Прямая линия пересечения двух плоскостей определяется двумя точками, каждая из которых принадлежит обеим плоскостям, или одной точкой, принадлежащей двум плоскостям, и известным направлением линии. В обоих случаях задача заключается в нахождении точки, общей для двух плоскостей.
Общий прием построения линии пересечения двух плоскостей заключается в следующем. Вводят вспомогательную плоскость , строят линии пересечения вспомогательной плоскости с двумя заданными и в пересечении построенных линий находят общую точку двух плоскостей. Для нахождения второй общей точки построение повторяют с помощью еще одной вспомогательной плоскости.
На рисунке 4.5 показано наглядное изображение линии пересечения К К 2 двух плоскостей Рн Q.
Рис. 4.5
Для наглядного изображения построения первой общей точки линии пересечения плоскостей Р и Q (рис. 4.6) введена вспомогательная плоскость S. С плоскостью Р она пересекается по линии 1-2, с плоскостью Q - по линии 3-4. В пересечении линий 1-2 и 3-4 определена первая общая точка К двух плоскостей Р и Q - первая точка линии их пересечения.
Аналогично вводят новую секущую плоскость и строят вторую точку линии пересечения.
Частный случай построения линии пересечения двух плоскостей, когда одна из них проецирующая. В этом случае построение линии пересечения упрощается тем, что одна ее проекция совпадает с проекцией проецирующей плоскости на ту плоскость проекций, к которой она перпендикулярна.
В качестве примера на рисунке 4.7 показано построение проекций т"п", тп линии пересечения MN фронтально-про- ецирующей плоскости Р с плоскостью треугольника АВС.
На фронтальной проекции в пересечении проекций а"Ь" и а’с" со следом Р и находим фронтальные проекции т" и п" двух общих точек заданных плоскостей. По ним построены горизонтальные проекции т и п на горизонтальных проекциях ab и ас сторон треугольника. Через точки тип проводим горизонтальную проекцию линии пересечения плоскостей. При взгляде по стрелке S по фронтальной проекции очевидно, что часть треугольника левее линии пересечения MN (т"п") находится над плоскостью Р, т. е. видима, остальная часть - под плоскостью Р, т. е. невидима (участок mbcn показан штриховой линией).
Другой пример построения линии пересечения двух треугольных пластин АВС и DEF, одна из которых (DEF) задана как горизонтально-проецирующая плоскость, приведен на
Рис. 4.8
рисунке 4.8. На горизонтальной проекции в пересечении горизонтальных проекций ab и Ас сторон ААВС с проекцией dfe второго треугольника находим горизонтальные проекции тип точек их пересечения. По ним на фронтальных проекциях сторон а"Ь" и Ь"с" строим фронтальные проекции т’ и п" точек линии пересечения MN. На фронтальной проекции отмечаем видимость частей треугольников, руководствуясь следующим: при взгляде по стрелке S по горизонтальной проекции очевидно, что сторона АС находится перед плоскостью треугольника DEF.
Следовательно, сторона АС и ограничиваемая ею часть треугольника АВС до линии пересечения MN видимы (т. е. видима фронтальная проекция четырехугольника а"с"п"т"). Видимая часть фронтальной проекции Л DEF на чертеже оттенена.
Построение линии пересечения плоскостей общего положения. На рисунке 4.9 приведено построение проекций т"п", /иллинии пересечения двух плоскостей, одна из которых задана проекциями а’Ь’, b"c", ab, Ьс двух пересекающихся прямых, другая - проекциями d"e", f’g’, de, fg двух параллельных прямых.
В качестве вспомогательных плоскостей взяты две горизонтальные плоскости, заданные следами R, и T v .
Плоскость R пересекает первую заданную плоскость по прямой 1-2 , вторую - по прямой 3-4. По фронтальным проекциям /", 2" и 3", 4’ находим с помощью линий связи горизонтальные проекции !, 2 и 3, 4 на горизонтальных проекциях ab, Ьс, de, fg прямых. Через них проводим горизонтальные проекции линий 1-2 и 3-4 линий пересечения. Отмечаем точку т - горизонтальную проекцию общей точки М трех плоскостей - двух заданных и вспомогательной R. По ней определяем фронтальную проекцию т" на фронтальном следе Л„ вспомогательной плоскости.
Вспомогательные плоскости Т и R параллельны. Линии их пересечения с заданными плоскостями также параллельны. Поэтому горизонтальные проекции линий пересечения плоскости Т с заданными плоскостями проведены через проекцию Ь параллельно проекции 1-2 и через проекцию 5 параллельно проекции 3-4. В их пересечении найдена горизонтальная проекция я второй общей точки трех плоскостей, т. е. линии пересечения двух заданных плоскостей. По ней на фронтальном следе Т„ вспомогательной плоскости построена фронтальная проекция я". Через построенные проекции яГ, я" и т, я проводим фронтальную и горизонтальную проекции искомой линии пересечения MN.
Построение точки пересечения прямой с проецирующей плоскостью сводится к построению второй проекции точки на эпюре, так как одна проекция точки всегда лежит на следе проецирующей плоскости, потому что все, что находится в проецирующей плоскости, проецируется на один из следов плоскости. На рис. 224, а показано построение точки пересечения прямой EF с фронтально-проецирующей плоскостью треугольника ABC (перпендикулярной плоскости V) На плоскость V треугольник ABC проецируется в отрезок а"с" прямой линии, и точка к" будет также лежать на этой прямой и находиться в точке пересечения e"f с а"с". Горизонтальную проекцию строят с помощью линии проекционной связи. Видимость прямой относительно плоскости треугольника АВС определяют по взаимному расположению проекций треугольника ABC и прямой EF на плоскости V. Направление взгляда на рис. 224, а указано стрелкой. Тот участок прямой, фронтальная проекция которого находится выше проекции треугольника, будет видимым. Левее точки к" проекция прямой находится над проекцией треугольника, следовательно, на плоскости Н этот участок видимый.
На рис. 224, б прямая EF пересекает горизонтальную плоскость Р. Фронтальная проекция к" точки К - точки пересечения прямой EF с плоскостью Р - будет находиться в точке пересечения проекции е"f "со следом плоскости P v , так как горизонтальная плоскость является фронтально-проецирующей плоскостью. Горизонтальную проекцию k точки К находят с помощью линии проекционной связи.
Построение линии пересечения двух плоскостей сводится к нахождению двух точек, общих для этих двух плоскостей. Для построения линии пересечения этого достаточно, так как линия пересечения - прямая, а прямая задается двумя точками. При пересечении проецирующей плоскости с плоскостью общего положения одна из проекций линии пересечения совпадает со следом плоскости, находящимся в той плоскости проекций, к которой перпендикулярна проецирующая плоскость. На рис. 225, а фронтальная проекция т"п" линии пересечения MN совпадает со следом P v фронтально-проецирующей плоскости Р, а на рис. 225, б горизонтальная проекция kl совпадает со следом горизонтально-проецирующей плоскости R. Другие проекции линии пересечения строятся с помощью линий проекционной связи.
Построение точки пересечения прямой с плоскостью общего положения (рис. 226, а) выполняют с помощью вспомогательной проецирующей плоскости R, которую проводят через данную прямую EF. Строят линию пересечения 12 вспомогательной плоскости R . с заданной плоскостью треугольника ABC, получают в плоскости R две прямые: EF - заданная прямая и 12 - построенная линия пересечения, которые пересекаются в точке K .
Нахождение проекций точки К показано на рис. 226, б. Построения выполняют в следующей последовательности.
Через прямую EF проводят вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость R. Ее след Rн совпадает с горизонтальной проекцией ef прямой EF.
Строят фронтальную проекцию 1׳2" линии пересечения 12 плоскости R с заданной плоскостью треугольника ABC с помощью линий проекционной связи, так как горизонтальная проекция линии пересечения известна. Она совпадает с горизонтальным следом R H плоскости R.
Определяют фронтальную проекцию к" искомой точки К, которая находится в пересечении фронтальной проекции данной прямой с проекцией 1"2" линии пересечения. Горизонтальная проекция точки строится с помощью линии проекционной связи.
Видимость прямой относительно плоскости треугольника ABC определяется способом конкурирующих точек. Для определения видимости прямой на фронтальной плоскости проекций (рис. 226, б) сравним координаты Y точек 3 и 4, фронтальные проекции которых совпадают. Координата Y точки 3, лежащей на прямой ВС, меньше координаты Y точки 4, лежащей на прямой EF. Следовательно, точка 4 находится ближе к наблюдателю (направление взгляда указано стрелкой) и проекция прямой изображается на плоскости V видимой. Прямая проходит перед треугольником. Левее точки К׳ прямая закрыта плоскостью треугольника ABC. Видимость на горизонтальной плоскости проекций показывают, сравнив координаты Z точек 1 и 5. Так как Z 1 > Z 5 , точка 1 видимая. Следовательно, правее точки 1 (до точки К) прямая EF невидимая.
Для построения линии пересечения двух плоскостей общего положения применяют вспомогательные секущие плоскости. Это показано на рис. 227, а. Одна плоскость задана треугольником ABC, другая - параллельными прямыми EF и MN. Заданные плоскости (рис. 227, а) пересекают третьей вспомогательной плоскостью. Для простоты построений в качестве вспомогательных плоскостей берут горизонтальные или фронтальные плоскости. В данном случае вспомогательная плоскость R является горизонтальной плоскостью. Она пересекает заданные плоскости по прямым линиям 12 и 34, которые в пересечении дают точку К , принадлежащую всем трем плоскостям, а следовательно, и двум заданным, т. е. лежащую на линии пересечения заданных плоскостей. Вторую точку находят с помощью второй вспомогательной плоскости Q . Найденные две точки К и L определяют линию пересечения двух плоскостей.
На рис. 227, б вспомогательная плоскость R задана фронтальным следом. Фронтальные проекции линий пересечения 1"2" и 3"4" плоскости R с заданными плоскостями совпадают с фронтальным следом R v плоскости R, так как плоскость R перпендикулярна плоскости V, и все, что в ней находится (в том числе и линии пересечения) проецируется на ее фронтальный след R v . Горизонтальные проекции этих линий построены с помощью линий проекционной связи, проведенных от фронтальных проекций точек 1", 2", 3", 4" до пересечения с горизонтальными проекциями соответствующих прямых в точках 1, 2, 3, 4. Построенные горизонтальные проекции линий пересечения продлевают до пересечения друг с другом в точке k, которая является горизонтальной проекцией точки K , принадлежащей линии пересечения двух плоскостей. Фронтальная проекция этой точки находится на следе R v .
Прямая линия, получаемая при взаимном пересечении двух плоскостей, вполне определяется двумя точками, из которых каждая принадлежит обеим плоскостям. Так, прямая K 1 К 2 (рис. 163), по которой пересекаются между собой плоскость, заданная треугольником АВС, и пл. β, заданная прямыми DE и DF, проходит через точки K 1 и K 2 ; но в этих точках прямые АВ и АС первой плоскости пересекают пл. β т. е. точки К 1 и К 2 принадлежат обеим плоскостям.
Следовательно, в общем случае для построения линии пересечения двух плоскостей надо найти какие-либо две точки, каждая из которых принадлежит обеим плоскостям; эти точки определяют линию пересечения плоскостей.
Для нахождения каждой из таких двух точек обычно приходится выполнять специальные построения. Но если хотя бы одна из пересекающихся плоскостей перпендикулярна к плоскости проекций, то построение проекций линии пересечения упрощается. Начнем с такого случая.
На рис. 164 показано пересечение двух плоскостей, из которых одна (заданная треугольником DEF) расположена перпендикулярно к пл. π 2 . Так как треугольник DEF проецируется на пл.π 2 в виде прямой линии (D"F"), то фронтальная проекция отрезка прямой, по которому пересекаются оба треугольника, представляет собой отрезок К" 1 К" 2 на проекции D"F". Дальнейшее построение ясно из чертежа.
Другой пример дан на рис. 165. Горизонтально-проецирующая плоскость α пересекает плоскость треугольника АВС. Горизонтальная проекция линии пересечения этих плоскостей - отрезок M"N" - определяется на следе α".
Теперь рассмотрим общий случай построения линии пересечения двух плоскостей . Пусть одна из плоскостей, β, задана двумя пересекающимися прямыми, а другая, γ,- двумя параллельными прямыми. Построение показано на рис. 166. В результате взаимного пересечения плоскостей β и γ получена прямая K 1 K 2 . Выразим это записью: β × γ = К 1 K 2 .
Для определения положения точек K 1 и К 2 возьмем две вспомогательные фронтально-проецирующие плоскости (α 1 , и α 2), пересекающие каждую из плоскостей β и γ. При пересечении плоскостей β и γ плоскостью α 1 . получаем прямые с проекциями 1"2", 1"2" и 3"4", 3"4". Эти прямые, расположенные в пл. α 1 , в своем пересечении определяют первую точку, К 1 , линии пересечения плоскостей β и γ.
Получив проекции К" 1 и К" 2 находим на следах и α" 1 и α" 2 проекции К" 1 и К" 2 . Этим определяются проекции К" 1 К" 2 и К" 1 К" 2 искомой прямой пересечения плоскостей β и γ(проекции проведены штрихпунктирной линией).
При построении можно иметь в виду следующее: так как вспомогательные секущие плоскости α 1 и α 2 взаимно параллельны, то, построив проекции 1"2" и 3"4" следует для проекций 5"6" и 7"8" взять по одной точке, хотя бы 5 и 8, так как 5"6"||1"2" и 7"8"||3"4".
В рассмотренном построении были взяты в качестве вспомогательных две фронгально- проецирующие плоскости. Конечно, можно было взять и иные плоскости, например две горизонтальные или одну горизонтальную, другую фронтальную и т. д. Сущность построений от этого не меняется. Однако может встретиться такой случай. Положим, что были взяты в качестве вспомогательных две горизонтальные плоскости и полученные при пересечении ими
плоскостей β и γ горизонтали оказались взаимно параллельными. Но рис. 167 показывает, что β и γ пересекаются между собой, хотя их горизонтали параллельны. Следовательно, получив взаимно параллельные горизонтальные проекции горизонталей АВ и CD и зная, что плоскости при этом не обязательно параллельны, а могут пересекаться (по общей для них горизонтали), надо испытать плоскости β и γ при помощи хотя бы, горизонгально-проецирующей плоскости (см. рис. 167); если прямые, по которым эта вспомогательная плоскость σ, пересечет β и γ, также оказались бы параллельны одна другой, то плоскости β и γ не пересекаются, а параллельны одна другой. На рис. 167 эти прямые пересекаются в точке К, через которую и проходит линия пересечения плоскостей β и γ параллельно прямым ВА и CD.
Если плоскости заданы их следами на плоскостях проекций, то естественно искать точки, определяющие прямую пересечения плоскостей, в точках пересечения одноименных следов плоскостей (рис. 168): прямая, проходящая через эти точки, является общей для обеих плоскостей, т. е. их линией пересечения.
Схему построения линии пересечения двух плоскостей (см. рис. 166) можно, конечно, распространить и на случай задания плоскостей их следами. Здесь роль вспомогательных секущих плоскостей исполняют сами плоскости проекций:
α × π 1 =h" 0α ; β× π 1 =h" 0β ; h" 0α × h" 0β =M;
α × π 2 =f" 0α ; β× π 2 =f" 0β ; f" 0α × f" 0β =N.
Точки пересечения одноименных следов плоскостей являются следами линии пересечения этих плоскостей. Поэтому для построения проекций линии пересечения плоскостей α и β (рис. 168) надо: 1) найти точку М" в пересечении следов h" 0α и h" 0β
и точку N" в пересечении f" 0α и f" 0β , а по ним - проекции М" и N"; 2) провести прямые линии M"N" и M"N",
На рис. 169-171 показаны случаи, когда известно направление линии пересечения. Поэтому достаточно иметь лйшь одну точку от пересечения следов и далее провести через эту точку прямую, исходя из положения плоскостей и их следов.
Вопросы к §§ 22-24
- Какое взаимное положение могут занимать две плоскости?
- Каков признак параллельности двух плоскостей?
- Как взаимно располагаются фронтальные следы двух параллельных между собой фронтально-проецирующих плоскостей?
- Как взаимно располагаются горизонтальные следы двух параллельных между собой горизонтально-проецирующих плоскостей?
- Как взаимно располагаются одноименные следы двух параллельных между собой плоскостей?
- Служит ли признаком взаимного пересечения двух плоскостей пересечение хотя бы одной пары их одноименных следов?
- Как установить взаимное положение прямой и Плоскости?
- Как строится точка пересечения прямой линии с плоскостью, перпендикулярной к одной или к двум плоскостям проекций?
- Какая точка из числа расположенных на общем перпендикуляре к а) пл. π 1 б) пл. π 2 считается видимой соответственно на π 1 , на π 2 ?
- Как строится линия пересечения двух плоскостей, из которых хотя бы одна перпендикулярна к пл. π 1 или к пл. π 2 ?
- В чем заключается общий способ построения линии пересечения двух плоскостей?
По заданным координатам точек А, В, С, D, E, F (Таблица 2) построить горизонтальную и фронтальную проекции треугольников ∆АBC и ∆DEF, найти линию их пересечения и определить видимость элементов треугольников .
2.2. Пример выполнения задания № 2
Второе задание представляет комплекс задач по темам:
1. Ортогональное проецирование, эпюр Монжа, точка, прямая, плоскость : по известным координатам шести точек А, В, С, D, E, F построить горизонтальную и фронтальную проекции 2-х плоскостей, заданных ∆АBC и ∆DEF ;
2. Плоскости общего и частного положения, пересечение прямой и плоскости, пересечение плоскостей, конкурирующие точки : построить линию пересечения заданных плоскостей и определить видимость их элементов.
Построить горизонтальные и фронтальные проекции заданных плоскостей ∆АBC и ∆DEF (Рисунок 2.1).
Для построения искомой линии пересечения заданных плоскостей необходимо:
1. Выбрать одну из сторон треугольника и построить точку пересечения этой стороны с плоскостью другого треугольника: на Рисунке 2.1 построена точка М пересечения прямой EF c плоскостью ∆АBC ; для этого прямую EF заключают во вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость δ;
2. Построить фронтальную проекцию 1 2 2 2 линии пересечения плоскости δ с плоскостью ∆АBC ;
3. Найти фронтальную проекцию М 2 искомой точки М на пересечении фронтальную проекцию 1 2 2 2 с фронтальной проекцией E 2 F 2 прямой EF ;
4. Найти горизонтальную проекцию М 1 точки М с помощью линии проекционной связи;
5. Аналогично построить вторую точку N , принадлежащую искомой линии пересечения заданных плоскостей: заключить во фронтально-проецирующую плоскость β прямую ВС ; найти линию пересечения 34 плоскости с плоскостью ∆DEF ; на пересечении линии 34 и прямой ВС найти точку N ;
6. Определить с помощью конкурирующих точек, для каждой плоскости отдельно, видимые участки треугольников.
Рисунок 2.1 – Построение линии пересечения двух плоскостей, заданных треугольниками
Рисунок 2.2 – Пример оформления задания 2
Видеопример выполнения задания №2
2.3. Варианты задания 2
Таблица 2– Значения координат точек
| Вариант | Координаты (x, y, z) вершин треугольников | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| А | В | С | D | E | F | |
| 1 | 20; 65; 30 | 40; 15; 65 | 80; 30; 35 | 15; 35; 70 | 70; 75; 80 | 35; 0; 0 |
| 2 | 75; 75; 5 | 60; 20; 60 | 20; 10; 40 | 30; 55; 50 | 90; 50; 35 | 60; 5; 10 |
| 3 | 0; 30; 75 | 30; 65; 15 | 80; 25; 15 | 45; 65; 75 | 95; 40; 0 | 10; 0; 10 |
| 4 | 90; 5; 70 | 65; 60; 15 | 15; 15; 20 | 25; 45; 70 | 95; 60; 35 | 65; 10; 0 |
| 5 | 30; 0; 10 | 70; 15; 15 | 15; 55; 16 | 70; 55; 60 | 5; 30; 60 | 20; 0; 0 |
| 6 | 20; 25; 0 | 60; 5; 80 | 90; 75; 40 | 0; 60; 60 | 75; 80; 70 | 90; 10; 0 |
| 7 | 0; 60; 20 | 20; 10; 60 | 85; 10; 20 | 50; 70; 65 | 75; 35; 0 | 10; 0; 5 |
| 8 | 10; 20; 15 | 55; 70; 5 | 80; 20; 45 | 20; 60; 55 | 100; 35; 20 | 60; 10; 5 |
| 9 | 0; 50; 10 | 60; 70; 70 | 80; 10; 10 | 20; 10; 70 | 90; 50; 60 | 60; 85; 0 |
| 10 | 85; 70; 10 | 25; 20; 25 | 90; 10; 60 | 15; 70; 65 | 105; 10; 45 | 70; 0; 0 |
| 11 | 25; 5; 25 | 60; 60; 5 | 95; 20; 50 | 36; 45; 55 | 105; 45; 60 | 70; 0; 0 |
| 12 | 95; 30; 65 | 15; 15; 10 | 70; 80; 5 | 35; 70; 70 | 115; 80; 55 | 85; 20; 0 |
| 13 | 20; 5; 60 | 50; 60; 5 | 90; 15; 30 | 60; 60; 60 | 100; 5; 10 | 25; 10; 0 |
| 14 | 10; 5; 70 | 80; 20; 25 | 40; 65; 10 | 70; 70; 70 | 0; 35; 60 | 30; 5; 0 |
| 15 | 20; 45; 55 | 60; 70; 10 | 90; 10; 60 | 20; 0; 10 | 95; 20; 10 | 75; 60; 75 |
| 16 | 5; 10; 60 | 40; 65; 10 | 70; 5; 40 | 70; 50; 75 | 0; 70; 45 | 15; 0; 5 |
| 17 | 10; 45; 5 | 90; 5; 10 | 50; 70; 70 | 15; 5; 50 | 95; 15; 65 | 60; 70; 0 |
| 18 | 65; 20; 70 | 0; 20; 15 | 50; 70; 5 | 15; 60; 55 | 90; 60; 40 | 60; 5; 5 |
| 19 | 20; 20; 70 | 50; 50; 10 | 70; 10; 30 | 80; 60; 70 | 5; 40; 60 | 25; 0; 10 |
| 20 | 85; 10; 45 | 70; 50; 0 | 20; 20; 10 | 55; 60; 60 | 0; 0; 60 | 75; 0; 0 |
| 21 | 0; 70; 60 | 30; 10; 80 | 70; 15; 20 | 60; 50; 70 | 0; 0; 50 | 15; 70; 5 |
| 22 | 0; 70; 25 | 45; 10; 70 | 90; 30; 20 | 65; 60; 70 | 90; 10; 15 | 15; 0; 15 |
| 23 | 10; 20; 40 | 50; 60; 10 | 75; 10; 40 | 75; 60; 75 | 5; 70; 55 | 35; 0; 0 |
| 24 | 10; 10; 10 | 90; 80; 20 | 65;10;60 | 15; 70; 65 | 100; 70; 40 | 80; 10; 0 |
| 25 | 60; 65; 10 | 0; 10; 25 | 85; 5; 60 | 20; 65; 60 | 105; 35; 35 | 55; 0; 0 |
| 26 | 10; 70; 20 | 50; 10; 60 | 90; 25; 10 | 70; 65; 45 | 5; 35; 55 | 25; 0; 50 |
| 27 | 10; 5; 70 | 40; 70; 10 | 90; 5; 40 | 100; 55; 25 | 25; 65; 80 | 50; 0; 0 |
| 28 | 0; 50; 5 | 25; 0; 60 | 85; 10; 15 | 50; 50; 50 | 90; 0; 55 | 20; 0; 0 |
| 29 | 10; 70; 10 | 40; 10; 50 | 80; 20; 20 | 80; 55; 55 | 10; 50; 70 | 20; 0; 0 |
| 30 | 75; 70; 20 | 10; 35; 10 | 60; 20; 60 | 20; 70; 70 | 100; 60; 50 | 75; 5; 0 |
Две плоскости в пространстве могут быть параллельными или пересекающимися, частным случаем пересекающихся плоскостей являются взаимно перпендикулярные плоскости.
Построение линии пересечения плоскостей - одна из основных задач начертательной геометрии, имеющих большое практическое значение. Она относится к так называемым позиционными задачам.
Позиционными называются задачи на определение общих элементов различных сопрягаемых геометрических форм. К ним относятся задачи на принадлежность геометрических элементов и на пересечение геометрических объектов, например, пересечение прямой и плоскости с поверхностью, пересечение двух поверхностей и, в частности, задача на пересечение двух плоскостей.
Линия пересечения двух плоскостей является прямой, одновременно принадлежащей обеим пересекающимся плоскостям . Поэтому для построения линии пересечения плоскостей необходимо определить две точки этой прямой или одну точку и направление линии пересечения.
Рассмотрим частный случай пресечения плоскостей, когда одна из них проецирующая. На рис. 3.6 приведены плоскость общего положения, - заданная треугольником АВС и горизонтально-проецирующая Р. Двумя общими точками, принадлежащими обеим плоскостям, являются точки D и Е, которые и определяют линию пересечения.
Для определения этих точек были найдены точки пересечения сторон АВ и ВС с проецирующей плоскостью. Построение точек D и Е как на пространственном чертеже (рис. 3.6, а), так и на эпюре (рис. 3.6,б) не вызывает затруднений, т.к. основано на разобранном выше собирательном свойстве проецирующих следов плоскостей.
Соединяя одноименные проекции точек D и Е получим проекции линии пересечения плоскости треугольника АВС и плоскости Р. Таким образом, горизонтальная проекция D 1 Е 1 линии пересечения заданных плоскостей совпадает с горизонтальной проекцией проецирующей плоскости Р – с её горизонтальным следом.
Рассмотрим общий случай пересечения когда обе плоскости - общего положения. На рис. 3.7. показаны две плоскости общего положения, заданные треугольником и двумя параллельными прямыми. Для определения двух общих точек линии пересечения плоскостей проводим две вспомогательные (горизонтальные) плоскости уровня R и Т. Вспомогательная плоскость R пересекает заданные плоскости по двум горизонталям h и h 1 , которые в своем пересечении определяют точку 1, общую для плоскостей P и Q, так как они одновременно принадлежат вспомогательной секущей плоскости R. Вторая плоскость – посредник Т также пересекает каждую из заданных плоскостей по горизонталям h 2 и h 3 , которые параллельны первым двум горизонталям. В пересечении горизонталей получим вторую общую точку 2 заданных плоскостей. Соединяя на эпюре (рис. 3.8,б) одноименные проекции этих точек, получим проекции линии пересечения плоскостей.
На рис. 3.8 приведены две плоскости, заданные следами. Общими точками плоскостей являются точки пересечении М и N одноименных следов. Соединяя одноименные проекции этих точек прямой линией, получил проекции линии пересечения плоскостей.
Если точки пересечения одноименных следов находятся вне поля чертежа (см. пример 5), а также в тех случаях, когда плоскости заданы не следами, а другими геометрическими элементами, то для определения линии пересечения плоскостей следует использовать вспомогательные плоскости уровня – горизонтальные или фронтальные. Необходимо отметить, что при построении линии пересечения плоскостей, заданных следами, роль вспомогательных секущих плоскостей выполняют плоскости проекций П 1 и П 2 .
На рис. 3.9 показан случай пересечения двух плоскостей, когда известно направление линии пресечения, т.к. плоскость Р является плоскостью уровня (Р||П 1). Поэтому достаточно иметь лишь одну точку пересечения следов и далее провести через эту точку прямую, исходя из положения плоскостей и их следов. В нашем случае линия пересечения является общей горизонталью NА плоскостей Р и Т.
