a и 
. Тогда:
1. Если 
, то используется обозначение 
и интеграл называется
называется расходящимся к , или просто расходящимся.
Пусть определена на , терпит бесконечный разрыв при x=b и 
. Тогда:
1. Если 
, то используется обозначение и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода
. В этом случае интеграл называется сходящимся.
2. Если или , то обозначение сохраняется, а называется расходящимся к , или просто расходящимся.
Если функция терпит разрыв во внутренней точке отрезка , то несобственный интеграл второго рода определяется формулой:
[править]Геометрический смысл несобственных интегралов II рода
Несобственный интеграл выражает площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции
[править]Пример
[править]Отдельный случай
Пусть функция определена на всей числовой оси и имеет разрыв в точках .
Тогда можно найти несобственный интеграл
[править]Критерий Коши
1. Пусть определена на множестве от и 
.
Тогда 
сходится
2. Пусть определена на и 
.
Тогда сходится
[править]Абсолютная сходимость
Интеграл 
называется абсолютно сходящимся
, если 
сходится.
Если интеграл сходится абсолютно, то он сходится.
[править]Условная сходимость
Интеграл называется условно сходящимся , если сходится, а расходится.
48 12. Несобственные интегралы.
При рассмотрении определённых интегралов мы предполагали, что область интегрирования ограничена (более конкретно, является отрезком [a ,b ]); для существования определённого интеграла необходима ограниченность подынтегральной функции на [a ,b ]. Будем называть определённые интегралы, для которых выполняются оба эти условия (ограниченность и области интегрирования, и подынтегральной функции) собственными ; интегралы, для которых нарушаются эти требования (т.е. неограничена либо подынтегральная функция, либо область интегрирования, либо и то, и другое вместе) несобственными . В этом разделе мы изучим несобственные интегралы.
- 12.1. Несобственные интегралы по неограниченному промежутку (несобственные интегралы первого рода).
- 12.1.1. Определение несобственного интеграла по бесконечному промежутку. Примеры.
- 12.1.2. Формула Ньютона-Лейбница для несобственного интеграла.
- 12.1.3. Признаки сравнения для неотрицательных функций.
- 12.1.3.1. Признак сравнения.
- 12.1.3.2. Признак сравнения в предельной форме.
- 12.1.4. Абсолютная сходимость несобственных интегралов по бесконечному промежутку.
- 12.1.5. Признаки сходимости Абеля и Дирихле.
- 12.2. Несобственные интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы второго рода).
- 12.2.1. Определение несобственного интеграла от неограниченной функции.
- 12.2.1.1. Особенность на левом конце промежутка интегрирования.
- 12.2.1.2. Применение формулы Ньютона-Лейбница.
- 12.2.1.3. Особенность на правом конце промежутка интегрирования.
- 12.2.1.4. Особенность во внутренней точке промежутка интегрирования.
- 12.2.1.5. Несколько особенностей на промежутке интегрирования.
- 12.2.2. Признаки сравнения для неотрицательных функций.
- 12.2.2.1. Признак сравнения.
- 12.2.2.2. Признак сравнения в предельной форме.
- 12.2.3. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов от разрывных функций.
- 12.2.4. Признаки сходимости Абеля и Дирихле.
12.1. Несобственные интегралы по неограниченному промежутку
(несобственные интегралы первого рода).
12.1.1. Определение несобственного интеграла по бесконечному промежутку
. Пусть функция f
(x
) определена на полуоси и интегрируема по любому отрезку [ от, подразумевая в каждом из этих случаев существование и конечность соответствующих пределов. Теперь решения примеров выглядят более просто: 
.
12.1.3. Признаки сравнения для неотрицательных функций
. В этом разделе мы будем предполагать, что все подынтегральные функции неотрицательны на всей области определения. До сих пор мы определяли сходимость интеграла, вычисляя его: если существует конечный предел первообразной при соответствующем стремлении ( или ), то интеграл сходится, в противном случае - расходится. При решении практических задач, однако, важно в первую очередь установить сам факт сходимости, и только затем вычислять интеграл (к тому же первообразная часто не выражается через элементарные функции). Сформулируем и докажем ряд теорем, которые позволяют устанавливать сходимость и расходимость несобственных интегралов от неотрицательных функций, не вычисляя их.
12.1.3.1. Признак сравнения
. Пусть функции f
(x
) и g
(x
) интегр
Приводится вывод формул для вычисления интегралов от простейших, элементарных, дробей четырех типов. Более сложные интегралы, от дробей четвертого типа, вычисляются с помощью формулы приведения. Рассмотрен пример интегрирования дроби четвертого типа.
СодержаниеСм. также:
Таблица неопределенных интегралов
Методы вычисления неопределенных интегралов
Как известно, любую рациональную функцию от некоторой переменной x
можно разложить на многочлен и простейшие, элементарные, дроби. Имеется четыре типа простейших дробей:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Здесь a, A, B, b, c
- действительные числа. Уравнение x 2
+ bx + c = 0
не имеет действительных корней.
Интегрирование дробей первых двух типов
Интегрирование первых двух дробей выполняется с помощью следующих формул из таблицы интегралов :
,
,
n ≠ - 1
.
1. Интегрирование дроби первого типа
Дробь первого типа подстановкой t = x - a
приводится к табличному интегралу:
.
2. Интегрирование дроби второго типа
Дробь второго типа приводится к табличному интегралу той же подстановкой t = x - a
:
.
3. Интегрирование дроби третьего типа
Рассмотрим интеграл от дроби третьего типа:
.
Будем вычислять его в два приема.
3.1. Шаг 1. Выделим в числителе производную знаменателя
Выделим в числителе дроби производную от знаменателя. Обозначим: u = x 2
+ bx + c
.
Дифференцируем: u′ = 2
x + b
.
Тогда
;
.
Но
.
Мы опустили знак модуля, поскольку .
Тогда:
,
где
.
3.2. Шаг 2. Вычисляем интеграл с A = 0, B=1
Теперь вычисляем оставшийся интеграл:
.
Приводим знаменатель дроби к сумме квадратов:
,
где .
Мы считаем, что уравнение x 2
+ bx + c = 0
не имеет корней. Поэтому .
Сделаем подстановку
,
.
.
Итак,
.
Тем самым мы нашли интеграл от дроби третьего типа:
,
где .
4. Интегрирование дроби четвертого типа
И наконец, рассмотрим интеграл от дроби четвертого типа:
.
Вычисляем его в три приема.
4.1) Выделяем в числителе производную знаменателя:
.
4.2) Вычисляем интеграл
.
4.3) Вычисляем интегралы
,
используя формулу приведения:
.
4.1. Шаг 1. Выделение в числителе производной знаменателя
Выделим в числителе производную знаменателя, как мы это делали в . Обозначим u = x 2
+ bx + c
.
Дифференцируем: u′ = 2
x + b
.
Тогда
.
.
Но
.
Окончательно имеем:
.
4.2. Шаг 2. Вычисление интеграла с n = 1
Вычисляем интеграл
.
Его вычисление изложено в .
4.3. Шаг 3. Вывод формулы приведения
Теперь рассмотрим интеграл
.
Приводим квадратный трехчлен к сумме квадратов:
.
Здесь .
Делаем подстановку.
.
.
Выполняем преобразования и интегрируем по частям.
.
Умножим на 2(n - 1)
:
.
Возвращаемся к x
и I n
.
,
;
;
.
Итак, для I n
мы получили формулу приведения:
.
Последовательно применяя эту формулу, мы сведем интеграл I n
к I 1
.
Пример
Вычислить интеграл
1.
Выделим в числителе производную знаменателя.
;
;
.
Здесь
.
2.
Вычисляем интеграл от самой простой дроби.
.
3.
Применяем формулу приведения:
для интеграла .
В нашем случае b = 1
,
c = 1
,
4
c - b 2 = 3
.
Выписываем эту формулу для n = 2
и n = 3
:
;
.
Отсюда
.
Окончательно имеем:
.
Находим коэффициент при .
.
